导图社区 高等代数第二学期思维导图
高等代数第二学期思维导图,最后一部分不是很完全,请参考教材。包含线性空间、内积空间、线性变换与相似矩阵、双线性函数与二次型等内容。
编辑于2021-07-10 17:25:36高等代数
线性空间
定义
8个条件
设V是一个非空集合,F为数域,V的任意元素α与β加法满足
交换律α+β=β+α
结合律(α+β)+γ=α+(β+γ)
零元素α+0=α
负元素α+β=0
对数域F中任意数k,h与α的数量乘法满足
1α=α
结合律k(hα)=khα
分配律(k+h)α=kα+hα
分配律k(α+β)=kα+kβ
则称V为数域F上的线性空间,α等元素为向量
性质
零元素唯一
负元素唯一
0α=0;k0=0;(-1)α=-α
若kα=0,则k=0或α=0
子空间
W是V的子空间的充要条件
若α,β∈W,则α+β∈W
若α∈W,k∈F,kα∈W
交与和
若W1,W2都是V的子空间,W1∩W2也是V的子空间
W={α+β|α∈W1,β∈W2}称为子空间W1,W2的和,也是V的子空间,记作W1+W2
生成元集
设S为V的一个非空子集,其中元素的所有线性组合组成的集合W是V的子空间,如果U为V的子空间,若S包含于U,则W包含于U
称W为S所生成的子空间,记作span(S),称S为W的生成元集
span(S1∪S2)=span(S1)+span(S2)
线性相关性
对S的向量α1……αn若存在不全为0的c1……cn∈F,使得c1α1+……+cnαn=0,则称α1……αn线性相关,否则为线性无关
若S1的每个向量可由S2的向量线性表示,则称S1可由S2线性表示,若S1,S2可相互线性表示,则S1,S2等价
基与维数
S为V的线性无关子集,span(S)=V,称S为V的一个基,若S是有限集,则称V是有限生成的,称S的向量为V的基向量
任意两个基等价
S为V的基的充要条件是S是V的极大线性无关子集
基S所含向量个数称为 V的维数,记作dimV
dim(W1+W2)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2)
标准基
基扩充定理
B1是子空间W的一个基,则必然存在B2是由V中n-m个向量组成的子集,使得B=(B1∪B2)是V的一个基
基变换与坐标变换
过渡矩阵A=BD,A,B为两个基,D为过渡矩阵
向量在不同基的坐标 设向量在A,B的坐标为α,β,则α=D^(-1)β
直和
若W1+W2中每个向量α=α1+α2(α1∈W1,α2∈W2)的分解式是唯一的,则称和为直和记作W1⊕W2
等价条件
W1+W2是直和
零向量分解式唯一
W1∩W2={0}
W1的一个基是A,W2的一个基是B,则A∪B构成W1+W2的一个基
dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)
设W是V的子空间则必然存在子空间U使得V=W⊕U
同构
定义
若F上的两个有限维线性空间V,V'存在一个V到V'的同构映射,则称V与V'同构
双射φ:V→V’若具有以下性质则称φ为V到V‘的同构映射,记作V≌V'
φ(α+β)=φ(α)+φ(β),任意α,β∈V
φ(kα)=kφ(α),k∈F
双射
既是单射也是满射
单射:若α≠β,则φα≠φβ
满射:对任意元素γ属于V',存在α∈V,使φα=γ
性质
φ0=0,φ(-α)=-φα
分配律
V中向量线性相关的充要条件是V'对应向量线性相关
dimV=dimV'
同构映射的逆映射与两个同构映射的乘积也是同构映射
F上两个有限维线性空间同构的充要条件是维数相同
线性函数
定义
f是V到F的一个映射,若对V任意向量α,β满足
f(α+β)=f(α)+f(β)
f(kα)=kf(α)
性质
f(0)=0,f(-α)=-f(α)
分配律
设{α1……αn}是一个基,则存在唯一线性函数使得f(αi)=ki,ki∈F
对偶空间
V上线性函数的全体的集合记为L(V,F),其也是F上的线性空间,称为V的对偶空间,记为V*,V*≌V
dimV=dim(L,F),若{α1……αn}为V的基,存在f1……fn使得fi(αj)=1(j=i),=0(j≠i)是唯一的,fi在α上的值就是α的第i个坐标,即fi(α)=xi
上面定义的fi是L(V,F)的一个基,称为是αi的对偶基
线性变换与相似矩阵
定义
V,W是F上的线性空间,φ:V→W对任意α,β∈V,k∈F,φ满足
φ(α+β)=φ(α)+φ(β)
φ(kα)=kφ(α)
则称φ是V到W的线性映射,如果W=V,称φ为V上的线性变换
性质
A(0)=0,A(-α)=-A(α)
线性变换保持向量的线性关系
设α1……αn是V的一个有序基,则对任意V中向量β1……βn,一定存在唯一的线性变换使得A(αi)=βi(i=1,2……)
线性变换的代数
加法:(A+B)(α)=A(α)+B(β)
结合律
交换律
存在零线性变换使得A+O=A
对任意A,存在其的负变换
乘法(kA)α=kA(α)
结合律
存在恒等变换E,使E(α)=α,EA=A
分配律
可逆线性变换
若存在B是V上的线性变换,使AB=BA=E,则称B为A的逆变换
线性变换A可逆的充要条件为A既是单射也是满射
核与像
KerA={α∈V|A(α)=0}称为A的核
A(V)={A(β)|β∈V}称为A的像
dim(KerA)+dim(A(V))=n
矩阵
定义
设α1……αn是V的一个基,线性变换A,A(α1……αn)=(α1……αn)A,称矩阵A为线性变换A在这个基下的矩阵
设线性变换A的在一个有序基下的矩阵是A,向量α在这个基下的坐标是X,则Aα在这个基下坐标Y=AX
同一个线性变换在V的不同基下的矩阵相似,B=P^(-1)AP,P为基变换
性质
矩阵的相似是等价关系
若A~B,则RA=RB且行列式相等
特征值与特征向量
定义
若对于λ∈F,存在非零向量α使A(α)=λα,则称λ为A的一个特征值,α称为A属于λ的特征向量
称同一λ的所有特征向量的集合为属于λ的特征子空间,其也是V的子空间
λE-A的行列式称为特征多项式,记为ΔA(λ)
性质
特征多项式的根的和等于Tr(A)也称为A的迹,即A的对角线元素之和
相似矩阵有相同特征多项式
计算线性变换的特征值与特征向量的具体步骤 例7.3.9
任意取定V的一个基,计算在此基下的矩阵
求出特征多项式的所有根,即为特征值
对每个λ,解(λE-A)X=0,求出基础解系,所对应的特征向量组成V的一个基,A在此基的矩阵是λ的对角矩阵,其与原定的基的过渡矩阵就是P
可对角化条件
若对线性变换A,存在V的一个基使得A在这个基下矩阵为对角矩阵,则称A可对角化
可对角化充要条件是A有n个线性无关的特征向量
代数重数ci:特征多项式中λ-λi项的次数
几何重数di:λi的特征子空间的维数
线性变换任一特征值的代数重数大于等于几何重数
如果A的特征多项式有n个不同的根,则必可对角化
A可对角化的充要条件是几何重数等于代数重数
最小多项式
多项式f(λ)使f(A)=0,称其为零化多项式
如果多项式m(λ)是使A零化的多项式中次数最低的首一多项式,称为最小多项式
多项式是零化多项式的充要条件是m(λ)整除f(λ)
相似矩阵有相同的最小多项式
A可对角化的充要条件是A的最小多项式无重根
不变子空间
对每一向量属于W,Aα∈W,则称W为A子空间
直和分解:
根空间分解
λ矩阵
定义
以F(λ)中多项式为元素的矩阵称为F上的λ矩阵
初等变换
交换行列
非零常数乘以一行列
一行乘以f(λ)倍加在另一行列
性质
可逆的充要条件是行列式为非零常数
若可由另一λ矩阵经初等变换得到,则称为等价
k阶行列式因子
1<=k<=r,λ矩阵至少有一个k阶子式不为0,λ矩阵中全部k阶子式的最大首一公因式称为k阶行列式因子,记为Dk(λ)当k大于r,D=0
等价的λ矩阵各阶行列式因子相同
标准形
任意一个秩为r的λ矩阵都等价于对角形,对角元素是首一多项式di(λ),di(λ)|di+1(λ)
称其为λ矩阵的一个标准形,di(λ)为不变因子
Dk(λ)=d1(λ)……dk(λ)
标准形唯一
等价的充要条件是不变因子完全相同
可逆的充要条件是与E等价
求标准形
余式定理
哈密顿凯莱定理
A~B的充要条件是λE-A等价于λE-B
A~B的充要条件是特征多项式有相同不变因子
对给定m次多项式g(λ),必存在一个m阶方阵R(g)与之对应
佛罗贝尼乌斯定理:A的最小多项式m(λ)就是最后一个不变因子ds(λ)
初等因子
定义
次数大于0的不变因子分解为互不相同的一次因式方幂的乘积,所有这些一次方幂称为A(λ)的初等因子
从初等因子和阶数求出不变因子
两个同阶矩阵相似的充要条件是初等因子相同
不必知道不变因子求初等因子
化为对角形,将对角线上元素分解为互不相同的首一一次因式方幂的乘积,相同的按出现次数计算,所有这些一次因式的方幂就是初等因子
若尔当标准形
每个n阶复数矩阵A都与一个若尔当标准形相似,这个若尔当标准形除若尔当块的排序外,都由A唯一决定 例8.4.6
复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次的
双线性函数与二次型
定义
f是V*V→F的映射,满足f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b)
f(a,b1+b2)=f(a,b1)+f(a,b2)
f(ka,b)=f(a,kb)=kf(a,b)
则称为V上的双线性函数
度量矩阵
性质
对称双线性函数在V的一个基下度量矩阵为对称矩阵
二次型
f为对称双线性函数,f'(a)=f(a,a)
标准形
合同
存在可逆矩阵P,使B=P的转置AP
任意对称矩阵A必存在可逆矩阵P使A合同于对角矩阵
规范形
复数域
将标准形所有非零平方项系数化为1
规范形由矩阵的秩唯一决定
两个同阶复矩阵合同的充要条件是秩相同
实数域
惯性定理
系数化为+-1
正,负惯性指数与符号差
二次型可相互可逆变量替换转化的充要条件是秩与符号差相同
正定二次型与正定矩阵
定义
对任意一组不全为0的实数,如果总有二次型大于0,则称为正定二次型
半正定,负定,半负定,不定
k阶顺序主子式
满足下列等价条件之一一定是正定二次型
对任意一组不全为0的实数,如果总有二次型大于0,则称为正定二次型
A的所有特征值都大于0
正惯性指数=秩
A的所有顺序主子式都大于0
实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是存在上三角矩阵T使得A=T的转置T
奇异值分解
m*n实矩阵A,R(A)=r,存在m阶正交矩阵P,n阶正交矩阵Q,使得A=PDQ的转置,称为A的奇异值分解
D为对角矩阵,元素为μi称为A的奇异值
具体求法
m>n
求A的转置A的特征值与特征向量
取μi=根号λi,把特征向量标准正交化得Q
令pi=μi的逆乘以Aqi
m<n
求AA的转置的特征值与特征向量
求得P,另qj=μj的逆乘以A的转置pj,再扩充为标准正交基得到Q
广义逆
减号逆
加号逆
A=QDP的转置,D元素为μ的逆
内积空间
定义
对任意a,b属于V,都有(a,b)属于F,并且
共轭对称
分配律
k(a,b)=(ka,b)
(a,a)>=0,当且仅当a=0时(a,a)=0
根号(a,a)称为向量a的长度,记为||a||
标准内积
|(a,b)|<=||a||||b||,当a,b线性相关时等号成立
||a+b||<=||a||||b||
夹角(a,b)/||a||||b||
正交
若(a,b)=0,称a,b正交
若a,b正交,则||a+b||的平方等于||a||的平方加||b||的平方
标准正交基
正交向量组必线性无关
如果n个向量构成正交向量组,则它必是一个基
正交基中每一向量的长度=1,则称为标准正交基
gramschmidt正交化过程
任一正交向量组可扩充为正交基
QR分解
设A是n阶可逆方阵,则必存在矩阵Q和可逆上三角矩阵R使得A=QR,称为A的QR分解,其中Q的共轭转置=Q的逆,称为酉矩阵
若A的列向量线性相关,QR分解也存在,但R不可逆
对线性无关向量标准正交化,再解方程组求出待定的向量,并标准化
如果ei待定则R的第i行元素为0
正交子空间与最小二乘问题
V的两个子空间,若任意v1∈V1,v2∈V2都有(v1,v2)=0,则称V1V2正交
如果V1与V2正交,且V=V1⊕V2则称V1是V2正交补
若子空间两两正交,则和必为直和
距离
V=W⊕W的正交补,对任意V的向量,等于a+b,a属于W,b属于W的正交补
称a为向量在子空间W上的正射影,||b||称为向量到子空间W的距离
垂线最短定理
最小二乘问题
正规方程组
保长同构
定义
线性映射f,||f(a)||=||a||,则称f为保长线性映射
(fa,fb)=(a,b)则称f为保内积线性映射
保长与保内积等价
若f是空间的同构映射,且保内积或保长,则称为保长同构映射
F上的n维内积空间必与Fn保长同构
两个内积空间保长同构的充要条件是维数相同
酉变换
若f是V到V的保长线性变换,F是复数域称为酉变换,实数域称为正交变换
4个等价条件
酉矩阵的行列式模为1
酉变换的特征值都是模为1的,不同特征值的特征向量必正交
埃尔米特变换
酉相似
如果存在酉矩阵U使A=U的逆BU,则称AB酉相似
埃尔米特矩阵
H共轭转置=H
埃尔米特变换
内积空间上的线性变换H若(Ha,b)=(a,Hb),则称H为埃尔米特变换
H是埃尔米特变换的充要条件是H在标准正交基下的矩阵为埃尔米特矩阵
(Ha,b)必为实数
H的特征值都是实数
不同特征值的特征向量必正交
设V1是H不变子空间,则V1的正交补也是
对任意复矩阵A,必存在酉矩阵U使A酉相似于对角元素为A的全部特征值的上三角矩阵
复矩阵H是埃尔米特矩阵的充要条件是C中必然存在标准正交基,都是H的特征向量
对角化埃尔米特矩阵
复矩阵酉相似于对角矩阵的充要条件是其为正规矩阵