工程力学（静力学、材料力学）思维导图

基于《工程力学 静力学》《工程力学 材料力学》（第四版）北京科技大学 东北大学 编，包括静力学：1.基本定理、2.平面汇交力系、3.平面力偶系、4.平面一般力系；材料力学：1.轴向拉压、2.剪切、3.扭转、4.弯曲内力、5.弯曲应力、6.弯曲变形、7.应力强度理论、8.组合变形、9.压杆稳定的概念、公式与例题，欢迎继续关注！

静力学

受力图

公理

加减平衡力系公理

任一力系+-平衡力系，不改变原力系作用效应

力可传性原理

作用于刚体的力，作用线移到任一点

三力平衡汇交定理

刚体受不平衡三力作用平衡，三力汇交一点且在同一平面

作用与反作用定律

子主题

约束力

受力图

解除约束

找二力构件三力构件

主动力

平面汇交力系

空间力系

求形心

平面一般力系

力线平移定理

刚体F可平移任一点，附加力偶

力矩

力矩

力偶

等大 反向 不共线

力偶矩

力

概念

物体间相互机械作用

效应

外效应

运动状态发生变化

内效应

变形

三要素

大小

方向

作用点

n.

机械运动

空间位置随时间变化

平衡

静止/匀速直线

平衡条件

平衡时所有力应满足条件

力系

作用在物体的力的集合

平衡力系

维持物理平衡的力系

简化

等效

刚体

任何状态不发生形变

变形体

静力学

受力分析

力系简化

平衡条件与平衡方程

公理

二力平衡（刚体

两力大小相等，方向相反，2力沿作用点连线

二力构件

只在两个力作用下平衡状态

二力杆

加减平衡力系

作用于刚体任一力系+-任一平衡力系，不改变作用效应

可传性

作用于刚体的力可沿作用线移至刚体任一点

平行四边形

同一点2力可合成1合力

作用点不变，对角线

共面可合成

三角形

三力平衡汇交定理

刚体受不平衡三力作用而平衡，三力作用必交汇一点且共面

作用力与反作用力

等大、作用线相同、反向

作用于2物体

刚化原理

变形体平衡，替代刚体亦平衡

反之×

受力分析

受力图

取分离体

主动力、约束反力

关键细节

铰链约束反力、平衡条件

作用力、反作用力

整体受力图只画外力

约束

概念

自由体

空间任意运动

非自由体

运动受限制

约束

限制物体运动的条件

约束体

提供约束的物体

约束反力

约束体对物体作用力

主动力

使物体运动/运动趋势（给定

被动力

主动力引起（未知

柔性体约束

绳索、链条、皮带

约束反力

作用在接触点，方向沿绳中心线，背离物体

光滑面约束

约束反力

过接触点，沿接触面公法线指向物体

固定铰链约束

水平竖直约束反力

约束反力

过铰链中心，方向待定，正交分力表示

中间铰链

限制中心位置平动

辊轴约束

被限制垂直支撑面的平动

约束反力

过铰链中心，垂直支承面

滑槽&销钉

约束反力

⊥接触面

轴承

固定端

平面汇交力系

概念

所有力都处于同一平面，汇交1点

几何法

多边形法则

平衡

力多边形封闭

封闭多边形

充分必要

解析法

合力投影定理

合力投影=分力投影和

平面汇交力系平衡

各力在xy投影代数和=0

研究对象

受力图

坐标系列平衡方程

求解，计算未知量

+-方向

平面力偶系

力矩

力矩

逆时针+

平移不变

过矩心0

平衡力合力矩0

力偶

力偶

只与力偶（×力）平衡

无合力

逆时针+

三要素

力偶矩大小

力偶转向

力偶作用面

力偶矩

等大、反向、不共线的平行力

大小、转向不变，任意改变力偶臂、力大小不影响作用

作用平面内任意移动

刚体√ 变形体×

等效

同一平面2力偶

力偶矩相等、转向同

力偶可在作用面内任意转移，不影响对物体作用效应

保持力偶矩大小、转向不变

可任意改变力偶臂大小、力大小，不影响对物体作用

平面力偶系

平面力偶系平衡

平面一般力系

同一平面内

不一点

不完全平行

力线平移定理

刚体的F可平移到任一点

须附加1力偶

力偶矩=F对平移点矩

主矢&主矩

主矩~简化中心不同变化

平衡力系

简化为力偶

力偶矩=主矩

无关简化中心

F'R为原力系合力

简化为1合力

合力矩定理

平面力系可合成一个合力时

合力对作用面内任一点矩 = 分力对同一点矩代数和

分布

合力方向同分布力

合力=分布载荷几何图形面积

合力作用线→几何图形形心

平衡条件

充分必要

二矩式

AB连线不⊥x轴

三矩式

ABC不共线

静定&静不定

静定

未知量=方程数

静不定

未知量>方程数

材料力学

1轴向拉伸压缩

截面法

应力

弹性模量

泊松比

横向/纵向

2剪切

切应力

3扭转

M

作用在轴上的外力偶矩N·m

P

轴转递功率kW

n

轴转速r/min

扭矩

扭矩图

最大切应力

抗扭截面系数

实心圆截面

空心圆截面

单位长度扭转角

4弯曲内力

自由端0

5弯曲应力

正应力

9压杆稳定

对截面中性轴惯性半径

柔度

大柔度

欧拉公式

中柔度

临界应力

8组合变形

变形

比较

内力

应力

强度条件

拉扭

轴力FN+扭矩T

截面分布正应力 半径分布切应力

弯扭

弯矩M+扭矩T

中性轴分布正应力 半径分布切应力

7应力状态

斜截面应力

应力圆

横坐标位置

应力圆半径

应力坐标点

主应力

最值

方位角

切应力

max

强度理论

6弯曲变形

挠曲线

转角

挠度

连续条件

两端支座处 挠度 = 0

悬臂梁固定端 转角、挠度 = 0

最值

挠度max 转角=0

边界 转角max

叠加法

筒惯性矩

圆轴惯性矩

惯性矩

圆截面

圆环形

矩形

惯性矩

轴向拉伸压缩

工程

轴向拉伸构件

杆产生沿轴线方向伸缩

拉力

轴向拉伸

压力

轴向压缩

内力

轴力

合力 ⊥截面 过截面形心

截面法

应力

平截面假设

杆变形后各横截面仍平面

横截面应力

横截面轴力

A

横截面面积

面积小，应力大

正应力

⊥截面

拉应力+

拉应力

斜面

拉+压-

顺+逆-

0°

正应力最大

45°

切应力最大

变形

纵向变形

纵向伸长量

绝对伸长

正比于拉力、原长 反比于横截面积

伸长+缩短-

E弹性模量

关于材料性能

越大，变形越小

横线变形

宽度

厚度

横向变形系数 泊松比

应变能

因弹性形变储存的能量

弹性体内应变能=外力做功

胡克定律

应变能密度

应力集中

局部应力突然增大

孔槽附近++

远离孔槽->均匀

应力集中因数

截面最大应力

截面平均应力

静不定

静不定问题

未知力数>独立平衡方程

多一个

一次静不定

多二个

二次静不定

受力图，独立平衡方程

变形几何条件

胡克定律

物理条件

温度应力

温度引起形变

受到阻碍

强度计算

许用应力

n>1安全系数

强度校核

选择截面

许用载荷

力学性能

低碳钢

等直部分取l0为标距

试件直径

长试件

短试样

应力衡量受力情况

应变衡量变形情况

弹性阶段

弹性阶段Oa

a'应力比例极限

Q235钢

屈服阶段

屈服阶段bc

滑移线

上屈服点b

下屈服点b'

首次下降到达最低值

屈服点（屈服极限

Q235钢

强化阶段

强化阶段cd

使其继续变形增加应力

弹性应变O1O2

可消失

塑性应变OO1

残留变形

达到强化阶段，卸载重载

比例极限、屈服极限提高 断裂塑性变形减小

加工硬化 冷作硬化

提高弹性阶段内承载能力

降低塑性

局部变形阶段

颈缩现象

d横截面积局部迅速收缩

d抗拉强度（强度极限

Q235钢

伸长率 & 延伸率

拉断后的塑性变形程度

l1:式样拉断后标距长度

l0:原标距长度

n:长短式样标志

长试件

短试样

Q235钢 δ5=25%~27%

δ

>5%

塑性材料

合金钢、碳素钢、青铜

<5%

脆性材料

铸铁、混凝土、石料

断面收缩率

A0原横截面积

A1断裂处横截面积

Q235钢 ψ=60%

塑性

0.2%

名义屈服

脆性材料

到拉断试件变形小，断口横截面积几乎不变

区别

塑性材料

断裂前有大塑性变形

抗压近抗拉

受拉构件

脆性材料

变形小

抗压能力>抗拉能力

受压构件

铸铁抗压>>抗拉

压缩

胡克定律

反映

材料强度

材料塑性

研究内容

强度、刚度、稳定性

基本假设

均匀、连续性假设

各向同性假设

小变形假设

变形基本形式

轴向拉压

剪切

扭转

弯曲

组合

剪切

剪切

两力间横截面发生相对错动

剪切强度

剪切面

m-m'

剪力

Fs

切应力

单位面积平行截面的内力

面积最小处切应力最大

许用切应力

塑性材料

脆性材料

挤压强度

挤压应力

挤压面

挤压力作用面

许用挤压应力

塑性材料

脆性材料

扭转

外力偶矩

扭转角

任意2截面的相对角位移

M

作用在轴上的外力偶矩N·m

P

轴转递功率kW

n

轴转速r/min

扭矩

扭矩图

任一截面的扭矩=一侧所有外力偶矩代数和

圆轴扭转

抗扭截面系数

实心圆轴

强度

截面周边有最大切应力

许用切应力[τ]

塑性[τ]=(0.5~0.6)[σ]

脆性[τ]=(0.8~1.0)[σ]

刚度

单位长度扭转角不超过某许用值

刚度条件

扭转

薄壁圆筒

切应力

τ⊥半径

τ切圆筒周长

切应力互等定理

两个正交截面公共邻边处，切应力成对存在

剪切胡克定律

G剪切弹性模量

钢材80Gpa

切应力不超过比例极限τP，切应力与切应变成正比

圆轴

平截面假设

圆轴各横截面保持为平面，形状大小不变 横截面半径保持为直线

静力学

极惯性矩

横截面任一点切应力

T

横截面扭矩

ρ

横截面任一点到圆心

IP

横截面对形心极惯性矩

浮动主题

3-8

3-13

3-17

浮动主题

3-1b

3-2a

3-4

3-5

3-6

弯曲内力

受力特点

外力⊥杆

纵向对称面

通过梁轴线&截面对称轴

简化

固定铰链

活动铰链

固定端

梁

简支梁

均布载荷

悬臂梁

集中力

外伸梁

集中力偶

静定梁

平衡方程数 = 支反力数

超静定梁

未知支反力数 > 平衡方程数

剪力&弯矩

内力

剪力Fs

弯矩M

剪力

顺时针错动+

弯矩

下凹+

单侧法

图

剪力图

弯矩图

分布载荷密集度

剪力图某点斜率 = 梁上对应点载荷集度q

弯矩图某点斜率 = 梁对应截面剪力Fs

q=0

剪力=常数

剪力图=水平

弯矩图斜直线

递增

q<0

剪力图递减

弯矩图上凸有极大值

剪力=0

q>0

剪力图递增

弯矩图下凸有极小值

剪力=0

作业

4-5

eh

4-1df

4-2

弯曲应力

截面几何性质

静矩

量纲L³

面积矩

同截面对不同轴静矩不同

形心

截面几何中心

截面有对称轴->形心在对称轴上

轴过形心->截面对轴静矩0

截面对轴静矩0->轴过形心

截面有两对称轴->交点即形心

组合面

静矩

形心

二次矩

对轴惯性矩

恒+

对yx惯性积

+-0

1轴为截面对称轴

O点极惯性矩

恒+

量纲

圆

圆环

平行轴公式

C为形心

截面关于形心轴惯性矩最小

截面关于形心轴惯性最小

组合截面

正应力

变形几何关系

平面假设

梁弯曲变形后，横截面仍保持为平面

单项手里假设

子主题

中性层

不伸长不缩短

对称弯曲

中性轴

越远正应力越大

中层下方y处应变

物理方程

应力~应变

静力学方程

截面对中性轴静矩=0

中性轴过截面形心

截面惯性积=0

yz轴为形心主轴

弯曲变形

抗弯刚度，抵抗弯曲变形能力

纯弯曲梁截面正应力

弯曲变形

微分方程

挠曲线

轴线变形形成的光滑连续曲线

转角

逆+顺-

截面绕中性轴转角

转角方程

挠度

上+下-

垂直于变形前轴线方向的线位移

挠度方程

纯弯曲

恒力弯曲

+凹 -凸

M=0为挠曲线拐点

有一段M=0

直线

约束性质与连续光滑性确定大致形状

积分法

积分得转角

积分得挠度

边界条件

两端支座处挠度=0

悬臂梁固定端 转角、挠度=0

位移连续条件

相邻梁端交界处，连接截面的挠度、转角相等

最值

挠度最大处 转角=0

（边界转角最大

中点挠度代替最大挠度，误差＜3%

简支梁挠曲线向一个方向弯曲，无拐点，可用中点挠度代替最大挠度

叠加法

静不定梁

未知反力数多于平衡方程数

多1

一次静不定梁

变形协调条件

阻止A转动的约束

变形比较法

适当基本静定梁

相应变形协调条件、物理关系建立补充方程

联立平衡方程解支座反力

刚度校核

许用挠度

许用转角

作业

6-2：cd

6-3：de

6-9

6-7

6-11

6-14

应力状态&强度理论

应力状态

通过受力构件内某点各截面应力情况

研究方法

单元体

绕点截取微小正六面体

应力均布于各侧面，对侧应力等大反向

原始单元体

简单应力状态

单向应力

纯剪应力

复杂应力状态

平面应力

空间应力

平面应力状态

单元体各平面应力//某对平面

该对平面无应力

平面应力状态解析法

斜截面

n向

t向

极值

正应力取极值

主平面方位角

主平面

切应力=0的平面

主方向

主平面法线方向

相互垂直

两平面正交

主应力

主平面的正应力

主应力为

主应力为

切应力极值

1

两互相垂直正应力之和是常量

任取两正交斜面，β=90°+α

2

两互相正交截面公共邻边的切应力成对存在，等大反向

皆指向/背离公共棱边

强度理论

材料破坏形式

脆性断裂

直到破坏都无明显塑性变形

铸铁拉伸

塑性屈服

明显塑性变形

低碳钢拉伸

简单应力状态

实验建立强度条件

单向应力

单向拉压、纯弯曲

纯剪应力

圆轴扭转、平面弯曲中性轴

强度理论

利用简单受力实验结果，建立复杂应力下强度条件

最大拉应力理论（第一强度理论

最大伸长线应变理论（第二

脆性断裂为破坏标志

最大切应力理论（第三

形状改变比能（畸变能密度理论（第四

塑性屈服为破坏标志

相当应力

强度条件

一般步骤

由构件受力与变形特点，判断危险点位置

截取危险点原始单元体，计算单元体应力状态

计算危险点主应力

选取适当强度理论，计算相当用力

复杂应力转化为有等效的单向应力状态

由材料许用应力[σ]比较，强度计算

图解法

莫尔圆

σ横坐标 τ纵坐标

方程

圆心

半径

绘制

建立σ-τ坐标系，选择合适比例尺

σ-τ坐标系确定点

AB连线交横轴于C

C为圆心，AC为半径

绘圆

意义

点面一一对应

（正应力，切应力）

同转向二倍角

应力圆半径CDx→CDα 同向 单元体x面→α面

应力圆x面点Dx与α面点Dα半径夹角 = 2 × 单元体x面∠α面

可确定主应力

面内最大切应力

特殊莫尔圆

单项拉伸应力状态

纯剪切应力状态

空间应力状态

广义胡克定律

1方向

和

最大

最小

作业

符号

逆时针+

拉应力+

压应力-

顺时针+

强度条件

拉伸

扭转

弯曲

组合变形

概念

组合变形

构建同时产生>=2种基本变形（拉压弯扭）

常见

弯曲&拉伸（压缩）

圆截面直杆弯曲扭转组合

圆截面扭转拉伸(压缩

圆截面直杆弯扭拉（压

斜弯曲

拉（压）弯组合变形

1按外力分解

2内力分析

3应力分析

4确定危险截面，点

偏心拉（压

弯扭组合变形

扭转+弯曲

第三强度理论

第四强度理论

扭转拉伸

组合变形分析

纯弯曲梁截面正应力

压杆稳定

基本概念

压杆稳定性

定义

轴向压力作用下，维持原有变形受力平衡能力

临界力

理想压杆

定义

轴线直线，材料均匀，载荷作用线与轴线重合

失稳

定义

稳定平衡→不稳定平衡 的载荷临界值

推导

平衡方程

微扰动微分方程

特征方程

临界载荷

临界应力

定义

临界力作用下压杆横截面平均应力

柔度

定义

反映杆端约束情况，压杆长度，截面形状，尺寸 对临界力综合影响

长↑细↑ 柔度↑

公式

柔度

压杆长度因数

对截面中性轴惯性半径

大柔度

欧拉公式

中柔度

临界应力

安全因数

工作压力

工作稳定安全因数

钢制压杆[nst]=1.8~3.0

提高稳定性

μ越小越好，杆端受约束越强

子主题

合理选择材料

主题

作业