工程力学（静力学、材料力学）思维导图

基于《工程力学 静力学》《工程力学 材料力学》（第四版）北京科技大学 东北大学 编，包括静力学：1.基本定理、2.平面汇交力系、3.平面力偶系、4.平面一般力系；材料力学：1.轴向拉压、2.剪切、3.扭转、4.弯曲内力、5.弯曲应力、6.弯曲变形、7.应力强度理论、8.组合变形、9.压杆稳定的概念、公式与例题，欢迎继续关注！

静力学

• 受力图
  • 公理
    • 加减平衡力系公理
      • 任一力系+-平衡力系，不改变原力系作用效应
    • 力可传性原理
      • 作用于刚体的力，作用线移到任一点
    • 三力平衡汇交定理
      • 刚体受不平衡三力作用平衡，三力汇交一点且在同一平面
    • 作用与反作用定律
      • 子主题
    • 约束力
  • 受力图
    • 解除约束
      • 找二力构件三力构件
        • 主动力
• 平面汇交力系
• 空间力系
  • 求形心
• 平面一般力系
  • 力线平移定理
    • 刚体F可平移任一点，附加力偶
• 力矩
  • 力矩
  • 力偶
    • • 等大 反向 不共线
  • 力偶矩

力

• 概念
  • 物体间相互机械作用
  • 效应
    • 外效应
      • 运动状态发生变化
    • 内效应
      • 变形
  • 三要素
    • 大小
    • 方向
    • 作用点
  • n.
    • 机械运动
      • 空间位置随时间变化
    • 平衡
      • 静止/匀速直线
    • 平衡条件
      • 平衡时所有力应满足条件
    • 力系
      • 作用在物体的力的集合
      • 平衡力系
        • 维持物理平衡的力系
      • 简化
        • 等效
    • 刚体
      • 任何状态不发生形变
    • 变形体
  • 静力学
    • 受力分析
    • 力系简化
    • 平衡条件与平衡方程
• 公理
  • 二力平衡（刚体
    • 两力大小相等，方向相反，2力沿作用点连线
    • 二力构件
      • 只在两个力作用下平衡状态
        • 二力杆
  • 加减平衡力系
    • 作用于刚体任一力系+-任一平衡力系，不改变作用效应
    • 可传性
      • 作用于刚体的力可沿作用线移至刚体任一点
  • 平行四边形
    • 同一点2力可合成1合力
      • 作用点不变，对角线
    • 共面可合成
    • 三角形
    • 三力平衡汇交定理
      • 刚体受不平衡三力作用而平衡，三力作用必交汇一点且共面
  • 作用力与反作用力
    • 等大、作用线相同、反向
      • 作用于2物体
  • 刚化原理
    • 变形体平衡，替代刚体亦平衡
      • 反之×
• 受力分析
  • 受力图
    • 取分离体
    • 主动力、约束反力
    • 关键细节
      • 铰链约束反力、平衡条件
      • 作用力、反作用力
      • 整体受力图只画外力
• 约束
  • 概念
    • 自由体
      • 空间任意运动
    • 非自由体
      • 运动受限制
    • 约束
      • 限制物体运动的条件
    • 约束体
      • 提供约束的物体
    • 约束反力
      • 约束体对物体作用力
    • 主动力
      • 使物体运动/运动趋势（给定
    • 被动力
      • 主动力引起（未知
  • 柔性体约束
    • 绳索、链条、皮带
    • 约束反力
      • 作用在接触点，方向沿绳中心线，背离物体
  • 光滑面约束
    • 约束反力
      • 过接触点，沿接触面公法线指向物体
  • 固定铰链约束
    • 水平竖直约束反力
    • 约束反力
      • 过铰链中心，方向待定，正交分力表示
  • 中间铰链
    • 限制中心位置平动
  • 辊轴约束
    • 被限制垂直支撑面的平动
    • 约束反力
      • 过铰链中心，垂直支承面
  • 滑槽&销钉
    • 约束反力
      • ⊥接触面
  • 轴承
    • 固定端

平面汇交力系

• 概念
  • 所有力都处于同一平面，汇交1点
• 几何法
  • 多边形法则
  • 平衡
    • 力多边形封闭
  • 封闭多边形
  • 充分必要
• 解析法
  • 合力投影定理
    • • 合力投影=分力投影和
  • 平面汇交力系平衡
    • 各力在xy投影代数和=0
  • • 研究对象
    • 受力图
    • 坐标系列平衡方程
    • 求解，计算未知量
      • +-方向

平面力偶系

• 力矩
  • 力矩
    • 逆时针+
  • 平移不变
  • 过矩心0
  • 平衡力合力矩0
• 力偶
  • 力偶
    • 只与力偶（×力）平衡
    • 无合力
    • 逆时针+
    • 三要素
      • 力偶矩大小
      • 力偶转向
      • 力偶作用面
  • 力偶矩
    • • 等大、反向、不共线的平行力
      • 大小、转向不变，任意改变力偶臂、力大小不影响作用
      • 作用平面内任意移动
      • 刚体√ 变形体×
• 等效
  • 同一平面2力偶
    • 力偶矩相等、转向同
  • 力偶可在作用面内任意转移，不影响对物体作用效应
  • 保持力偶矩大小、转向不变
    • 可任意改变力偶臂大小、力大小，不影响对物体作用
• 平面力偶系
  • 平面力偶系平衡

平面一般力系

• • 同一平面内
    • 不一点
      • 不完全平行
• 力线平移定理
  • 刚体的F可平移到任一点
    • 须附加1力偶
      • 力偶矩=F对平移点矩
• 主矢&主矩
  • 主矩~简化中心不同变化
  • • 平衡力系
  • • 简化为力偶
    • 力偶矩=主矩
    • 无关简化中心
  • • F'R为原力系合力
  • • 简化为1合力
• 合力矩定理
  • 平面力系可合成一个合力时
    • 合力对作用面内任一点矩 = 分力对同一点矩代数和
  • 分布
    • 合力方向同分布力
    • 合力=分布载荷几何图形面积
    • 合力作用线→几何图形形心
• 平衡条件
  • • 充分必要
  • 二矩式
    • • AB连线不⊥x轴
  • 三矩式
    • • ABC不共线
• 静定&静不定
  • 静定
    • 未知量=方程数
  • 静不定
    • 未知量>方程数

材料力学

• 1轴向拉伸压缩
  • 截面法
  • 应力
  • 弹性模量
  • 泊松比
    • • 横向/纵向
• 2剪切
  • 切应力
• 3扭转
  • • M
      • 作用在轴上的外力偶矩N·m
    • P
      • 轴转递功率kW
    • n
      • 轴转速r/min
  • 扭矩
  • 扭矩图
  • 最大切应力
    • 抗扭截面系数
      • • 实心圆截面
        • 空心圆截面
    • 单位长度扭转角
• 4弯曲内力
  • 自由端0
• 5弯曲应力
  • 正应力
• 9压杆稳定
  • 对截面中性轴惯性半径
  • 柔度
  • 大柔度
    • • 欧拉公式
  • 中柔度
  • 临界应力
• 8组合变形
  • 变形
    • 比较
      • 内力
        • 应力
          • 强度条件
    • 拉扭
      • 轴力FN+扭矩T
        • 截面分布正应力 半径分布切应力
    • 弯扭
      • 弯矩M+扭矩T
        • 中性轴分布正应力 半径分布切应力
• 7应力状态
  • 斜截面应力
  • 应力圆
    • 横坐标位置
    • 应力圆半径
    • 应力坐标点
  • 主应力
    • 最值
  • 方位角
  • 切应力
    • max
  • 强度理论
• 6弯曲变形
  • 挠曲线
  • 转角
  • 挠度
  • 连续条件
    • 两端支座处 挠度 = 0
    • 悬臂梁固定端 转角、挠度 = 0
  • 最值
    • 挠度max 转角=0
    • 边界 转角max
  • 叠加法
  • 筒惯性矩
  • 圆轴惯性矩
• • 惯性矩
    • 圆截面
    • 圆环形
    • 矩形
• 惯性矩

轴向拉伸压缩

• 工程
  • • 轴向拉伸构件
  • 杆产生沿轴线方向伸缩
    • 拉力
      • 轴向拉伸
    • 压力
      • 轴向压缩
• 内力
  • 轴力
    • 合力 ⊥截面 过截面形心
  • 截面法
• 应力
  • 平截面假设
    • 杆变形后各横截面仍平面
  • • • 横截面应力
    • • 横截面轴力
    • A
      • 横截面面积
        • 面积小，应力大
  • 正应力
    • ⊥截面
    • 拉应力+
    • 拉应力
  • 斜面
    • • • 拉+压-
      • • 顺+逆-
      • • 0°
          • 正应力最大
        • 45°
          • 切应力最大
• 变形
  • 纵向变形
    • • 纵向伸长量
        • 绝对伸长
      • 正比于拉力、原长 反比于横截面积
    • • 伸长+缩短-
      • E弹性模量
        • 关于材料性能
        • 越大，变形越小
  • 横线变形
    • • 宽度
    • • 厚度
  • • 横向变形系数 泊松比
• 应变能
  • 因弹性形变储存的能量
  • 弹性体内应变能=外力做功
  • • • 胡克定律
  • 应变能密度
• 应力集中
  • 局部应力突然增大
    • 孔槽附近++
    • 远离孔槽->均匀
  • 应力集中因数
    • • 截面最大应力
      • 截面平均应力
• 静不定
  • 静不定问题
    • 未知力数>独立平衡方程
      • 多一个
        • 一次静不定
      • 多二个
        • 二次静不定
  • • 受力图，独立平衡方程
    • • • • 变形几何条件
      • 胡克定律
        • • 物理条件
  • 温度应力
    • 温度引起形变
      • 受到阻碍
• 强度计算
  • • 许用应力
      • • n>1安全系数
  • 强度校核
  • 选择截面
  • 许用载荷
• 力学性能
  • 低碳钢
    • 等直部分取l0为标距
      • 试件直径
      • 长试件
      • 短试样
    • 应力衡量受力情况
    • 应变衡量变形情况
    • • 弹性阶段
        • 弹性阶段Oa
        • a'应力比例极限
          • • Q235钢
      • 屈服阶段
        • 屈服阶段bc
          • • 滑移线
        • 上屈服点b
        • 下屈服点b'
          • 首次下降到达最低值
          • 屈服点（屈服极限
          • Q235钢
      • 强化阶段
        • 强化阶段cd
          • 使其继续变形增加应力
        • 弹性应变O1O2
          • 可消失
        • 塑性应变OO1
          • 残留变形
        • 达到强化阶段，卸载重载
          • 比例极限、屈服极限提高 断裂塑性变形减小
            • 加工硬化 冷作硬化
              • 提高弹性阶段内承载能力
              • 降低塑性
      • 局部变形阶段
        • 颈缩现象
          • d横截面积局部迅速收缩
        • d抗拉强度（强度极限
          • • Q235钢
      • 伸长率 & 延伸率
        • • 拉断后的塑性变形程度
        • • l1:式样拉断后标距长度
          • l0:原标距长度
          • n:长短式样标志
            • 长试件
            • 短试样
          • Q235钢 δ5=25%~27%
          • δ
            • >5%
              • 塑性材料
                • 合金钢、碳素钢、青铜
            • <5%
              • 脆性材料
                • 铸铁、混凝土、石料
      • 断面收缩率
        • • A0原横截面积
          • A1断裂处横截面积
          • Q235钢 ψ=60%
  • 塑性
    • • 0.2%
        • 名义屈服
  • 脆性材料
    • • 到拉断试件变形小，断口横截面积几乎不变
  • 区别
    • 塑性材料
      • 断裂前有大塑性变形
      • 抗压近抗拉
        • 受拉构件
    • 脆性材料
      • 变形小
      • 抗压能力>抗拉能力
      • 受压构件
      • 铸铁抗压>>抗拉
  • 压缩
• 胡克定律
• 反映
  • 材料强度
  • 材料塑性
• • 研究内容
    • 强度、刚度、稳定性
  • 基本假设
    • 均匀、连续性假设
    • 各向同性假设
    • 小变形假设
  • 变形基本形式
    • 轴向拉压
    • 剪切
    • 扭转
    • 弯曲
    • 组合

剪切

• 剪切
  • 两力间横截面发生相对错动
  • 剪切强度
    • • 剪切面
        • m-m'
      • 剪力
        • Fs
      • 切应力
        • 单位面积平行截面的内力
        • • 面积最小处切应力最大
      • 许用切应力
        • • 塑性材料
          • 脆性材料
  • 挤压强度
    • • 挤压应力
        • • 挤压面
            • 挤压力作用面
      • 许用挤压应力
        • • 塑性材料
          • 脆性材料

扭转

• 外力偶矩
  • 扭转角
    • 任意2截面的相对角位移
  • • M
      • 作用在轴上的外力偶矩N·m
    • P
      • 轴转递功率kW
    • n
      • 轴转速r/min
• 扭矩
  • 扭矩图
    • 任一截面的扭矩=一侧所有外力偶矩代数和
• 圆轴扭转
  • 抗扭截面系数
    • • 实心圆轴
  • 强度
    • 截面周边有最大切应力
      • • • 许用切应力[τ]
            • 塑性[τ]=(0.5~0.6)[σ]
            • 脆性[τ]=(0.8~1.0)[σ]
  • 刚度
    • 单位长度扭转角不超过某许用值
    • 刚度条件
• 扭转
  • 薄壁圆筒
    • • 切应力
        • τ⊥半径
          • τ切圆筒周长
        • 切应力互等定理
          • 两个正交截面公共邻边处，切应力成对存在
        • 剪切胡克定律
          • • G剪切弹性模量
              • 钢材80Gpa
            • 切应力不超过比例极限τP，切应力与切应变成正比
  • 圆轴
    • 平截面假设
      • 圆轴各横截面保持为平面，形状大小不变 横截面半径保持为直线
    • 静力学
      • • • • 极惯性矩
    • 横截面任一点切应力
      • • T
          • 横截面扭矩
        • ρ
          • 横截面任一点到圆心
        • IP
          • 横截面对形心极惯性矩
• 浮动主题
  • 3-8
  • 3-13
  • 3-17
• 浮动主题
  • 3-1b
  • 3-2a
  • 3-4
  • 3-5
  • 3-6

弯曲内力

• • 受力特点
    • 外力⊥杆
  • 纵向对称面
    • • 通过梁轴线&截面对称轴
  • 简化
    • 固定铰链
    • 活动铰链
    • 固定端
  • 梁
    • 简支梁
      • • 均布载荷
    • 悬臂梁
      • • 集中力
    • 外伸梁
      • • 集中力偶
    • 静定梁
      • 平衡方程数 = 支反力数
    • 超静定梁
      • 未知支反力数 > 平衡方程数
• 剪力&弯矩
  • • 内力
      • • 剪力Fs
        • 弯矩M
  • 剪力
    • 顺时针错动+
  • 弯矩
    • 下凹+
  • 单侧法
• 图
  • 剪力图
  • 弯矩图
• 分布载荷密集度
  • • 剪力图某点斜率 = 梁上对应点载荷集度q
    • 弯矩图某点斜率 = 梁对应截面剪力Fs
  • q=0
    • 剪力=常数
    • 剪力图=水平
    • 弯矩图斜直线
      • 递增
  • q<0
    • 剪力图递减
    • 弯矩图上凸有极大值
      • 剪力=0
  • q>0
    • 剪力图递增
    • 弯矩图下凸有极小值
      • 剪力=0
• 作业
  • 4-5
    • eh
• • 4-1df
  • 4-2

弯曲应力

• 截面几何性质
  • 静矩
    • 量纲L³
    • 面积矩
      • 同截面对不同轴静矩不同
  • 形心
    • 截面几何中心
      • 截面有对称轴->形心在对称轴上
        • 轴过形心->截面对轴静矩0
        • 截面对轴静矩0->轴过形心
      • 截面有两对称轴->交点即形心
  • • 组合面
      • • 静矩
        • 形心
  • 二次矩
    • • 对轴惯性矩
        • 恒+
      • 对yx惯性积
        • +-0
        • 1轴为截面对称轴
      • O点极惯性矩
        • 恒+
    • 量纲
    • • 圆
      • 圆环
  • 平行轴公式
    • • C为形心
        • • 截面关于形心轴惯性矩最小
      • 截面关于形心轴惯性最小
  • 组合截面
• 正应力
  • 变形几何关系
    • 平面假设
      • 梁弯曲变形后，横截面仍保持为平面
    • 单项手里假设
      • 子主题
    • 中性层
      • 不伸长不缩短
      • • 对称弯曲
        • 中性轴
          • 越远正应力越大
    • • 中层下方y处应变
    • • 物理方程
        • • 应力~应变
      • 静力学方程
        • • • 截面对中性轴静矩=0
              • 中性轴过截面形心
        • • • 截面惯性积=0
              • yz轴为形心主轴
        • 弯曲变形
          • • • 抗弯刚度，抵抗弯曲变形能力
    • 纯弯曲梁截面正应力

弯曲变形

• 微分方程
  • • 挠曲线
      • 轴线变形形成的光滑连续曲线
    • 转角
      • 逆+顺-
      • 截面绕中性轴转角
      • 转角方程
    • 挠度
      • 上+下-
      • 垂直于变形前轴线方向的线位移
      • 挠度方程
    • 纯弯曲
      • • 恒力弯曲
          • • • +凹 -凸
              • M=0为挠曲线拐点
              • 有一段M=0
                • 直线
              • 约束性质与连续光滑性确定大致形状
• 积分法
  • 积分得转角
  • 积分得挠度
  • 边界条件
    • 两端支座处挠度=0
    • 悬臂梁固定端 转角、挠度=0
  • 位移连续条件
    • 相邻梁端交界处，连接截面的挠度、转角相等
  • 最值
    • 挠度最大处 转角=0
    • （边界转角最大
  • 中点挠度代替最大挠度，误差＜3%
    • 简支梁挠曲线向一个方向弯曲，无拐点，可用中点挠度代替最大挠度
• 叠加法
• 静不定梁
  • 未知反力数多于平衡方程数
    • 多1
      • • 一次静不定梁
  • 变形协调条件
    • • 阻止A转动的约束
  • 变形比较法
    • 适当基本静定梁
    • 相应变形协调条件、物理关系建立补充方程
    • 联立平衡方程解支座反力
• 刚度校核
  • • 许用挠度
    • 许用转角
• 作业
  • 6-2：cd
  • 6-3：de
  • 6-9
  • 6-7
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应力状态&强度理论

• 应力状态
  • 通过受力构件内某点各截面应力情况
  • 研究方法
    • 单元体
      • 绕点截取微小正六面体
      • 应力均布于各侧面，对侧应力等大反向
      • • 原始单元体
    • 简单应力状态
      • 单向应力
      • 纯剪应力
    • 复杂应力状态
      • 平面应力
      • 空间应力
  • 平面应力状态
    • • 单元体各平面应力//某对平面
      • 该对平面无应力
• 平面应力状态解析法
  • 斜截面
    • • • • n向
        • • t向
  • 极值
    • • 正应力取极值
        • 主平面方位角
  • 主平面
    • 切应力=0的平面
    • 主方向
      • 主平面法线方向
      • • 相互垂直
        • 两平面正交
    • 主应力
      • 主平面的正应力
      • • • 主应力为
        • • 主应力为
  • 切应力极值
  • • 1
      • 两互相垂直正应力之和是常量
      • 任取两正交斜面，β=90°+α
    • 2
      • 两互相正交截面公共邻边的切应力成对存在，等大反向
        • 皆指向/背离公共棱边
• 强度理论
  • 材料破坏形式
    • 脆性断裂
      • 直到破坏都无明显塑性变形
        • 铸铁拉伸
    • 塑性屈服
      • 明显塑性变形
        • 低碳钢拉伸
  • 简单应力状态
    • 实验建立强度条件
      • 单向应力
        • 单向拉压、纯弯曲
      • 纯剪应力
        • 圆轴扭转、平面弯曲中性轴
  • 强度理论
    • 利用简单受力实验结果，建立复杂应力下强度条件
    • 最大拉应力理论（第一强度理论
    • 最大伸长线应变理论（第二
    • 脆性断裂为破坏标志
    • 最大切应力理论（第三
    • 形状改变比能（畸变能密度理论（第四
    • 塑性屈服为破坏标志
  • 相当应力
    • 强度条件
  • 一般步骤
    • 由构件受力与变形特点，判断危险点位置
    • 截取危险点原始单元体，计算单元体应力状态
    • 计算危险点主应力
    • 选取适当强度理论，计算相当用力
      • 复杂应力转化为有等效的单向应力状态
    • 由材料许用应力[σ]比较，强度计算
• 图解法
  • 莫尔圆
    • • • σ横坐标 τ纵坐标
    • 方程
      • • 圆心
        • 半径
    • 绘制
      • 建立σ-τ坐标系，选择合适比例尺
      • σ-τ坐标系确定点
      • AB连线交横轴于C
      • C为圆心，AC为半径
        • 绘圆
    • 意义
      • 点面一一对应
        • （正应力，切应力）
      • 同转向二倍角
        • 应力圆半径CDx→CDα 同向 单元体x面→α面
        • 应力圆x面点Dx与α面点Dα半径夹角 = 2 × 单元体x面∠α面
      • 可确定主应力
      • 面内最大切应力
  • 特殊莫尔圆
    • 单项拉伸应力状态
    • 纯剪切应力状态
  • 空间应力状态
    • 广义胡克定律
    • • 1方向
        • 和
      • • 最大
        • 最小
• 作业
• 符号
  • • 逆时针+
  • • 拉应力+
    • 压应力-
  • • 顺时针+
• 强度条件
  • 拉伸
  • 扭转
  • 弯曲

组合变形

• 概念
  • 组合变形
    • 构建同时产生>=2种基本变形（拉压弯扭）
  • 常见
    • 弯曲&拉伸（压缩）
    • 圆截面直杆弯曲扭转组合
    • 圆截面扭转拉伸(压缩
    • 圆截面直杆弯扭拉（压
• 斜弯曲
• 拉（压）弯组合变形
  • • 1按外力分解
    • 2内力分析
    • 3应力分析
    • 4确定危险截面，点
• 偏心拉（压
• 弯扭组合变形
  • 扭转+弯曲
  • 第三强度理论
  • 第四强度理论
• 扭转拉伸
• 组合变形分析
• • • 纯弯曲梁截面正应力

压杆稳定

• 基本概念
  • 压杆稳定性
    • 定义
      • 轴向压力作用下，维持原有变形受力平衡能力
  • 临界力
    • 理想压杆
      • 定义
        • 轴线直线，材料均匀，载荷作用线与轴线重合
    • 失稳
    • 定义
      • 稳定平衡→不稳定平衡 的载荷临界值
    • 推导
      • 平衡方程
        • 微扰动微分方程
          • 特征方程
            • 临界载荷
  • 临界应力
    • 定义
      • 临界力作用下压杆横截面平均应力
  • 柔度
    • 定义
      • 反映杆端约束情况，压杆长度，截面形状，尺寸 对临界力综合影响
        • 长↑细↑ 柔度↑
• 公式
  • 柔度
    • • 压杆长度因数
      • 对截面中性轴惯性半径
  • 大柔度
    • 欧拉公式
  • 中柔度
  • 临界应力
  • 安全因数
    • 工作压力
    • 工作稳定安全因数
      • • 钢制压杆[nst]=1.8~3.0
• 提高稳定性
  • μ越小越好，杆端受约束越强
  • 子主题
  • 合理选择材料
• 主题
• 作业