七年级上册数学第2章有理数思维导图

苏科版7上数学，第2章：有理数，详细知识点梳理，包含：①正数与负数②有理数与无理数③数轴④绝对值与相反数⑤有理数的加法和减法⑥有理数的乘法和除法⑦有理数的乘方⑧有理数的混合运算等相关知识，使用其他版本教材的同学也可以正常使用。

本章要点

• 10个概念
  • 正数
  • 负数
  • 有理数
  • 无理数
  • 数轴
  • 绝对值
  • 相反数
  • 倒数
  • 乘方
  • 科学计数法
• 5种运算
  • 有理数的加法
  • 有理数的减法
  • 有理数的乘法
  • 有理数的除法
  • 有理数的乘方
• 5个运算律
  • 加法交换律
  • 加法结合律
  • 乘法交换律
  • 乘法结合律
  • 乘法分配律
• 2个比较有理数大小的方法
  • 利用数轴比较
  • 利用法则比较
• 3种思想
  • 数形结合思想
  • 分类讨论思想
  • 转化思想

有理数

• 正数与负数
  • 正数和负数
    • 正数
      • 像8844.43、100、357、78这样的数是正数，它们都大于0
      • • 比0大的数
        • 有时候为了明确表达意义，在正数的前面加上“+”(正)号，如+2，+0.7，…
      • 分类
        • 正整数
          • 如3，5，6，9等
        • 正分数
      • • “+”读作“正”，如“+2”读作“正2”
        • 正号通常省略不写，即+2等同于2
    • 负数
      • 像-154、-38.87、-117.3、-0.102%这样的数是负数
      • • 在正数前面加“-”号的数，叫做负数
        • “-”读作“负”，如“-2”读作“负2”，负号不能省略
    • 0
      • 0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界
      • • 0不一定代表没有。如，表示温度时，0℃表示冰点；表示海拔时，0m表示海平面单位高度
    • 识别正数、负数的方法
      • 识别一个数是正数还是负数，首先看它的符号，其次看符号后面的数．负数还可以理解为在正数前面添上“-”号.
      • • 一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略
        • 判断正数和负数，要看其本质是正还是负
          • +（-2）不是正数
          • -（-6）不是负数
  • 用正负数表示具有相反意义的量
    • 具有相反意义的量
      • 相反意义的量是指两个量，它们所表示的意义恰好相反
        • ①有相反的意义
        • ②有数量
        • ③是同类量
          • 如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量
      • 在同一问题中，用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正是可以任意规定的
        • 如规定向东为正
          • 向东走30m，可记为+30m
          • -10m表示向西走10m
          • 原地不动，则所在的位置记为0m
      • • 单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的
        • 具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等
          • 如：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等
    • 表示
      • 当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示
      • 描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词
        • 上升和下降
        • 增加和减少
        • 盈利和亏损
        • 收入和支出
        • 向南和向北
    • 用正、负数表示数量的允许值范围
      • 在实际生产、生活中，常用“±”表示某个数量的允许值范围，一般约定“+”表示“多出”，“-”表示“少于”
      • • 如用“a±x”表示某个数量的范围
        • a:表示标准数量
        • ±x表示在标准数量的基础上变动的范围
    • • 方法
        • 示意图法
      • • 示意图法是将研究的问题用图表示出来，使其直观形象，便于理解问题内在联系的方法.例如，用直线上的点表示位置，用线段的长表示距离，便可直观形象地确定位置
  • 整数和分数
    • 整数
      • 正整数、负整数、零统称为整数
      • 分类
        • 正整数
        • 0
        • 负整数
    • 分数
      • 正分数、负分数统称为分数
      • 分类
        • 正分数
        • 负分数
    • • 非负数
        • 正数和0
      • 非正数
        • 负数和0
      • 非负整数（自然数）
        • 正整数和0
    • • 所有整数都可以写成分母为1的分数，在本章中如无特别说明，分数是指不包括整数的分数
      • 0
        • 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界
        • 0属于偶数、整数、非正数、非负数、非正整数、非负整数
  • 正数、负数的规律探究题
    • 探索规律时，应分析所给的数据的符号和数值的变化规律，从而得出这一组数的变化规律.若是分数，还要分别从分子和分母观察﹐特别要注意观察符号的变化规律
  • 集合
    • 说明
      • 集合是一个无法定义只能描摹的原始概念，它是一些确定的、不同的对象的总体.
      • 把一些数放在一起,就组成了一个集合,简称数集
    • • 所有的整数在一起组成整数集合
      • 所有的正数在一起组成正数集合
      • 所有的负数在一起组成负数集合
    • • 数集可以用大括号表示，也可以用圆圈表示
      • 一个数集内不能有两个相同的数,数集中的每个数必须符合数集特征
• 有理数与无理数
  • 有理数
    • 定义
      • • 有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数
        • 所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数
    • 分类
      • 按定义分
        • 有理数
          • 整数
            • 正整数
            • 0
            • 负整数
          • 分数
            • 正分数
            • 负分数
      • 按正负分
        • 有理数
          • 正有理数
            • 正整数
            • 正分数
          • 0
          • 负有理数
            • 负整数
            • 负分数
    • • 两种分类有一个共同点，都是将有理数细分为五类，即正整数、正分数、0、负整数、负分数.
      • 习惯上，把正整数，0统称为非负整数(也叫自然数)；把负整数0统称为非正整数.正有理数﹑0统称为非负有理数，负有理数0统称为非正有理数.
      • 必须按同一标准对有理数进行分类，不能混淆标准且分类不能重合或遗漏.
  • 无理数
    • 定义
      • 无限不循环小数叫作无理数
    • 分类
      • 无理数
        • 正无理数
        • 负无理数
    • 无理数的常见形式
      • 含有π的
      • 小数构造型（一定含有省略号）
        • 小数形式有规律但不循环的无限小数
        • 小数形式无规律的无限小数
    • 有理数和无理数的区别
      • ①有理数包括有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数
      • ②所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成分母为1的分数),而无理数则不能写成分数的形式
    • • • 形如这样的数，虽然具有“分数”形式，但却是无理数，不要误认为是分数，是有理数
  • 数的分类
    • 按定义分
      • 实数
        • 有理数
          • 整数
            • 正整数
            • 零
            • 负整数
          • 分数
            • 正分数
            • 负分数
        • 无理数
    • 按正负分
      • 正数
        • 正有理数
          • 正整数
          • 正分数
        • 正无理数
      • 零
      • 负数
        • 负有理数
          • 负整数
          • 负分数
        • 负无理数
    • • 正数和零统称为非负数
      • 负数和零统称为非正数
      • 正整数和零统称为非负整数（自然数）
      • 负整数和零统称为非负整数
  • 小数
    • 有限小数
    • 无限小数
      • 无限循环小数
        • 概念
          • 如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数
          • 循环节
            • 其中重复出现的一个或几个数叫做它的一个循环节
        • 分类
          • 纯循环小数
            • 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数
            • 举例
          • 混循环小数
            • 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数
            • 举例
        • 小数化分数
          • 纯循环小数
            • 方法
              • 循环节做分子，连写几个9作分母，循环节有几位写几个9
            • 举例
              • 
                • 循环节的位数有一个，所以写一个9
              • 
                • 3位循环节写3个9
          • 混循环小数
            • 方法
              • 小数部分减去不循环的数字作分子，连写几个9再紧接着连写几个0作分母，循环节是几个数就写几个9，不循环（小数部分）的数是几个就写几个0
            • 举例
              • 
      • 无限不循环小数
• 数轴
  • 数轴的概念
    • 数轴
      • 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴
    • 数轴三要素
      • 原点
      • 正方向
        • 通常以向右为正方向
      • 单位长度
        • 可选取任意长度作为数轴的单位长度
        • 同一条数轴上，单位长度的大小必须统一
      • • 原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动
    • • 数轴是一条可以向两端无限延伸的直线
      • 数轴有三要素，缺一不可
      • 注意“规定”二字，是说原点的位置、正方向的选取、单位长度的大小都是根据实际需要来确定的.
      • 长度单位与单位长度是不同的
        • 单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段
        • 长度单位是为度量线段的长度而制定的单位
  • 画法
    • ①画
      • 画一条直线（通常画成水平位置）
    • ②取
      • 在这条直线上任取一点，作为原点（取点时要灵活确定位置）
      • • 原点表示0
        • 取点时要灵活确定位置
    • ③定
      • 确定正方向
      • • 一般规定向右为正方向，画上箭头；反方向则为负方向，不需要画箭头
    • ④标
      • 选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上正数；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上负数
      • • 可以选取1cm戏0.5cm 为一个单位，也可以更长或更短，每个单位长度也可以代表“1”“10”“0.1”等
        • 同一条数轴上的单位长度必须统一,不能出现同样长度表示不同的数量的情况
    • • 画数轴时易出现的错误
        • ①缺少正方向
        • ②缺少原点
        • ③单位长度不统一
  • 有理数和无理数与数轴上点之间的关系
    • 说明
      • 表示0的点在原点上
      • 表示正数的点在原点的右边
      • 表示负数的点在原点的左边
      • • 所有有理数、无理数都可以用数轴上的点来表示
        • 反过来，数轴上任意一点都表示一个有理数或无理数
    • • 数轴上的点不一定都表示有理数.
      • 数轴上的点与有理数、无理数建立了一一对应的关系，它揭示了数与形的内在联系，直观地体现了数形结合思想
    • • 看点读数的方法
        • 先观察数轴上的点的位置,根据原点左侧的点表示负数，原点右侧的点表示正数,确定符号,再观察各点到原点共有多少个单位长度.
      • 由数定点的方法
        • 正数在原点的右侧，负数在原点的左侧,0在原点的位置;对于分数(包括小数)要弄清它位于哪两个整数之间，以及距哪个整数较近.
  • 在数轴上比较有理数的大小
    • 比较数的大小
      • 在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大
      • 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数
    • • 在实际解题过程中，可以使用画草图的方法
      • 首先抽象出数学模型，运用数轴来理解和解题
    • • ①同号两数比较大小
        • 两正数比较,在数轴上离原点近的小;两负数比较,在数轴上离原点近的大
      • ②异号两数比较大小
        • 正数大于负数
      • ③与0比较
        • 正数大于0，负数小于0
  • • 利用数轴解应用题
      • 利用数轴建立数学模型,把行程问题转化为数轴上的数字问题,通过数轴将“数”与“形”结合起来,直观地得出结论
    • 整点探究问题
      • 通过研究探讨位置不同时，所覆盖的整数点的个数也不同,从而得出不同情况下的一般规律。一般情况下，需要分类讨论
• 绝对值与相反数
  • 绝对值
    • 定义
      • 数轴上表示一个数的点与原点的距离叫作这个数的绝对值
      • • 数a的绝对值记做lal
        • 由于有理数的绝对值表示两点之间的距离，所以绝对值不可能为负数
        • 绝对值即“距离”,表示一个数的点离原点远近。若表示一个数的点离原点越远，则这个数的绝对值越大;反之,表示一个数的点离原点越近,则这个数的绝对值越小
    • 图示
      • • 在数轴上,表示-2的点与原点的距离是2,即-2的绝对值是2,记作|-2|=2
        • |1.3|=1.3
        • 表示0的点与原点的距离是0,所以|0|=0
    • • 正确求出一个数的绝对值,关键要看表示这个数的点到原点的距离.
      • 已知lal=lbl
        • a=b
        • a=-b
  • 相反数
    • 定义
      • 符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数
      • • 相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数
        • “0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉
        • a，b互为相反数
          • a是b的相反数
          • b是a的相反数
          • 数轴上表示a，b的点关于原点对称
        • “符号不同，绝对值相同”不能理解为“只要符号不同的两个数就互为相反数”
    • 性质
      • 正数的相反数是负数
      • 负数的相反数是正数
      • 0的相反数是它本身
    • 在数轴上表示
      • 互为相反数可以理解为在数轴上分别位于原点的两旁或在原点上,到原点的距离相等的两个点所表示的数
      • • -3和3，+2.5和-2.5分别互为相反数
    • • 相反数是成对出现的,单独的一个数不能说是相反数
      • “符号不同,绝对值相同”不能理解为“只要符号不同的两个数就互为相反数”
      • 任何数都有相反数，且只有一个
        • 正数的相反数是负
        • 负数的相反数是正数
        • 0的相反数是0
      • 互为相反数的两个数，和为0
        • a，b互为相反数
          • a+b=0
  • 相反数的表示及多重符号的化简
    • 表示方法
      • 表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“-”
      • • 3的相反数是-3
        • -3的相反数可以表示为-（-3），而-3的相反数就是3，即有-（-3）=3
      • • 在一个数的前面添上“+”,仍是其本身，如＋(-6)表示-6的本身,即＋( -6) = -6.
    • 多重符号化简的规律
      • “+”号的个数不影响化简的结果，由数字前面“-”号的个数来确定
      • “-”
        • 若一个数前面有偶数个“-”号，其结果为正
        • 若一个数前面有奇数个“-”号，其结果为负
      • • 在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同
          • 如＋5＝5，＋（－5）＝－5
        • 在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数
          • 如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3
      • • 带“+”号的不一定是正数
        • 带“-”号的不一定是负数
  • 绝对值的性质
    • 绝对值的非负性
      • lal≥0
        • 绝对值是一个数值,其本质是数轴上两点间的距离,由于距离不可能为负数,因此任何一个有理数的绝对值都是非负数
      • • lal=
          • a（a＞0）
            • 正数的绝对值是它本身
          • 0（a=0）
            • 0的绝对值是0
          • -a（a＜0）
            • 负数的绝对值是它的相反数
        • 绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数;反过来，互为相反数的两个数的绝对值相等
      • 利用绝对值的非负性求值
        • 几个非负数的和为零,则这几个非负数分别为零
    • 几何意义
      • 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离
      • la-bl表示数a、数b对应的两点之间的距离
    • • 若lal=a
        • 则a为非负数，即a≥0
        • 因为0的绝对值是它的本身,所以绝对值等于它本身的数是正数或0.
      • 若lal=-a
        • 则a为非正数，即a≤0
        • 又因为0的相反数也是0,所以绝对值等于它的相反数的数是负数或0
  • 比较有理数大小
    • 同号
      • 离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小
      • • 两个正数，绝对值大的正数大
        • 两个负数，绝对值大的负数反而小
    • 异号
      • 正数大于负数
    • 与0比较
      • 正数大于0，负数小于0
    • 方法
      • 数轴法
        • 在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小
        • 
          • a＜b
      • 法则比较法
        • 正数、0、负数
          • 正数都大于0
          • 0大于负数
          • 正数大于负数
      • 绝对值
        • 离原点越远的数，绝对值越大
        • 两个正数，绝对值大的正数大
        • 两个负数，绝对值大的负数反而小
      • 作差法
        • 设a、b为任意数
          • 若a-b＞0，则a＞b
          • 若a-b＝0，则a＝b
          • 若a-b＜0，a＜b
          • 反之，也成立
      • 求商法
        • 设a、b为任意正数
          • 
          • 
          • 
        • • 反之也成立
          • 若a、b为任意负数，则与上述结论相反
      • 倒数比较法
        • 如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小
  • 绝对值在生活中的应用
    • 由绝对值的意义可知，一个数的绝对值越小,则距原点就越近.将实际问题转化为数学问题,则为距离标准的偏差越小越好,即偏差越小越符合标准.绝对值越小越接近标准
• 有理数的加法与减法
  • 有理数加法
    • 定义
      • 把几个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法
    • 法则
      • ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
      • ②异号两数相加
        • 绝对值相等时，和为0
        • 绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
      • ③一个数与0相加，仍得这个数
      • • 在应用法则的过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后，就不易出错了
        • 进行有理数加法运算，当后一个加数含“+”“-”时,这个加数必须用括号括起来,即两个符号要用括号隔开
    • 步骤
      • ①一观察
        • 观察两个数的符号，是同号还是异号，有没有0
      • ②二确定
        • 确定用哪条法则
          • 定符号，同号取号，异号，看绝对值大小
      • ③三求值
        • 求出结果
    • 规律
      • ①同号相加，绝对值加不变号
      • ②异号相加，绝对值“大”减“小”，符号跟着大的跑
      • ③互为相反数求和，结果是0
    • 有理数加法运算律
      • ①加法交换律
        • 两个数相加，交换加数位置，和不变
        • • a+b=b+a
          • 交换加数的位置时，不要忘记符号
      • ②加法结合律
        • 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
        • • (a+b)+c=a+(b+c)
      • • 运算符号与性质符号要区分清楚,加数为负数时，一般要加上括号,如 3+(-5)不能写成3+-5
    • 运算技巧
      • 互为相反数的两个数先加
        • 相反数结合法
      • 把符号相同的数结合在一起
        • 同号结合法
      • 把分母相同的分数结合在一起
        • 同分母结合法
      • 把能凑成整数的数结合在一起
        • 凑整法
      • 整数与整数，小数与小数相加
        • 同形结合法
      • • 利用“拆分法”进行加法运算时，要注意分开的整数部分和分数部分都要保留原带分数的符号
  • 有理数减法
    • 有理数减法法则
      • 法则
        • 减去一个数等于加上这个数的相反数
        • • a-b=a+（-b）
          • 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变
            • 一变是减法变加法
            • 二变是把减数变为它的相反数
          • 
      • 一般步骤
        • 一找
          • 找出算式中的被减数和减数，并找出减数的性质符号
        • 二变
          • 减法运算过程中有两个符号要改变
          • • ①将运算符号“－”变成“＋”
            • ②将减数的性质符号改变
        • 三计算
          • 转化成加法运算，然后用加法法则进行计算
      • • 减去负数,等于加正数
        • 减去正数,等于加负数
        • 有理数的减法一般有四种情况
          • 正减正，正减负，负减正,负减负，但都是转化成加法进行计算
          • • 0减去一个数等于这个数的相反数
            • 一个数减去0还得它本身
    • 有理数加减混合运算
      • 将加减法统一成加法运算
      • 方法与步骤
        • ①将运算中的减法转化为加法
        • ②写成省略加号和括号的形式
        • ③运用加法的法则及运算律进行
        • • ( -8)-( -10)+(-6)-(+4)
            • 转化为加法
              • (-8)+(+10)+(-6)+(-4)
            • 省略加号和括号
              • -8+10-6-4
            • • 它表示-8，+10，-6，-4的和
              • 读作
                • 负8,、正10、负6、负4的和
                • 负8加10减6减4
              • 在省略加号和括号的和式中,交换加数的位置时,一定要连同它前面的符号一起交换
      • 在有理数的加减混合运算过程中,遵循以下原则:
        • ①互为相反数的两数相结合;
        • ②同分母分数或比较容易通分的分数相结合;
        • ③正数和正数相结合,负数和负数相结合;
        • ④和为整数的两数相结合;
        • ⑤带分数一般化成假分数或者整数和分数两部分,再分别相加.
• 有理数的乘法与除法
  • 有理数的乘法
    • 两数相乘
      • 法则
        • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
        • 0与任何数相乘都得0
        • • 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘
          • 当因数中有负号时，必须用括号括起来
            • 如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3
      • 运算步骤
        • ①确定符号
          • 同号还是异号，是否有因数为0
        • ②确定绝对值并相乘
        • • 一个数与1相乘，积仍为这个数
          • 一个数与-1相乘，积是这个数的相反数
          • 一个数与0相乘，积为0
    • 多个有理数相乘
      • 推广
        • 几个不为0的数相乘，积的符号由负因素的个数决定
          • 负因数的个数是偶数时，积为正数
          • 负因数的个数是奇数时，积是负数
        • 几个数相乘，如果其中有一个因数为0，那么积为0
          • 反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0
        • • 多个非零有理数相乘确定积的符号时,只需考虑负因数的个数,积的符号与正因数的个数无关
      • 步骤
        • 几个不等于0的有理数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘.
        • • 为了便于约分,因数是小数的通常化为分数,是带分数的通常化为假分数
    • 有理数乘法运算律
      • ①交换律
        • 两个数相乘，交换因数位置，积不变
          • a·b=b·a
      • ②结合律
        • 三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个因素相乘，积不变
          • (a·b)c=a(b·c)
      • ③分配律
        • 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加
          • (a+b)c=a·c+b·c
        • • 乘法分配律不仅能正向应用，也可以逆向应用逆向应用乘法分配律,能使复杂的计算变得简单易求
      • 乘法运算律可推广为
        • 三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘
          • 如abcd＝d(ac)b
        • 一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加
          • 如a(b+c+d)＝ab+ac+ad
      • • 在交换因数的位置时，要连同符号一起交换
        • 运用有理数的乘法分配律时,不要漏乘项，且特别要注意括号内外各项的符号，同时把括号去掉
    • 倒数
      • 定义
        • 乘积为1的两个数互为倒数
          • 若a，b互为倒数，则ab=1
          • 若ab=1，则a，b互为倒数
          • • 0是没有倒数的
        • • 倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数
          • 互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)
      • 求一个数的倒数的方法
        • 一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数
        • 求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置
        • 求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置
        • 求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数
      • 倒数与相反数是两个不同的概念
        • 若a与b互为相反数，则a+b=0
        • 若a(a≠0)与b(b≠0)互为倒数,则a·b=1
  • 有理数的除法
    • 有理数除法法则
      • 法则1
        • 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数
          • (b≠0）
        • • 在不能整除的情况下应用法则1
      • 法则2
        • 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
        • • 在能整除的情况下应用法则2比较方便
      • • 0除以任何一个不为0的数，都得0
        • 0在任何条件下都不能做除数
        • 用1除以一个非零数，商就是这个数的倒数
    • 步骤
      • ①
        • 确定符号
          • 同号相除得正,异号相除得负
      • ②
        • 计算绝对值
    • 有理数的乘除混合运算
      • ①乘除混合运算，先将除法化为乘法→确定积的符号→按从左到右的顺序运算
      • ②结果的符号由算式中负因数的个数决定
        • 负因数的个数是偶数时，结果为正
        • 负因数的个数是奇数时，结果为负
      • ③化成乘法后，应先约分再相乘
      • • 在进行有理数的乘除混合运算时,要按照从左到右的顺序进行,不能随意结合，只有将运算中的除法全部转化为乘法后,才能使用交换律和结合律.
    • 有理数的加减乘除混合运算
      • 无括号
        • 先乘除，后加减
      • 有括号
        • 先算括号里的，然后再先乘除后加减
      • • 在进行有理数的混合运算时
          • 一要注意符号
          • 二要注意运算顺序
          • 三要合理地应用运算律
• 有理数的乘方
  • 有理数的乘方
    • 意义
      • 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
        • 相同因数叫作底数
        • 相同因数的个数叫作指数
        • 乘方运算的结果叫作幂
      • • 乘方与幂不同
          • 乘方是几个相同因数的乘法运算，其本质是乘法
          • 幂是乘方运算的结果
        • 一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写
        • 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来
        • 将有理数的乘方转化为有理数的乘法时，等于“指数”个“底数”相乘
          • • 底数是-5
            • 指数是4
            • 表示4个(-5)相乘
          • • 底数是5，“-”不属于底数
            • 指数是4
      • • 一个数的二次方，也称为这个数的平方
        • 一个数的三次方，也称为这个数的立方
    • 字母表示
      • • 底数：a
        • 指数：n
        • 幂：
    • 运算的符号规律
      • 符号规律
        • 正数的任何次幂都是正数
        • 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
        • 0的任何正整数次幂都是0
        • • 1的任何次幂都等于1
          • -1的偶数次幂是1，-1的奇数次幂是﹣1
          • 任何一个数的偶次幂都是非负数，即a²≥0
    • 有理数乘方及混合运算
      • 有理数的乘方运算和有理数的加、减、乘、除法一样,先确定符号,再计算绝对值.
      • • 判断有理数乘方结果
          • 一看底数，二看指数
            • 当底数是正数时，结果为正
            • 当底数为负数时，再看指数
              • 若指数为偶数，则结果为正
              • 若指数为奇数，则结果为负
        • 含有乘方与乘法、除法、加法、减法的有理数混合运算,运算顺序是先做乘方运算,再进行乘除运算,最后做加减运算.有括号时先算括号里面的部分。同级运算,从左到右进行计算.
  • 科学计数法
    • 定义
      • 一般地，一个大于10的数，可以写成a×10^n 。其中1≤a＜10，n是正整数。这种记数法称为科学记数法
    • 步骤
      • 把原数变成a
        • a是一个小于10且大于等于1的数
        • • 1≤a＜10
          • a的整数部分只有1位
      • 确定10的指数n
        • n是比原数的整数位数小1的数
        • n是把原数变成a时，小数点移动的位数
      • • 数的大小不变，只是数的书写形式发生了变化,若原数前有负号,则不能将负号丢掉
    • 近似数与有效数字
      • 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位
      • 此时，从这个数左边第一个非0的数字起，到最后一个数为止，所有的数字都是这个数的有效数字
• 有理数的混合运算
  • 三级运算
    • ①加减
    • ②乘除
    • ③乘方
    • • 进行有理数的混合运算时,首先要弄清题目中有几级运算,然后按法则进行计算即可
  • 运算顺序
    • 先乘方，再乘除，最后加减。如果有括号，先进行括号内的运算
    • • ①运算顺序，高级到低级，依次进行
      • ②同级运算，按从左往右的顺序进行
      • ③有括号，先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的
  • 有理数混合运算的技巧
    • 技巧
      • 巧转化
        • 将小数与分数,加法与减法,乘法与除法相互转化
      • 巧分解
        • 将一个数分解成几个数的和(或差)或分解为它的因数的积
      • 巧逆用
        • 逆用乘法分配律
      • 巧分段
        • 借助混合运算中的加减号或括号分段计算
    • 方法
      • 分层去括号法
      • 逆用乘法分配律
      • 拆分法