高等数学下学期思维导图

这是一篇关于高等数学下学期2的思维导图，包含多元函数的基本概念、多元复合函数微分法、隐函数的求导公式等内容。

高等数学下学期2

SS9多元函数微分学及其应用

9.1多元函数的基本概念

平面点集：



领域

数轴上的~

逗号！

平面上的~

逗号！

 注2：去心领域上标o，>0 注3：圆方等价

点和点集的关系

内点,外点,边界点

内点：

外点：

边界点：

聚点：



孤立点：

孤立点不是聚点

点集特性

开闭





不开不闭

又开又闭：R，空集

连通性

若点集E中的任何两点都可以用完全属于E的有 限条直线段连接起来，则称E是连通的,否则称为不连通。

开区域：连通的开集就称为开区域

闭区域：开区域+所有边界

半开半闭区域：开区域+部分边界

有界性







二元函数





几何意义



其定义域D为该曲面在xoy平面上的投影

在定义域内的任一条与Z轴平行的直线，与该曲面有且只有唯一的交点.

二元函数的极限





收敛的充要条件



二元函数的极限不存在的方法



极限存在时的运算

二元转一元，再用洛必达法则和单调有界定理；比较法

二元函数的连续性



全增量

初等函数的连续性



9.2偏导数

偏增量





定义



可理解为该函数在（x0,y0)处沿x轴，y轴的变化率



偏导函数：对每一点都有偏导数



分段函数上的分段点——用定义做

偏导数符号不能拆分

偏导数存在与连续的关系



几何意义



高阶偏导数

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

混合偏导





纯偏导



9.3全微分

全微分





可微与连续的关系

可微必连续,反之不然

可微的必要条件

偏导存在

证明全微分的步骤



可微的充分条件



连续、偏导、全微分三者关系



全微分表达式



全微分在近似计算中的应用

应用的原理：当 x、 y 很小时,

9.4多元复合函数微分法

多元复合函数的链式法则



多个自变量的多元复合函数







全微分形式不变性



9.5隐函数的求导公式

一元隐函数求偏导方法



二元隐函数求偏导方法





由方程组确定的隐函数的求导法

雅可比行列式

具备特征: 同行求偏导的函数 一致,同列求偏导的对象一致.





隐函数组---隐函数存在定理





9.6多元函数微分学的几何应用

平面曲线的切线和法线

显函数



隐函数



空间曲线L的切线

方程

一般方程



切线方程



法平面方程



参数方程



切线方程（在M0处）



切向量

法平面



空间曲面的切平面

一般方程



切平面

法线



隐函数形式



切平面方程



法线方程



9.8多元函数的极值及其求法

无条件极值

极值的概念



极值的必要条件



极值的充分条件



二元函数的最值





条件极值

化条件极值为无条件极值

拉格朗日乘数法





不能判断可能极值点是最大值还是最小值，一般用在实际问题

第十章 重积分

10.1 二重积分的概念与性质

概念







几何意义



性质



  

10.2 二重积分的计算

直角坐标系下的二重积分

积分区域的分类

x-型区域



Y-型积分区域



二重积分在直角坐标系下的计算方法

x-型区域



Y-型积分区域



注

 





极坐标系下二重积分的计算



极点在区域外