导图社区 数学线性代数思维导图
考研数学一线性代数复习提纲,包含了常见基本矩阵、矩阵运算、初等交换、特殊型矩阵等内容,干货满满,需要可收藏。
编辑于2021-07-03 18:42:49线性代数
向量
定义
n维向量
n个数组成的有序数组
行向量
列向量
向量长度
向量组
整体组
部分组
延伸组
缩短组
单位向量
向量正交
定义
性质
非零向量线性无关是非零向量正交的充分不必要条件
证明
证明
零向量与任何向量正交
运算
向量加法
数乘向量
向量内积
定义
性质
向量组
向量组之间的关系
线性组合
定义
线性表示
定义
求解
非齐次线性方程组有解
运用秩
线性相关
定义
特殊情形
判定方法
定义法
某一向量可由其他向量线性表示
向量组的秩
线性齐次方程组的解
充要条件
有n+1个n维向量
少数向量表示多数向量
充分条件
线性无关
定义
特殊情形
极大线性无关组
定义
求法
化为列向量组成矩阵进行初等行变换化为阶梯型求解
基本原理为:初等行变换不改变列向量的线性关系
施密特(Schmidt)标准正交化
方式
先正交化
再单位化
判定方法
定义法
步骤
设出形式
进行恒等变换
左右同乘
重组
向量组的秩
矩阵满秩
注意公式的使用
齐次线性方程组的解
只有零解
充要条件
反证法
阶梯型向量组
充分条件
秩
定义
向量组的极大线性无关组中所含有的响亮的个数
向量空间
特征值和特征向量
特征值和特征向量
定义
特征值
定义
几何理解
经过线性变换后某向量的方向不变,模发生变化,这个模就是特征值
特征向量
定义
几何理解
在一条直线上的经过线性变换后向量方向不变的向量
特征多项式
特征方程
迹
主对角线元素之和
实对称矩阵
性质
特征值
子主题
可能没有,可能一个,可能多个
上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素
形式一写就得证
计算技巧
特征向量
属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量
属于不同特征值的特征向量线性无关
对应特征值,可能没有,有就有无数个(线性相关)
抽象矩阵特征值与特征向量
求解
数字型矩阵
直接计算
先求特征值
再求属于每个特征值的特征向量
抽象矩阵
定义法
关联矩阵法
原矩阵,伴随矩阵,逆矩阵—知一则知所有
利用相似矩阵
两个意识
相似
相似矩阵
定义
几何理解
一种“不同坐标系”的转化
基变换
从右往左
将某一向量用我们的坐标表示,即A为基变换矩阵
在我们的坐标系中发生变换,用M表示
再用另一个坐标表示出来
性质
自身性
对称性
传递性
等价关系
必要条件
两矩阵相似,则两矩阵的秩相等
两矩阵相似,则两矩阵有相同的特征值
拓展
求法
实对称矩阵
定义
性质
实对称矩阵的所有特征值都是实数
实对称矩阵必可相似对角化
实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交
可相似对角化
定义
性质
n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
若n阶方阵A有n个不同的特征值,则A可相似对角化
n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是A的每个特征值中,线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数
判断方法
矩阵是否为实对称矩阵
1. 若是,可对角化
2. 若不是,进一步判断
计算特征值
特征值全为单值
每个特征值重数等于线性无关特征向量个数
抽象向量考虑秩和基础解系的关系
注意:非实对称矩阵不能用正交化(反证法,代入公式两边等价计算观察到)
子主题
求法
一般矩阵相似对角化过程
实对称矩阵相似对角化过程
二次型
二次型及其标准型
二次型
定义
子主题
二次型标准化
子主题
方法
配方法
正交变换法
规范二次型
可逆的坐标变换
性质
标准形定理
惯性定理
矩阵合同定理
标准型
定义
性质
正定二次型
定义
性质
子主题
子主题
子主题
子主题
子主题
子主题
证明方法
定义法
顺序主子式法
特征值法
若A的特征值全为正数,那么矩阵A就是正定矩阵
可逆矩阵法
若存在可逆矩阵,使得矩阵A为该可逆矩阵和该矩阵的转置之积,那么矩阵A为正定矩阵
线性方程组
齐次线性方程组
表示方法
矩阵表示
子主题
出题角度
计算
含参数求解
考虑行列式
行变换去掉公因子时考虑其是否为0
向量表示
子主题
出题角度
方程组有解的条件和判定
利用好三大性质和其他特性
n阶齐次方程组总有零解
对于m≠n的齐次方程组,考虑秩与n的关系
r(A)=n,只有零解
r(A)<n,有无穷多解
对于m≠n的非齐次方程组,考虑系数矩阵和增广矩阵的秩的关系
什么是增广矩阵
r(A)≠r([A,b]),无解
r(A)=r([A,b])=n,有唯一解
r(A)=r([A,b])=r<n,有无穷多解
结合极大无关组的应用等判断秩
解的结构
齐次方程组的基础解系和通解形式
齐次方程组的基础解系和非齐次方程组的特解组成通解
基础解系的讨论
基础解系三大条件
齐次方程组
是齐次方程组的解
向量组线性无关
s=n-r
记基础解系的解向量为s
系数矩阵列向量和解的关系
解
基础解系
概念
条件
是齐次方程组的解
向量组线性无关
s=n-r
记基础解系的解向量为s
解的性质
齐次线性方程组解的线性组合仍是齐次线性方程组的解
必有解
判别解的数量
唯一零解
有非零解
系数矩阵的秩小于n
系数矩阵的列向量线性相关
m与n的关系
m<n
m=n
m>n
通解
求解方法
初等变换化为阶梯型
找出秩为r的子矩阵,其余列位置的未知数即为自由变量
根据基础解系求得通解
总流程
公共解
求法
联立求解
求出一个方程组的通解代入到另一个方程组,找出k的关系并回代得通解
分别求出两个方程组的基础解系并联立用一个变量表示另一个,得出公共解
同解
定义
两齐次方程组有完全相同的解
性质
两个齐次方程组的解满足另一个齐次方程组
系数矩阵的秩相等
三秩相同,即两系数矩阵和拼接后矩阵的秩都相等
思维拓展
两矩阵相乘得零矩阵,则右乘矩阵列向量为方程组的解
若AX=O与BX=O为同解方程组,则r(A)=r(B),反之不对
若AX=O的解为BX=O的解,则r(A)≥r(B)
若AX=O的解为BX=O的解,但BX=O的解不全是AX=O的解,有r(A)>r(B)
若AX=O的解为BX=O的解,且r(A)=r(B),则两方程组同解
非齐次线性方程组
表示方法
矩阵表示
向量表示
解
有解条件
无解
r(A)≠r([A,b]),无解
有唯一解
r(A)=r([A,b])=n,有唯一解
有无穷多解
r(A)=r([A,b])=r<n,有无穷多解
有解必须两值相等
解的结构
描述
齐次方程组的基础解系和非齐次方程组的特解组成通解
形式
解的性质
非齐次方程组的两个解之差是对应齐次方程组的解
非齐次方程组的解的线性组合是该非齐次线性方程组的解的充要条件是线性组合的系数和为1
非齐次方程组的解的线性组合是对应齐次线性方程组的解的充要条件是线性组合的系数和为0
求解方法
先求齐次方程组的通解
再求非齐次方程组的特解
两者相加即为通解
总流程
矩阵
定义
一个m行n列的表格
n阶矩阵或n阶方阵
m=n
同型矩阵
两个矩阵的行数和列数相等
分块矩阵
定义
运算法则
加法
乘法
逆
阶乘
转置
等价矩阵
常见基本矩阵
零矩阵O
所有元素都是零的矩阵
单位阵
主对角线为1,其余元素为0
En
数量阵
数k与单位阵E的积
kE
矩阵运算
加法
定义
性质
数乘
定义
性质
乘法
定义
性质
矩阵与矩阵相乘
计算方法
几何理解
指将一个空间基的变化情况
矩阵与向量相乘
计算方法
几何理解
指一个向量在基变化后的线性位置的坐标向量
向量与向量相乘
结果为一个矩阵
结果为一个值
内积
定义
性质
六大符号
子主题
子主题
子主题
子主题
子主题
子主题
特殊计算
n项相乘
矩阵秩为1
可化为两向量相乘的形式,中间n-1项运用结合律得到数
可拆分成E和另一矩阵之和
主对角线为1或k,进行拆分
分块矩阵的幂
利用相似矩阵
转置
定义
性质
初等变换
定义
性质
子主题
逆
定义
范围
方阵
性质
判断是否可逆
矩阵满秩
行列式不为0
特征值
反证法
求逆方法
定义法
伴随矩阵公式
初等变换法
利用分块矩阵
主对角线分块矩阵
子主题
副对角线分块矩阵
子主题
二阶上三角分块矩阵
子主题
秩
定义
k阶子式
性质
求秩方法
根据定义求秩
进行初等变换转化为阶梯型
特殊型矩阵
伴随矩阵
定义
范围
方阵
性质
初等矩阵
上(下)三角阵
当i>j(i<j)时,有aij=0的矩阵
对称阵
A与A的转置相等
反对称阵
正交矩阵
定义
某矩阵与该矩阵的转置相乘等于单位矩阵
性质
正交矩阵的转置就是该矩阵的逆
正交矩阵的行列式的绝对值为1
正交矩阵的特征值的绝对值为1
等价条件
某矩阵的行(列)向量都是单位向量且两两正交
对角阵
定义
非对角元素都是0的矩阵
三大关系
矩阵等价
矩阵相似
矩阵合同
行列式
定义
是一个数
定义方法
不同行不同列元素的乘积代数和
逆序数列定义法
展开公式
表示方法
|A|或det A
说明
只有n阶方阵才可谈行列式
几何理解
表示描述空间的单位
二维:表示单位面积
三维:表示单位体积
性质
经过转置行列式值不变
单独某行(列)有公因子可提出到行列式记号外
某行(列)全为0,行列式的值为0
两行(列)元素成比例,行列式的值为0
两行(列)交换位置行列式变号
两行相同时,行列式为0
某行(列)是两个元素之和,可将行列式拆成两个行列式之和
某行(列)的k倍加到另一行(列),行列式的值不变
抽象方阵
计算方法
具体型
直接展开
某行(列)有足够多的0
低阶数行列式
Eg.3阶行列式计算方法
爪形
采用方法化为基本型
异爪形
行列式展开
行(列)存在关系
行(列)和相等
行(列)差有规律
消零化基本型
拉普拉斯展开
凑出子块为0的行列式
范德蒙行列式
技巧
把第一行(列)的k倍加到第i行(列) 把每行(列)都加到第一行(列) 逐行(列)相加
抽象型
已知抽象行列式转化计算
转置矩阵行列式
数乘矩阵行列式
行列式乘法公式
伴随矩阵行列式
可逆矩阵行列式
分块矩阵行列式
利用抽象矩阵性质
注意事项
矩阵之和(差)的行列式
数乘矩阵的行列式
对于|A+B|型,E的恒等变形
子主题
常用方式
把每一行(列)加到第一行(列)
把第一行(列)的-1倍加到其他各行(列)
上一行的-1倍加到下一行,从下往上逐行相加
含有参数时,通过初等变换化为含有参数的因式并展开
含有重复向量组相加,拆开找到行列式不为零的行列式之和
基本型行列式
主对角线行列式
副对角线行列式
拉普拉斯展开式
子主题
范德蒙行列式
特征值行列式