导图社区 七年纪上册数学第4章一元一次方程
苏科版7上数学,第4章:一元一次方程,详细知识点梳理,包含:①一元一次方程②解一元一次方程③用一元一次方程解决问题等相关知识,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。
编辑于2023-12-18 10:45:268年级上册数学(苏科)第3章《勾股定理》相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
8年级上册数学(苏科)第2章,轴对称图形相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
苏科版8年级上册《全等三角形》相关知识点梳理,展示了全等三角形的定义、性质、以及判定条件等多个方面的知识点。这种组织方式使得学习者能够一目了然地掌握全等三角形的核心内容,便于记忆和复习。还介绍了多种全等三角形的判定方法,如“边角边”、“角边角”、“角角边”和“边边边”等,并详细说明了它们的由来、内容、应用格式以及推论。这些信息为学习者提供了丰富的解题技巧和方法,有助于他们在解决实际问题时灵活运用。使用其他版本的同学也可以正常使用。
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8年级上册数学(苏科)第3章《勾股定理》相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
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苏科版8年级上册《全等三角形》相关知识点梳理,展示了全等三角形的定义、性质、以及判定条件等多个方面的知识点。这种组织方式使得学习者能够一目了然地掌握全等三角形的核心内容,便于记忆和复习。还介绍了多种全等三角形的判定方法,如“边角边”、“角边角”、“角角边”和“边边边”等,并详细说明了它们的由来、内容、应用格式以及推论。这些信息为学习者提供了丰富的解题技巧和方法,有助于他们在解决实际问题时灵活运用。使用其他版本的同学也可以正常使用。
中心主题
3个概念
一元一次方程
方程的解
解方程
1个性质
等式的性质
2个步骤
解一元一次方程的步骤
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
列一元一次方程解应用题的步骤
审
设
列
解
检
答
3种思想方法
方程思想
转化思想
数形结合思想
一元一次方程
从问题到方程
方程
含有未知数的等式叫做方程
①必须是等式
②必须含有未知数
二者缺一不可
①方程一定是等式,但等式不一定是方程
②方程中的未知数可以用x表示,也可以用其他字母表示
③方程中可含有多个未知数
一元一次方程
概念
只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次)的方程,叫做一元一次方程
①是整式方程,即等号两边的代数式都是整式(方程中分母不含未知数)
②只含有一个未知数
③未知数的次数是1(次),即含未知数的项的最高次数都是1
三个条件,缺一不可
根据实际问题列方程
方法
根据实际问题列方程,即把文字语言叙述的问题转化为用数学语言表达的式子,关键是准确找出相等关系.在实际问题中,常用一些关键词表示问题中的数量关系,如“和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几”等,审题时要抓住这些关键词,从中找出相等关系
步骤
设未知数
直接设
间接设
找关系式
分析题目中已知量和未知量之间的关系,列出相关代数式
列方程
找到能够反映应用题全部含义的相等关系,将相关代数式代替等式左右两边
在列方程时要注意单位是否一致
解一元一次方程
方程的解和解方程
方程的解
能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解
方程的解可能不止一个,也可能无解
检验一个数是否是方程的解
①将未知数的值分别代入方程的左边和右边
②分别计算方程左边和右边的值
③比较两边的值是否相等
④得出结论
相等,该数是方程的解
不相等,该数不是方程的解
方程的解的应用
代入
把方程的解代入方程时,一定要“对号入座”,即用方程的解替代方程中的“x”,其他不变
多个字母中的未知数
当方程中含有多个字母时,指出是关于哪个字母的方程,哪个字母就是方程的未知数
解方程
求方程的解的过程叫做解方程
方程的解是一个数(或者一组数),而解方程有“动”的意思,是一个解题过程
解方程的目的是求方程的解,方程的解是解方程的结果
等式的基本性质
定义
用等号把两个代数式连接而成的式子叫等式
性质
性质1
等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式
字母表示
性质2
等式两边都乘同一个数(或除以)同一个不等于0的数,所得结果仍是等式
字母表示
根据等式的性质,对等式进行变形,等式两边必须同时进行完全相同的变形
性质3
对称性
性质4
传递性
判断等式是否成立的方法
判断等式是否成立,就是利用等式的基本性质对等式进行变形,若能化为相同的式子,则成立;否则,不成立
利用等式的基本性质解方程
利用等式的基本性质解一元一次方程,就是利用等式的基本性质对方程进行变形,使方程的左边未知数的系数变为“1”,右边只有常数项,也就是将方程变形为x = a的形式
利用等式的基本性质解一元一次方程是最基本的方法
利用移项、合并同类项解方程
移项
概念
方程的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这种变形叫作移项
依据
移项的实质是利用等式性质1对方程进行变形
目的
移项时,一般把含未知数的项移到等号的左边,常数项移到等号的右边
①移项一定要变号
②未移的项不变号
③不要漏写任一项
④方程同一侧各项交换位置不能叫移项
⑤移项时,一般把含未知数的项移到等号的左边,常数项移到等号的右边
合并同类项
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
字母及其指数不变
同类项的系数为负数时,不要出现符号错误
方程求解后,要将解代入原方程检验,看是否为原方程的解
利用去括号解方程
方程中有括号时,应先去括号再解方程
依据是分配律和去括号法则
利用去分母解方程
解含有分母的一元一次方程,我们可以利用等式的基本性质,在方程的两边同时乘所有分母的最小公倍数,将分母去掉
不要漏乘没有分母的项
解方程的一般步骤
1. 去分母
变形依据
等式的基本性质
具体做法
在方程两边同乘各分母的最小公倍数
①同乘不能漏项
②要重视分数线的括号功能,分子是多项式,去分母时分子作为整体要加上括号,防止出现符号错误
2. 去括号
变形依据
分配律,去括号法则
具体做法
一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号
①若括号前有数字因数,去括号时数字因数不要漏乘括号内的项
②若括号前有负号,则去括号后原括号内各项都要变号
3. 移项
变形依据
移项法则
具体做法
一般把含未知数的项移到方程左边,不含未知数的项移到方程右边
①移项要变号
②不要漏项
4. 合并同类项
变形依据
合并同类项法则
具体做法
把方程化成ax=b的(a≠0)形式
①系数相加
②字母及字母的指数不变
5. 系数化为1
不要把分子、分母搞颠倒
注意除数和被除数的性质符号
变形依据
等式的基本性质
具体做法
方程两边同除以未知数的系数a,得到方程的解
①除数不能为0
②不要把分子、分母搞颠倒
解方程时要灵活,不必呆板的按照解方程步骤来,有些步骤可以合并简化
将小数化成整数的依据是分数的基本性质,这一变形不同于去分母,不要把方程中所有的项都乘这个数
解特殊的一元一次方程
解两个方程同解问题的方法
①先解出不含未知系数的方程
②把所得的解代入含未知系数的方程即可求出未知系数的值
含字母系数的一元一次方程
含字母系数的方程
当方程中的系数是用字母表示的时,这样的方程称为含字母系数的方程
此类方程一般先化为最简形式ax=b,再分三种情况分类讨论
当a≠0时,
当a=0,b=0时,x为任意有理数
当a=0,b≠0时,方程无解
要明确哪个字母是未知数,字母系数在解方程的过程中当成已知数来看
关于整数解的讨论,要把握数的整除特点,并灵活运用相应特点,切忌因盲目尝试而导致漏解.
含绝对值的方程

当c<0时,无解
当c=0时,原方程可化为ax+b=0
当c>0时,原方程可化为ax+b=-c
用一元一次方程解决问题
基本思路
基本过程
①先用字母表示适当的未知数,并用含有这个字母的代数式表示其他相关量
②再根据实际问题中数量之间的相等关系列出方程
③解方程,写出答案
步骤
1.审题
读懂题目,弄清题意
哪些是已知量
哪些是未知量
寻找它们之间的等量关系
2.设未知数
直接
间接
3.列方程
注意方程两边是同一类量,单位要统一
4.解所列方程
5.检验未知数的值是否符合题意
检验可以不写出,但一定要进行,既要检验是否满足方程,又要检验解是否符合实际情况
6.根据问题需要写出答案
注意单位要写清楚
书面:设、列、解、答
辅助设元法
有时列方程时需设一些特殊的未知数,把这些未知数当作已知量参与运算,这就是辅助设元法
这些辅助元在运算过程中会抵消,但它在方程中起到桥梁的作用
常见类型
比例分配问题
基本数量关系
总量=各部分之和
已知几个量的比,也就知道了各个量所占的份数,可根据它们所占的份数设未知数列出方程求解
在已知几个未知量比值的问题中,常利用比例关系,设未知数(量),列出方程解决问题
月历中的方程
在某月的月历上,横行上左右相邻的两个数是连续整数,它们的差为1,同一竖列上的两个相邻的数是相差7的整数,根据它们的数量关系可以列方程求解
和、差、倍、分问题
相等、和差、几倍、几分之几、多少、快慢等都可以用相等的关系来表示
行程问题
常用数量关系
路程=平均速度×时间
s=vt
类型
相遇问题
特点
相向而行
相等关系
双方所走路程之和=全部路程
追击问题
特点
同向而行
相等关系
两者路程的差=原来两者相距的路程
同地不同时出发
前者走的路程=追者走的路程
同时不同地出发
前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程
环形跑道
同一地点,同时出发时
同向而行时
首次相遇时快者走的路程-慢者走的路程=一圈的长
背向而行时
首次相遇时快者走的路程+慢者走的路程=一圈的长
水流行船
顺水(风)
顺水(风)速=静水(风)速+水流(风)速
逆水(风)
逆水(风)速=静水(风)速-水流(风)速
基本等量及关系
顺水速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
顺水速度-逆水速度=2×水速
寻找相等关系
抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑
工作量问题
数量关系
工作量=工作效率×工作时间
总工作量=各单位工作量之和
如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1
商品销售问题
基本概念
进价
是商品进货时的价格
很多时候,进价就是成本价
标价(定价)
出售商品时所标明的价格
售价
出售商品时的实际价格
利润
单利
出售单件商品获得的利润
售价减去进价
总利润
出售很多商品获得的利润
单利乘以数量
利润率
商品的利润与成本价的比值
相等关系
商品售价=商品标价×折扣率
商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣率-商品进价

标价=成本(或进价)×(1+利润率)
商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;当右边为负时,就是亏损
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售
其他问题
配套问题
根据已知条件分清数量关系,尤其是倍数关系
数字问题
求数字问题,一般间接设未知数来解.
对于一个多位数,如三位数,设百位上的数为a,十位上的数为b,个位上的数为c,则这个三位数可表示为100a+10b+c,而不能写成abc 的形式
存贷款问题
利息=本金×利率×期数
本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数)
实得利息=利息-利息税
利息税=利息×利息税率
年利率=月利率×12
方案问题
运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况
用特殊值试探法选择方案,取小于(或大于)一元一次方程解的值,比较两种方案的优劣性后下结论
图表信息问题
一般步骤
①观察图表,获取有效信息
②对已获得的信息进行加工、整理,明确各量之间的关系
③选用合适的方法解决实际问题