高等代数第二学期思维导图

高等代数第二学期思维导图，最后一部分不是很完全，请参考教材。包含线性空间、内积空间、线性变换与相似矩阵、双线性函数与二次型等内容。

高等代数

线性空间

定义

8个条件

设V是一个非空集合,F为数域，V的任意元素α与β加法满足

交换律α+β=β+α

结合律(α+β)+γ=α+(β+γ)

零元素α+0=α

负元素α+β=0

对数域F中任意数k，h与α的数量乘法满足

1α=α

结合律k(hα)=khα

分配律(k+h)α=kα+hα

分配律k(α+β)=kα+kβ

则称V为数域F上的线性空间，α等元素为向量

性质

零元素唯一

负元素唯一

0α=0；k0=0；(-1)α=-α

若kα=0，则k=0或α=0

子空间

W是V的子空间的充要条件

若α，β∈W，则α+β∈W

若α∈W,k∈F，kα∈W

交与和

若W1,W2都是V的子空间，W1∩W2也是V的子空间

W={α+β|α∈W1，β∈W2}称为子空间W1,W2的和，也是V的子空间，记作W1+W2

生成元集

设S为V的一个非空子集，其中元素的所有线性组合组成的集合W是V的子空间，如果U为V的子空间，若S包含于U，则W包含于U

称W为S所生成的子空间，记作span(S)，称S为W的生成元集

span(S1∪S2)=span(S1)+span(S2)

线性相关性

对S的向量α1……αn若存在不全为0的c1……cn∈F，使得c1α1+……+cnαn=0，则称α1……αn线性相关，否则为线性无关

若S1的每个向量可由S2的向量线性表示，则称S1可由S2线性表示，若S1,S2可相互线性表示，则S1,S2等价

基与维数

S为V的线性无关子集，span(S)=V，称S为V的一个基，若S是有限集，则称V是有限生成的，称S的向量为V的基向量

任意两个基等价

S为V的基的充要条件是S是V的极大线性无关子集

基S所含向量个数称为 V的维数，记作dimV

dim(W1+W2)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2)

标准基

基扩充定理

B1是子空间W的一个基，则必然存在B2是由V中n-m个向量组成的子集，使得B=(B1∪B2)是V的一个基

基变换与坐标变换

过渡矩阵A=BD，A，B为两个基，D为过渡矩阵

向量在不同基的坐标 设向量在A，B的坐标为α，β，则α=D^(-1)β

直和

若W1+W2中每个向量α=α1+α2(α1∈W1,α2∈W2)的分解式是唯一的，则称和为直和记作W1⊕W2

等价条件

W1+W2是直和

零向量分解式唯一

W1∩W2={0}

W1的一个基是A,W2的一个基是B，则A∪B构成W1+W2的一个基

dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)

设W是V的子空间则必然存在子空间U使得V=W⊕U

同构

定义

若F上的两个有限维线性空间V，V'存在一个V到V'的同构映射，则称V与V'同构

双射φ:V→V’若具有以下性质则称φ为V到V‘的同构映射，记作V≌V'

φ(α+β)=φ(α)+φ(β)，任意α，β∈V

φ(kα)=kφ(α)，k∈F

双射

既是单射也是满射

单射：若α≠β，则φα≠φβ

满射：对任意元素γ属于V'，存在α∈V，使φα=γ

性质

φ0=0，φ(-α)=-φα

分配律

V中向量线性相关的充要条件是V'对应向量线性相关

dimV=dimV'

同构映射的逆映射与两个同构映射的乘积也是同构映射

F上两个有限维线性空间同构的充要条件是维数相同

线性函数

定义

f是V到F的一个映射，若对V任意向量α，β满足

f(α+β)=f(α)+f(β)

f(kα)=kf(α)

性质

f(0)=0,f(-α)=-f(α)

分配律

设{α1……αn}是一个基，则存在唯一线性函数使得f(αi)=ki，ki∈F

对偶空间

V上线性函数的全体的集合记为L(V,F),其也是F上的线性空间，称为V的对偶空间，记为V*，V*≌V

dimV=dim(L,F)，若{α1……αn}为V的基，存在f1……fn使得fi(αj)=1(j=i),=0(j≠i)是唯一的，fi在α上的值就是α的第i个坐标，即fi(α)=xi

上面定义的fi是L(V,F)的一个基，称为是αi的对偶基

线性变换与相似矩阵

定义

V,W是F上的线性空间，φ：V→W对任意α，β∈V，k∈F，φ满足

φ(α+β)=φ(α)+φ(β)

φ(kα)=kφ(α)

则称φ是V到W的线性映射，如果W=V，称φ为V上的线性变换

性质

A(0)=0，A(-α)=-A(α)

线性变换保持向量的线性关系

设α1……αn是V的一个有序基，则对任意V中向量β1……βn，一定存在唯一的线性变换使得A(αi)=βi（i=1，2……）

线性变换的代数

加法：(A+B)(α)=A(α)+B(β)

结合律

交换律

存在零线性变换使得A+O=A

对任意A,存在其的负变换

乘法(kA)α=kA(α)

结合律

存在恒等变换E，使E(α)=α，EA=A

分配律

可逆线性变换

若存在B是V上的线性变换，使AB=BA=E，则称B为A的逆变换

线性变换A可逆的充要条件为A既是单射也是满射

核与像

KerA={α∈V|A(α)=0}称为A的核

A(V)={A(β)|β∈V}称为A的像

dim(KerA)+dim(A(V))=n

矩阵

定义

设α1……αn是V的一个基，线性变换A，A(α1……αn)=(α1……αn)A，称矩阵A为线性变换A在这个基下的矩阵

设线性变换A的在一个有序基下的矩阵是A，向量α在这个基下的坐标是X，则Aα在这个基下坐标Y=AX

同一个线性变换在V的不同基下的矩阵相似，B=P^(-1)AP,P为基变换

性质

矩阵的相似是等价关系

若A~B,则RA=RB且行列式相等

特征值与特征向量

定义

若对于λ∈F，存在非零向量α使A(α)=λα，则称λ为A的一个特征值，α称为A属于λ的特征向量

称同一λ的所有特征向量的集合为属于λ的特征子空间，其也是V的子空间

λE-A的行列式称为特征多项式，记为ΔA(λ)

性质

特征多项式的根的和等于Tr(A)也称为A的迹，即A的对角线元素之和

相似矩阵有相同特征多项式

计算线性变换的特征值与特征向量的具体步骤 例7.3.9

任意取定V的一个基，计算在此基下的矩阵

求出特征多项式的所有根，即为特征值

对每个λ，解(λE-A)X=0，求出基础解系，所对应的特征向量组成V的一个基，A在此基的矩阵是λ的对角矩阵，其与原定的基的过渡矩阵就是P

可对角化条件

若对线性变换A，存在V的一个基使得A在这个基下矩阵为对角矩阵，则称A可对角化

可对角化充要条件是A有n个线性无关的特征向量

代数重数ci：特征多项式中λ-λi项的次数

几何重数di：λi的特征子空间的维数

线性变换任一特征值的代数重数大于等于几何重数

如果A的特征多项式有n个不同的根，则必可对角化

A可对角化的充要条件是几何重数等于代数重数

最小多项式

多项式f(λ)使f(A)=0，称其为零化多项式

如果多项式m(λ)是使A零化的多项式中次数最低的首一多项式，称为最小多项式

多项式是零化多项式的充要条件是m(λ)整除f(λ)

相似矩阵有相同的最小多项式

A可对角化的充要条件是A的最小多项式无重根

不变子空间

对每一向量属于W，Aα∈W，则称W为A子空间

直和分解：

根空间分解

λ矩阵

定义

以F(λ)中多项式为元素的矩阵称为F上的λ矩阵

初等变换

交换行列

非零常数乘以一行列

一行乘以f(λ)倍加在另一行列

性质

可逆的充要条件是行列式为非零常数

若可由另一λ矩阵经初等变换得到，则称为等价

k阶行列式因子

1<=k<=r，λ矩阵至少有一个k阶子式不为0，λ矩阵中全部k阶子式的最大首一公因式称为k阶行列式因子，记为Dk(λ)当k大于r，D=0

等价的λ矩阵各阶行列式因子相同

标准形

任意一个秩为r的λ矩阵都等价于对角形，对角元素是首一多项式di(λ)，di(λ)|di+1(λ)

称其为λ矩阵的一个标准形，di(λ)为不变因子

Dk(λ)=d1(λ)……dk(λ)

标准形唯一

等价的充要条件是不变因子完全相同

可逆的充要条件是与E等价

求标准形

余式定理

哈密顿凯莱定理

A~B的充要条件是λE-A等价于λE-B

A~B的充要条件是特征多项式有相同不变因子

对给定m次多项式g(λ)，必存在一个m阶方阵R(g)与之对应

佛罗贝尼乌斯定理：A的最小多项式m(λ)就是最后一个不变因子ds(λ)

初等因子

定义

次数大于0的不变因子分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次方幂称为A(λ)的初等因子

从初等因子和阶数求出不变因子

两个同阶矩阵相似的充要条件是初等因子相同

不必知道不变因子求初等因子

化为对角形，将对角线上元素分解为互不相同的首一一次因式方幂的乘积，相同的按出现次数计算，所有这些一次因式的方幂就是初等因子

若尔当标准形

每个n阶复数矩阵A都与一个若尔当标准形相似，这个若尔当标准形除若尔当块的排序外，都由A唯一决定 例8.4.6

复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次的

双线性函数与二次型

定义

f是V*V→F的映射，满足f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b)

f(a,b1+b2)=f(a,b1)+f(a,b2)

f(ka,b)=f(a,kb)=kf(a,b)

则称为V上的双线性函数

度量矩阵

性质

对称双线性函数在V的一个基下度量矩阵为对称矩阵

二次型

f为对称双线性函数，f'(a)=f(a,a)

标准形

合同

存在可逆矩阵P，使B=P的转置AP

任意对称矩阵A必存在可逆矩阵P使A合同于对角矩阵

规范形

复数域

将标准形所有非零平方项系数化为1

规范形由矩阵的秩唯一决定

两个同阶复矩阵合同的充要条件是秩相同

实数域

惯性定理

系数化为+-1

正，负惯性指数与符号差

二次型可相互可逆变量替换转化的充要条件是秩与符号差相同

正定二次型与正定矩阵

定义

对任意一组不全为0的实数，如果总有二次型大于0，则称为正定二次型

半正定，负定，半负定，不定

k阶顺序主子式

满足下列等价条件之一一定是正定二次型

对任意一组不全为0的实数，如果总有二次型大于0，则称为正定二次型

A的所有特征值都大于0

正惯性指数=秩

A的所有顺序主子式都大于0

实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是存在上三角矩阵T使得A=T的转置T

奇异值分解

m*n实矩阵A,R(A)=r，存在m阶正交矩阵P,n阶正交矩阵Q，使得A=PDQ的转置，称为A的奇异值分解

D为对角矩阵，元素为μi称为A的奇异值

具体求法

m>n

求A的转置A的特征值与特征向量

取μi=根号λi，把特征向量标准正交化得Q

令pi=μi的逆乘以Aqi

m<n

求AA的转置的特征值与特征向量

求得P，另qj=μj的逆乘以A的转置pj，再扩充为标准正交基得到Q

广义逆

减号逆

加号逆

A=QDP的转置，D元素为μ的逆

内积空间

定义

对任意a，b属于V，都有(a,b)属于F，并且

共轭对称

分配律

k(a,b)=(ka,b)

(a,a)>=0，当且仅当a=0时(a,a)=0

根号(a,a)称为向量a的长度，记为||a||

标准内积

|(a,b)|<=||a||||b||，当a，b线性相关时等号成立

||a+b||<=||a||||b||

夹角(a,b)/||a||||b||

正交

若(a,b)=0,称a，b正交

若a，b正交，则||a+b||的平方等于||a||的平方加||b||的平方

标准正交基

正交向量组必线性无关

如果n个向量构成正交向量组，则它必是一个基

正交基中每一向量的长度=1，则称为标准正交基

gramschmidt正交化过程

任一正交向量组可扩充为正交基

QR分解

设A是n阶可逆方阵，则必存在矩阵Q和可逆上三角矩阵R使得A=QR，称为A的QR分解，其中Q的共轭转置=Q的逆，称为酉矩阵

若A的列向量线性相关，QR分解也存在，但R不可逆

对线性无关向量标准正交化，再解方程组求出待定的向量，并标准化

如果ei待定则R的第i行元素为0

正交子空间与最小二乘问题

V的两个子空间，若任意v1∈V1，v2∈V2都有(v1,v2)=0，则称V1V2正交

如果V1与V2正交，且V=V1⊕V2则称V1是V2正交补

若子空间两两正交，则和必为直和

距离

V=W⊕W的正交补，对任意V的向量，等于a+b，a属于W，b属于W的正交补

称a为向量在子空间W上的正射影，||b||称为向量到子空间W的距离

垂线最短定理

最小二乘问题

正规方程组

保长同构

定义

线性映射f，||f(a)||=||a||，则称f为保长线性映射

(fa,fb)=(a,b)则称f为保内积线性映射

保长与保内积等价

若f是空间的同构映射，且保内积或保长，则称为保长同构映射

F上的n维内积空间必与Fn保长同构

两个内积空间保长同构的充要条件是维数相同

酉变换

若f是V到V的保长线性变换，F是复数域称为酉变换，实数域称为正交变换

4个等价条件

酉矩阵的行列式模为1

酉变换的特征值都是模为1的，不同特征值的特征向量必正交

埃尔米特变换

酉相似

如果存在酉矩阵U使A=U的逆BU，则称AB酉相似

埃尔米特矩阵

H共轭转置=H

埃尔米特变换

内积空间上的线性变换H若(Ha,b)=(a,Hb),则称H为埃尔米特变换

H是埃尔米特变换的充要条件是H在标准正交基下的矩阵为埃尔米特矩阵

(Ha,b)必为实数

H的特征值都是实数

不同特征值的特征向量必正交

设V1是H不变子空间，则V1的正交补也是

对任意复矩阵A，必存在酉矩阵U使A酉相似于对角元素为A的全部特征值的上三角矩阵

复矩阵H是埃尔米特矩阵的充要条件是C中必然存在标准正交基，都是H的特征向量

对角化埃尔米特矩阵

复矩阵酉相似于对角矩阵的充要条件是其为正规矩阵