3.多维随机变量及其分布

概率统计与随机过程，包含二维随机变量及其分布、边缘分布、二维随机变量的条件分布、随机变量的独立性等详细知识点，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，学生更好地理解和记忆知识。

多维随机变量及其分布

• 二维随机变量及其分布
  • 二维随机变量
    • 定义：在相同的样本空间下，有俩个随机变量X、Y
    • 分布函数：F(x,y)=P(X<x,Y<y) 联合分布函数
  • 二维离散随机变量：P(X=x1,Y=y1)、F(x,y)=P(X<x,Y<y)=概率求和
  • 二维连续型随机变量：F(x,y)=P(X<x,Y<y) =概率密度求积分
    • 二维均匀分布：与二维区域的面积相关
    • 二维正态分布：边缘密度都是一维正态的密度函数
• 边缘分布
  • 定义：二维变量、分布函数中有一个变量作为未知数、另一个求全体的积分（P(X<x,Y<+∞)）
  • 离散型
    • 边缘分布函数：Fx(x)=P(X<x)=P(X<x,Y<+∞)=对满足条件的概率求和
    • 边缘分布律：P(X=x)=P(X=x,Y<+∞)=对满足条件的概率求和
  • 连续型（注意分段）
    • 边缘分布函数：Fx(x)=P(X<x)=P(X<x,Y<+∞)=对概率密度的x、y求积分
    • 边缘分概率密度函数（边缘密度）：fX(x)=P(X=x)=P(X=x,Y<+∞)=对概率密度的y求积分
• 二维随机变量的条件分布
  • 离散型
    • 条件分布律：P(X=x|Y=y)
    • 条件分布函数：P(X<x|Y=y)
  • 连续型
    • 条件概率密度：f(x,y)/fY(y)
    • 条件概率分布：对上面的概率密度求积分
• 随机变量的独立性
  • 定义：联合分布函数（密度）=俩个边缘分布函数（密度）的乘积【反推不行】
  • 若独立，则条件概率密度=对应的边缘密度
  • 相关定理【笔记】
• 俩个随机变量（X，Y）的函数分布
  • 离散型：泊松分布(X+Y)~P(人1+人2)、连续型：二项式分布(X+Y)~B(n1+n2,p)
  • 连续型
    • 求分布函数：直接求概率密度求积分；求分布密度：分布函数求导
    • 正态分布：X+Y~N(U1+u2,61^2+62^2)
  • 特殊类型
    • Z=X+Y：卷积公式
    • M=max(X,Y)；N=min(X,Y)【笔记】
    • 其他：按照定义来
• X、Y相互独立