9.5 二次函数

苏科版初中数学九下第5章《二次函数》知识点梳理，包含：1.二次函数的概念 2.二次函数的图像和性质 3.用待定系数法确定二次函数表达式 4.二次函数与一元二次方程 5.用二次函数解决问题

二次函数

• 二次函数
  • 概念
    • 一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数
    • • a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项
      • x是自变量，y是x的函数
    • • 等号的右边是一个整式——不是分式
      • 最高次项的次数是二次的，并且保证二次项系数永远不为0
• 图像与性质
  • 图形与性质
    • y=ax²（a≠0）
      • 它是一条关于y轴左右对称的、平滑的曲线，这样的曲线叫做抛物线
      • 顶点
        • 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点
      • 
      • • |a|越大，抛物线的开口越小，图像两边越靠近y轴
        • |a|越小，抛物线的开口越大，图像两边越远离y轴
        • 理解抛物线y＝ax²与y＝－ax²的关系
          • 抛物线y＝ax²与y＝－ax²关于x轴成轴对称，关于原点成中心对称
    • y=ax²+c（a≠0）
      • 
    • y=a（x-h）²
      • 
    • y=a（x-h）²+k（a≠0）
      • 
    • y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
      • 
      • a决定开口方向和开口大小
        • 开口方向
          • a>0时，抛物线开口向上
          • a<0时，抛物线开口向下
        • 开口大小
          • |a|越大，抛物线开口越小
      • b和a共同决定抛物线对称轴的位置
        • b=0
          • 对称轴为y轴
        • ab＞0
          • 对称轴在y轴左侧
        • ab＜0
          • 对称轴在y轴右侧
      • c的大小决定抛物线与y轴交点的位置
        • c=0
          • 图像过原点
        • c＞0
          • 与y轴的正半轴相交
        • c＜0
          • 与y轴的负半轴相交
      • ∆=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点
        • b²-4ac=0
          • 与x轴有唯一交点（顶点）
        • b²-4ac＞0
          • 与x轴有两个不同的交点
        • b²-4ac＜0
          • 与x轴无交点
    • • 抛物线三要素
        • 开口方向
        • 对称轴
        • 顶点
  • 二次函数的图像变换
    • 平移
      • 上加下减（括号外）
      • 左加右减（括号内）
        • 解析式化为顶点式
      • 
    • 对称
      • 关于x轴对称
        • y=ax²+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²-k
      • 关于y轴对称
        • y=ax²+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax²-bx+c
        • y=a（x-h）²+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a（x+h）²+k
    • 旋转
      • 绕原点旋转180°（即关于原点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax²+bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a（x+h）²-k
      • 绕顶点旋转180°（即关于顶点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx+c-
        • y=a（x-h）²+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²+k
  • 求抛物线的顶点、对称轴的方法
    • 公式法
      • y=ax²+bx+c=
        • 顶点坐标：
        • 对称轴是直线
    • 配方法
      • 运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k的形式
        • 顶点坐标（h,k）
        • 对称轴是直线x=h
    • 运用抛物线的对称性
      • 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点
• 求二次函数表达式
  • 方法
    • 待定系数法
  • 二次函数解析式
    • 一般式
      • y=ax²+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）
      • • 已知抛物线上任意三点坐标
    • 顶点式
      • y=a（x-h）²+k（a,h,k为常数，a≠0）
        • （h,k）是抛物线的顶点
      • • 已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值
    • 交点式（两点式）
      • 
        • ，是二次函数与x轴交点的横坐标，a≠0
      • • 已知抛物线与x轴的两交点坐标时
    • • 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式
      • 并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即b²-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示
  • 步骤
    • ①设
      • 根据题意，设合适的二次函数解析式
    • ②代
      • 把相关已知条件，代入二次函数解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）
    • ③解
      • 解此方程或方程组，求待定系数
    • ④还原
      • 将求出的待定系数还原到解析式中
• 二次函数与一元二次方程
  • 关系
    • 对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0） ，当y取定值d时，函数转化为一元二次方程ax²+bx+c=d.
    • 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标为，当x=时，函数值为0，因此，x=就是一元二次方程的一个解
    • 
  • 利用函数图像求一元二次方程根的近似值
    • 步骤
      • 作出函数的图象，并由图象确定交点个数，即方程解的个数
      • 由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围
      • 观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）
    • 方法
      • 直接做出函数y=ax²+bx+c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根．
      • 先将方程变为ax²+bx=-c，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax²+bx和直线y=-c，图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
      • 先将方程变为ax²=-bx-c，再分别做出抛物线y=ax²和直线y=-bx-c ，则两图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
  • 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
    • 当∆＞0时，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点为
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• 用二次函数解决问题
  • • 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式
  • 基本思路
    • 审清题意，理解问题
      • 弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)
    • 设出两个变量
      • 注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确
    • 列函数表达式
      • 抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数
    • 用数学方法求解
    • 检验结果的合理性
  • 注意
    • 善于将实际问题转化为数学问题，再转化为函数问题
    • 注意自变量的取值范围，不仅保证函数解析式有意义，还要保证符合实际意义
  • 具体步骤
    • 1.自变量
    • 2.建立函数解析式
    • 3.建立自变量取值范围
    • 4.根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值或其他
    • 5.验证，写答