七年级上册数学第6章 平面图形的认识（一）

苏科版7上数学，第6章：平面图形的认识（一），详细知识点梳理，包含：①线段、射线、直线②角③余角、补角、对顶角④平行⑤垂直等相关知识，使用其他版本教材的同学也可以正常使用。

中心主题

• 11个概念
  • 线段
  • 射线
  • 直线
  • 线段的中点
  • 角
  • 角平分线
  • 余角
  • 补角
  • 对顶角
  • 平行线
  • 垂线
• 4个基本事实
  • 两点之间线段最短
  • 两点确定一条直线
  • 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
  • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
• 2种比较方法
  • 叠合法
  • 度量法
• 4种思想方法
  • 数形结合思想
  • 分类讨论思想
  • 方程思想
  • 转化思想

平面图形的认识

• 线段、射线、直线
  • 线段
    • 描述性概念
      • 线段是直的,有两个端点,有长短,没有方向
      • • 一条笔直的且有两个端点的线
    • 表示
      • 图示
      • ①
        • 用表示端点的两个大写字母表示
        • 线段AB或线段BA
        • • 表示线段的两个字母没有顺序
          • 如:线段AB与线段BA表示的是同一条线段
      • ②
        • 用一个小写字母表示
        • 线段a
        • • 不能用两个小写字母表示
    • 特征
      • 两个端点
      • 无方向
      • 有长短
    • 线段的延长
      • 可以延长，也可以反向延长
      • 图示
      • • 延长线段AB，是从B点开始，沿着从A到B这个方向延长
        • 反向延长线段AB，是从A点开始，沿着从B到A这个方向延长
    • 数线段条数的方法
      • 可以先固定第一个点,与其余的点组成线段,然后固定第二个点，与其余的点(第一个点除外)组成线段……依次类推,直到找出最后的线段为止
      • • 这种方法可以避免出现遗漏、重复现象
    • 基本事实
      • 两点之间的所有连线中,线段最短
        • 简称：两点之间线段最短
      • • 这里的线段最短是指线段的长度最短
        • 两点之间的距离
          • 两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离
        • 两点间的距离具有存在性、唯一性、最短性
      • • 线段是图形,距离是指线段的长度,是一个数值,而不是线段本身
  • 射线
    • 描述性定义
      • 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线
      • • 直线上一点和它一侧的部分叫射线
        • 这个点叫做射线的端点
    • 表示
      • 图示
        • 
      • 表示
        • 一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一个点的大写字母来表示
        • ①
          • 用它的端点和射线上的另一点表示
          • • 射线OA
              • 点O是端点
            • 射线AO
              • 点A是端点
          • • 表示端点的字母写在前面,它与线段的表示不同.两字母书写时不能颠倒
        • ②
          • 用一个小写英文字母表示
          • • 射线a
      • • 同一条射线满足两个条件
          • ①端点相同
          • ②延伸方向相同
        • • 同一条射线可以有不同的表示方法
          • 如图所示,以O为端点的射线,可以表示为射线OA,也可以表示为射线OB
    • 特征
      • 一个端点
      • 有方向
      • 无长短
      • • 它像激光灯的光束射向天空,有“始点”无“终点”
    • 数射线条数的方法
      • ①数射线时先找端点再找方向
      • ②若一条直线上有n个点,则有2n条射线
      • • 其中有(2n-2)条射线可以用表示这些点的字母表示出来
        • 另外有2条射线不能用这些字母表示出来
  • 直线
    • 描述性定义
      • 把一条线段向两方无限延伸所形成的图形就是直线
      • • 将一条射线反向延长就得到一条直线
        • 直线上一点又可把直线分成两条射线
    • 表示
      • 图示
      • ①
        • 用这条直线上的表示两个点的大写字母表示
        • • 直线AB或直线BA
        • • 表示直线的两个字母没有顺序
          • 如直线AB与直线BA表示的是同一条直线
      • ②
        • 用一个小写字母表示
        • • 直线a
    • 特征
      • 无端点
      • 无方向
      • 无长短
    • 线段、射线、直线的比较
      • • 将线段向一个方向无限延长就形成了射线
        • 将线段向两个方向无限延长就形成了直线
        • 线段和射线都可以看做直线的一部分
    • 基本事实
      • 两点确定一条直线
      • • 存在性
          • 经过两点有一条直线
        • 唯一性
          • 并且只有一条直线
      • • 两条不重合的直线最多有1个交点
    • 点与直线的位置关系
      • 点在直线上
        • 点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A
      • 点在直线外
        • 点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B
  • 线段的中点
    • 描述性定义
      • 把一条线段分成两条相等线段的点叫作线段的中点
      • • 线段的中点一定在线段上，且只有一个
    • 数学语言表示
      • 图示
        • 
      • 表示
        • 因为，点C是线段AB的中点
        • 所以
      • • 根据线段中点的定义,把结论和已知条件反过来,如果C在线段AB上且满足AC = BC=1/2AB,那么C是线段AB的中点
  • 当图形不确定时求线段的长度易漏解
    • 在求线段长度时,如果题目中没有给出图形,那么一定要画出所有可能的图形分情况计算,以免漏解
  • 线段、射线、直线的画法
    • • 过两点
        • 画线段时,两端不能伸出
        • 画直线时,两端都要伸出一些
        • 画射线时,射线延伸的一端要伸出一些,射线的端点不能伸出
      • 延长线段AB,指按照从A到B的方向延长(也可以说反向延长线段BA),线段的延长线一般要画成虚线
    • • 用圆规作一条线段等于已知绒段时，一般要保留作图痕迹.
      • 两条线段相等,就是两条线段能完全重合,或者说它们的长度完全相等.
  • 线段长短的比较方法
    • 度量法
      • 从数的角度比较
      • 方法
        • 先分别度量出每条线段的长度,然后按它们的长度的大小进行比较
    • 叠合法
      • 从形的角度比较
      • 方法
        • 可先把两线段移到同一条直线上,使它们一端点重合,另一端点在这一重合点的同一侧
      • • 使用叠合法时一定要使一条线段的一端点与另一条线段的一端点重合，两线段的另一端点均在重合点的同一侧的同一射线上
• 角
  • 定义
    • 静态定义
      • 有公共端点的两条射线组成的图形叫角
      • • 构成角的要素
          • 顶点
            • 公共端点叫角的顶点
          • 两边
            • 两条射线叫角的两边
        • 
          • 角的顶点是点O
          • 边是射线OA、OB
    • 动态定义
      • 角可以看做是一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形
      • • 射线的端点叫做角的顶点
        • 起始位置的边叫作角的始边
        • 终止位置的边叫角的终边
        • • 射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角
          • 在射线OA绕点О旋转1周的过程中
            • 平角
              • 当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)成一条直线时,所成的角叫做平角
            • 周角
              • 当OB与OA重合时,所成的角叫做周角
  • 角的表示
    • 角的几何符号用“∠”表示
    • • 用三个英文大写字母表示时
        • A和B是边上的点,写在两边,可交换位置
      • 用数字或小写希腊字母表示角时
        • 要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母
  • 数角的个数
    • 顺序寻找法
      • 找角时要按一定顺序，先确定一条始边不动,看终边条数;再换一条始边,重复前面的思路,这样才能做到不重不漏
    • 类比法
      • 将射线(角的边)类比为点,则角就被类比为线段,故可利用求线段条数的方法来求角的个数,此题若有n条射线,则组成角的总数为
  • 角的和、差关系
    • 角的和或差的度数,等于它们度数的和或差.
    • 
      • ∠AOB是∠1与∠2的和
        • 记作：∠AOB＝∠1+∠2
      • ∠1是∠AOB与∠2的差
        • 记作：∠1＝∠AOB-∠2
  • 角的度量单位及换算
    • 度量仪器
      • 量角器
    • 度量单位
      • 度、分、秒
      • • 把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角
      • • 角的度量单位是六十进制
        • 角的度、分、秒的标注( °、′、"″)要写在数的右上角
    • 换算
      • 在角的换算过程中应逐级换算
        • 将高级单位换算成低级单位时用公式
          • 1°=60′
          • 1′=60″
        • 将低级单位换算成高级单位时用公式
  • 分类
    • 周角
      • 等于360°的角
    • 平角
      • 等于180°的角
    • 直角
      • 等于90°的角
    • 锐角
      • 大于0°且小于90°的角
    • 钝角
      • 大于90°且小于180°的角
  • 角的画法
    • 用量角器画
      • 用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角
      • 画角时,先画一条射线,然后让射线与量角器的0°线重合,射线端点与量角器圆心重合,在要画角处作一个点,再过射线的端点和这个点作一条射线,则得到要画的角
    • 用三角尺画
      • 用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角
      • • 根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角
      • • 能用三角尺画出15°的整数倍的角
    • 用直尺和圆规画 （尺规作图）
      • 利用尺规作图可以画一个角等于已知角
      • • 尺规作角是尺规作图的基础
  • 角平分线
    • 定义
      • 从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成相等的两部分,这条射线叫做这个角的平分线
      • • 不是直线，也不是线段，且在角的内部
    • 性质
      • 角的平分线可把一个角分成两个相等的角
      • 
        • OC是∠AOB的角平分线
          • ∠AOB=2∠1=2∠2
        • 如果
          • ∠1=∠2
          • ∠AOB＝2∠1
          • ∠AOB＝2∠2
          • 有一个式子成立，则射线OC平分∠AOB
      • • 图形中，角较多时，可用阿拉伯数字标注角，使问题简便
  • 角的比较
    • 度量法
      • 先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小
    • 叠合法
      • 把两角叠合在一起比较大小
      • • 一定要使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合这条边的同旁
    • • 角的大小与角两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关
  • 方位角
    • 说明
      • 表示方向的角
    • 表示方法
      • 在表示方向时,要先在观测点画出方位图,然后测量出角度表示出来
      • 
        • 图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点
        • 射线OA的方向是北偏东60°
        • 射线OB的方向是南偏西30°
        • • 方位角必须以正北和正南方向作为“基准”
          • 表示方向时,通常先写北或南,再写偏东或西,最后写多少度
          • 在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向
    • • 正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示
      • 东北、西北、东南、西南
        • 东北：北偏东45°
        • 西北：北偏西45°
        • 东南：南偏东45°
        • 西南：南偏西45°
• 余角、补角、对顶角
  • 余角和补角
    • 余角
      • 定义
        • 如果两个角的和是一个直角（等于90°），那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫作另一个角的余角
      • 图形
      • 数学语言
        • 若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余（∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角）
        • • 反之，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°
      • 性质
        • 同角(等角)的余角相等
        • • 如果∠1+∠2= 90°,∠1+∠3 = 90°,那么∠2=∠3
          • 如果么1+∠2=90°,∠ 3+∠4 = 90°,且∠1=∠3,那么∠2=∠4
    • 补角
      • 定义
        • 如果两个角的和是一个平角（等于180°），那么这两个角互为补角，简称互补，其中的一个角叫作另一个角的补角
      • 图形
      • 数学语言
        • 若∠3+∠4=180°，则∠3与∠4互补
        • • 反之，若∠3与∠4互补，则∠3+∠4=180°
      • 邻补角
        • 定义
          • 两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角
        • 图示
          • ∠1与∠3、∠1与∠4，∠2与∠3、∠2与∠4
        • 性质
          • 邻补角互补
        • • 如果∠α与∠β互为邻补角，那么一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角
      • 性质
        • 同角(等角)的补角相等
        • • 如果∠1+∠2=180°,∠1+∠3 = 180°,那么∠2=∠3
          • 如果∠1+∠2=180°,∠3+∠ 4 = 180°,且∠1 =∠3,那么∠2=∠4
    • • 余角和补角都是从数量关系给出定义的，一个角的余角与补角可以有多个,与位置关系无关
      • 两个角互余,这两个角一定都是锐角,但不能都小于45°
      • 两个角互补,这两个角可能都是直角，也可能是一个锐角和一个钝角
  • 对顶角
    • 定义
      • 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角
      • 图示
        • ∠1与∠2、∠3与∠4
      • • 对顶角与互为余角、互为补角一样,是指两个角的相互关系
        • “对顶角”揭示的是两个角特殊的位置关系
          • ①两个角有公共顶点
          • ②角的两边分别互为反向延长线
    • 性质
      • 对顶角相等
    • • 对顶角是成对出现的
      • 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
  • 钟表中的角度
    • 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角
    • 时针每小时转30°
    • 分针1分钟转6°
    • 时针1分钟转0.5°
• 平行
  • 概念
    • 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
    • • 同一平面内的两条直线的位置
        • 平行与相交
        • 互相平行的两条直线永远没有公共点
        • 两条相交直线有且只有一个公共点
    • • 相重合的直线通常看做一条直线
  • 表示方法
    • AB与CD平行
    • 记作
      • AB∥CD或
    • 读作
      • AB平行于CD或CD平行于AB
    • • 平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段,若说两条射线或线段平行,则指的是它们所在的直线平行
  • 基本事实
    • 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
    • • 存在性
      • 唯一性
      • “直线外一点”也就是说这点不能在直线上,若在已知直线上,则不存在与已知直线平行的直线
    • • 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
      • 如果b∥a，c∥a，那么b∥c
        • 平行的传递性
        • • 不是等量代换
  • 画法
    • 利用三角尺的平移画平行线
      • 过直线外一点画已知直线的平行线,可按“落、靠、移、画”四步操作
      • 步骤
        • 落
          • 把三角尺一边落在已知直线上
        • 靠
          • 用直尺紧靠三角尺的另一边
        • 移
          • 沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点
          • • 移动三角尺时，必须保持紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确
        • 画
          • 沿三角尺过已知点的边画直线
      • 图示
    • 利用方格纸画平行线
      • ①水平画
        • AB∥CD
      • ②竖直画
        • GH∥EF
      • ③斜画
        • 必须先找出已知线是哪一个长方形的对角线,再找出具有相同规律的长方形并按照相同的方式画出对角线,则这条线与已知线平行
• 垂直
  • 概念
    • 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足
    • • 两条直线垂直是相交的特殊情况,它们所成的角为直角.
      • 线段、射线与直线互相垂直，都是指它们所在的直线互相垂直.
  • 表示方法
    • 用“⊥”表示垂直
    • 图示
      • 记作
        • AB⊥CD于点O或CD⊥AB于点O
        • • 点O为垂足
      • • 要判断两条直线互相垂直，只需看它们相交所成的四个角中，有一个角是直角即可
  • 画法
    • 利用三角尺
      • 步骤
        • 一落
          • 让三角尺的一条直角边落在已知直线上,使其与已知直线重合
        • 二移
          • 沿直线移动三角尺,使其另一条直角边经过已知点
        • 三画
          • 沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线
      • 图示
      • • 画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在直线的垂线
        • 过一点作线段的垂线，垂足可以在线段上,也可以在线段的延长线上
    • 利用量角器
      • 步骤
        • ①让量角器的90°刻度所在的直线与已知直线重合
        • ②沿直线移动量角器,使量角器的0°刻度所在的直线过已知点
        • ③沿0°刻度所在的直线画直线,则所画直线就是已知直线的垂线
    • 利用方格纸
      • 说明
        • AB⊥CD
          • 如图所示,AB为3×4长方形的对角线,CD为4×3长方形的对角线,因此AB⊥CD
        • • 方格纸的竖线和横线分别平行（或重合），所以一定垂直
        • a⊥b
          • a是5×5正方形的对角线,b是5×5正方形的对角线,因此a⊥b
  • 垂线段
    • 垂线段是指由直线外一点向这条直线作垂线，以直线外这一点和垂足为端点的线段
    • • 垂线和垂线段是两个不同的概念
        • 垂线是一条直线
      • 直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，而斜线段有无数条
  • 垂线的重要结论
    • 基本事实
      • 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
      • • 存在性与唯一性
        • 只说“过一点”说明不论点在直绒上还是点在直线外均可以作出已知直绒的垂线.这与作平行绒有区别
    • 垂线段最短
      • 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
    • 点到直线的距离
      • 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
      • • 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离
      • 图示
        • 
        • 如图：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长
        • • 垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条
      • • 点到直线的距离是一个正值，是一个数量，而不是图形，所以不能画距离，只能量距离