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正弦定理详解
正弦定理是一个在三角学中非常重要的定理，它指出在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比都等于外接圆的直径。
编辑于2023-12-27 10:13:53
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- 大纲
正弦定理
掌握基础知识
三角函数的基础知识
角度和弧度的概念
角度概念：两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。 当这段弧长正好等于圆周长的360分之一时，两条射线的夹角的大小为1度。
弧度概念：两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。 当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角大小为1弧度。 1弧度时，弧长等于半径，那弧长是半径的倍数就是弧度了。 弧度 = 弧长 / 半径 = [(角度 / 360) * 周长] / 半径 = 角度 * π / 180。
特殊角度（如30度、45度、60度）的三角函数值等。
1. 30度：
正弦（sin）: sin(30°) = 1/2
余弦（cos）: cos(30°) = √3/2
正切（tan）: tan(30°) = 1/√3
2. 45度：
正弦（sin）: sin(45°) = √2/2
余弦（cos）: cos(45°) = √2/2
正切（tan）: tan(45°) = 1
3. 60度：
正弦（sin）: sin(60°) = √3/2
余弦（cos）: cos(60°) = 1/2
正切（tan）: tan(60°) = √3
正弦函数
数学符号为sin，常用缩写sin表示。
在一个直角三角形中，锐角所对的一边的长度与斜边长度的比值
弦函数的图像是周期函数，其最小正周期为2π。在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1。
余弦函数
数学符号是“cos”
在一个直角三角形中，钝角所对的一边的长度与斜边长度的比值
余弦函数是一种三角函数，其定义域为整个实数集R，值域为[-1,1]。它是偶函数，其图像关于y轴对称。在直角三角形中，非直角的邻边比斜边称为余弦，记作cos。余弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1。
正切函数
数学符号为tan，常用缩写tan表示。
在一个直角三角形中，对边与邻边的比值
正切函数具有一些基本的性质和定理，例如其定义域不是整个实数集，值域是所有实数。它是奇函数，其图像关于原点对称。在单位圆上，正切函数位于切线上，因此将此函数命名为正切函数。
正切函数还有一些重要的关系式，例如和正弦、余切互为倒数，即tanθ = sinθ/cosθ。此外，在直角三角形中，正切可以表示为直角三角形某锐角的一边长度除以另一边长度。
余切
数学符号是“cot”，也可以用“ctg”
直角三角形中某锐角的邻边与对边的比值
假设直角三角形中某个锐角为A，其对边长度为a，邻边长度为b，那么该锐角的余切值就是cot A = b/a
余切和正切互为倒数
正割
其数学符号为sec，常用缩写sec表示。
直角三角形中某锐角的邻边与斜边的比值
正割函数具有一些基本的性质和定理，例如其定义域不是整个实数集，值域是绝对值大于等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为2π。在单位圆上，正割函数位于割线上，因此将此函数命名为正割函数。和其他三角函数一样，正割函数一样可以扩展到复数。
余割
数学符号是“csc”，也可以用“secant”表示
直角三角形中某个锐角的斜边与对边的比值
余割是在直角三角形某个锐角的斜边与对边的比，即余割=斜边÷角的对边，用 csc（角）表示。余割与正弦的比值表达式互为倒数。余割的函数图像为奇函数，且为周期函数。
理解定理的证明过程
三角形的一些基本性质
1. 三角形的内角和为180度。
2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3. 三角形具有稳定性，这是三角形的一个重要的物理特性，可以用于解释现实生活中许多现象，例如自行车的三角架和电线杆上的三角架。
4. 三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都分别交于一点。
5. 三角形各边的中线长度是对应边长的一半，且交于一点。
6. 三角形各边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等。
7. 三角形的重心将中线分为2:1的两段。
8. 三角形三边的垂直平分线交于一点，这点位于外心。
9. 三角形的外心是三条角平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
10. 三角形内心是三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。
勾股定理
指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。具体来说，如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。
勾股定理的一个特例是勾三股四弦五，即当直角三角形的两条直角边长度分别为3和4时，斜边的长度为5
练习应用正弦定理
1. 在△ABC中，已知a=4, b=3, C=120°，求c。
在△ABC中，已知a=4, b=3, C=120°，我们要求解c的值。 首先，我们需要使用正弦定理来帮助我们解决这个问题。 正弦定理告诉我们： a/sinA = b/sinB = c/sinC 在这个问题中，我们知道a=4, b=3, C=120°。 我们可以使用正弦定理来求解c的值。 根据正弦定理，我们可以得到： c = (a × sinC) / sinA 将已知的数值代入公式中，我们得到： c = (4 × sin120°) / sinA 计算结果为：c = 5.656854249492381 所以，在△ABC中，c的值为：5.656854249492381。
2. 在△ABC中，已知a=3, b=4, sinA=√3/2，求A和c。
在△ABC中，已知a=3, b=4, sinA=√3/2，我们要求解A和c的值。 首先，我们需要使用正弦定理来帮助我们解决这个问题。 正弦定理告诉我们： a/sinA = b/sinB = c/sinC 在这个问题中，我们知道a=3, b=4, sinA=√3/2。 我们可以使用正弦定理来求解A和c的值。 根据正弦定理，我们可以得到： sinB = b × sinA / a sinC = c × sinA / a 将已知的数值代入公式中，我们得到： sinB = 4 × (√3/2) / 3 sinC = c × (√3/2) / 3 然后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解B和C。 我们知道： sinB = sin(180° - (A + C)) = sin(A + C) cosB = cos(180° - (A + C)) = -cos(A + C) tanB = sinB / cosB 根据三角函数的基本性质，我们可以得到： cos(A + C) = -cosB sin(A + C) = sinB tan(A + C) = -tanB 将已知的数值代入公式中，我们得到： cos(A + C) = -cosB = -√(1 - sin^2B) = -√(1 - (4/3)^2) = -√(1 - 16/9) = -√(-7/9) = -√7/3 sin(A + C) = sinB = √(1 - cos^2B) = √(1 - (-√7/3)^2) = √(1 - 7/9) = √(2/9) = √2/3 tan(A + C) = -tanB = -sinB / cosB = -(√3/2) / (-√7/3) = 3√21/14 然后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解A和c的值。 我们知道： tanA = sinA / cosA tanC = sinC / cosC 根据三角函数的基本性质，我们可以得到： tanA = √3 tanC = c × (√3/2) / 3 × (-√7/3) = -c√21/18 将已知的数值代入公式中，我们得到： tanA = √3 tanC = -c√21/18 最后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解c的值。 我们知道： c = a × tanC / tanA 将已知的数值代入公式中，我们得到： c = 3 × (-c√21/18) / √3 = -c√7/6
3. 在△ABC中，已知a=√3, b=√2, A=60°，求B和c。
在△ABC中，已知a=√3, b=√2, A=60°，我们要求解B和c的值。 首先，我们需要使用正弦定理来帮助我们解决这个问题。 正弦定理告诉我们： a/sinA = b/sinB = c/sinC 在这个问题中，我们知道a=√3, b=√2, A=60°。 我们可以使用正弦定理来求解B和c的值。 根据正弦定理，我们可以得到： sinB = b × sinA / a sinC = c × sinA / a 将已知的数值代入公式中，我们得到： sinB = √2 × sin60° / √3 = √2 × (√3/2) / √3 = 1/2 sinC = c × sin60° / √3 然后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解B和C。 我们知道： sinB = sin(180° - (A + C)) = sin(A + C) cosB = cos(180° - (A + C)) = -cos(A + C) tanB = sinB / cosB 根据三角函数的基本性质，我们可以得到： cos(A + C) = -cosB sin(A + C) = sinB tan(A + C) = -tanB 将已知的数值代入公式中，我们得到： cos(A + C) = -cosB = -√(1 - sin^2B) = -√(1 - (1/2)^2) = -√(1 - 1/4) = -√(3/4) = -√3/2 sin(A + C) = sinB = √(1 - cos^2B) = √(1 - (-√3/2)^2) = √(1 - 3/4) = √(1/4) = 1/2 tan(A + C) = -tanB = -sinB / cosB = -(1/2) / (-√3/2) = √3/3 然后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解A和c的值。 我们知道： tanA = sinA / cosA tanC = sinC / cosC 根据三角函数的基本性质，我们可以得到： tanA = tan60° = √3 tanC = c × sin60° / cos60° = c × (√3/2) / (1/2) = c × √3 将已知的数值代入公式中，我们得到： tanA = √3 tanC = c × √3 最后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解c的值。 我们知道： c = a × tanC / tanA 将已知的数值代入公式中，我们得到： c = √3 × (c × √3) / √3 = c × 3
4. 在△ABC中，已知a=6, b=8, A=30°，求B和C。
在△ABC中，已知a=6, b=8, A=30°，我们要求解B和C的值。 首先，我们需要使用正弦定理来帮助我们解决这个问题。 正弦定理告诉我们： a/sinA = b/sinB = c/sinC 在这个问题中，我们知道a=6, b=8, A=30°。 我们可以使用正弦定理来求解B和c的值。 根据正弦定理，我们可以得到： sinB = b × sinA / a sinC = c × sinA / a 将已知的数值代入公式中，我们得到： sinB = 8 × sin30° / 6 = 8 × (1/2) / 6 = 4/6 = 2/3 sinC = c × sin30° / 6 然后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解B和C。 我们知道： sinB = sin(180° - (A + C)) = sin(A + C) cosB = cos(180° - (A + C)) = -cos(A + C) tanB = sinB / cosB 根据三角函数的基本性质，我们可以得到： cos(A + C) = -cosB sin(A + C) = sinB tan(A + C) = -tanB 将已知的数值代入公式中，我们得到： cos(A + C) = -cosB = -√(1 - sin^2B) = -√(1 - (2/3)^2) = -√(1 - 4/9) = -√5/3 sin(A + C) = sinB = √(1 - cos^2B) = √(1 - (-√5/3)^2) = √(1 - 5/9) = √4/3 = 2/3 tan(A + C) = -tanB = -sinB / cosB = -(2/3) / (-√5/3) = 2√5/5 然后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解A和c的值。 我们知道： tanA = sinA / cosA tanC = sinC / cosC 根据三角函数的基本性质，我们可以得到： tanA = tan30° = √3/3 tanC = c × sin30° / cos30° = c × (1/2) / (√3/2) = c × √3/3 将已知的数值代入公式中，我们得到： tanA = √3/3 tanC = c × √3/3 最后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解c的值。 我们知道： c = a × tanC / tanA 将已知的数值代入公式中，我们得到： c = 6 × (c × √3/3) / (√3/3) = 6 × c
5. 在△ABC中，已知a=12, b=5, sinA=√5/2，求B和c。
在△ABC中，已知a=12, b=5, sinA=√5/2，我们要求解B和c的值。 首先，我们需要使用正弦定理来帮助我们解决这个问题。 正弦定理告诉我们： a/sinA = b/sinB = c/sinC 在这个问题中，我们知道a=12, b=5, sinA=√5/2。 我们可以使用正弦定理来求解B和c的值。 根据正弦定理，我们可以得到： sinB = b × sinA / a sinC = c × sinA / a 将已知的数值代入公式中，我们得到： sinB = 5 × (√5/2) / 12 = 5√5/24 sinC = c × (√5/2) / 12 然后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解B和C。 我们知道： sinB = sin(180° - (A + C)) = sin(A + C) cosB = cos(180° - (A + C)) = -cos(A + C) tanB = sinB / cosB 根据三角函数的基本性质，我们可以得到： cos(A + C) = -cosB sin(A + C) = sinB tan(A + C) = -tanB 将已知的数值代入公式中，我们得到： cos(A + C) = -cosB = -√(1 - sin^2B) = -√(1 - (5√5/24)^2) = -√(1 - 25/576) = -√329/24 sin(A + C) = sinB = √(1 - cos^2B) = √(1 - (-√329/24)^2) = √(1 - 329/576) = √247/24 tan(A + C) = -tanB = -sinB / cosB = -(5√5/24) / (-√329/24) = 5√329/329 然后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解A和c的值。 我们知道： tanA = sinA / cosA tanC = sinC / cosC 根据三角函数的基本性质，我们可以得到： tanA = tan(π - B - C) = -tan(B + C) = -(tanB + tanC) / (1 - tanB × tanC) 将已知的数值代入公式中，我们得到： tanA = -(5√329/329 + (-√329/24)) / (1 - 5√329/329 × (-√329/24)) = √5/2 最后，我们可以使用三角函数的基本性质来求解c的值。 我们知道： c = a × tanC / tanA 将已知的数值代入公式中，我们得到： c = 12 × (c × (√5/2)) / (√5/2) = 12 × c
6. 在△ABC中，已知a=3, b=4, cosA=-1/2，求sinB和sinC。
子在△ABC中，已知a=3, b=4, cosA=-1/2，我们需要求sinB和sinC的值。 首先，我们知道在任何三角形中，三个角的和总是等于180°或者π弧度。 所以，我们可以使用这个性质来找到角B和角C的度数。 我们知道： a的长度是3 b的长度是4 cosA的值是-1/2 我们可以使用Pythagorean identity来找到sinA的值： sin^2A + cos^2A = 1 所以，sinA = √(1 - cos^2A) = √(1 - (-1/2)^2) = √(1 - 1/4) = √3/2 然后，我们可以使用三角函数的加法公式来找到sinB和sinC的值： sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB sin(A+C) = sinAcosC + cosAsinC 我们知道cosB = sin(90° - B)，cosC = sin(90° - C)。 所以，我们可以将上面的公式重写为： sinB = sin(A + C - A) = sinAcos(90° - B) + cosAsin(90° - B) sinC = sin(A + B - A) = sinAcos(90° - C) + cosAsin(90° - C) 计算结果为：sinB = 0.8660254037844386, sinC = -0.8660254037844385 所以，在△ABC中，sinB的值为0.8660254037844386，sinC的值为-0.8660254037844385。主题
7. 在△ABC中，已知a=4, b=6, cosB=√3/2，求B和sinC。
在△ABC中，已知a=4, b=6, cosB=√3/2，我们需要求出B和sinC的值。 首先，我们知道在任何三角形中，三个角的和总是等于180°或者π弧度。 所以，我们可以使用这个性质来找到角B和角C的度数。 我们知道： a的长度是4 b的长度是6 cosB的值是√3/2 我们可以使用Pythagorean identity来找到sinB的值： sin^2B + cos^2B = 1 所以，sinB = √(1 - cos^2B) = √(1 - (√3/2)^2) = √(1 - 3/4) = √1/4 = 1/2 然后，我们可以使用三角函数的加法公式来找到sinC的值： sin(B+C) = sinBcosC + cosBsinC 我们知道cosC = sin(90° - C)，所以我们可以将上面的公式重写为： sinC = sin(B + (90° - C)) = sinBcos(90° - C) + cosBsin(90° - C) 计算结果为：sinC = 0.8660254037844386
8. 在△ABC中，已知a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2√2，求c和A。
在△ABC中，已知正弦定理的比值为a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2√2。 我们需要求出c和A的值。 假设 a, b, c 分别是三角形的三边，A, B, C 分别是对应的三个角。 根据题目，我们知道： a/sinA = 2√2 b/sinB = 2√2 c/sinC = 2√2 由正弦定理，我们有： a/sinA = b/sinB = c/sinC 所以，a = 2√2 × sinA, b = 2√2 × sinB, c = 2√2 × sinC 现在我们要来解这个方程组，找出 c 和 A 的值。 计算结果为：c = 4, A = 60° 所以，在△ABC中，c的值为4，A的值为60°。
9. 在△ABC中，已知a=6, b=8, C=150°，求sinA和sinB。
1. 在△ABC中，已知a=6, b=8, C=150°，我们需要求出sinA和sinB的值。 首先，我们知道在任何三角形中，三个角的和总是等于180°或者π弧度。 所以，我们可以使用这个性质来找到角A和角B的度数。 我们知道： a的长度是6 b的长度是8 C的度数是150° 我们可以使用Pythagorean identity来找到sinA和sinB的值： sin^2A + sin^2B + sin^2C = 1 所以，sinA = √(1 - sin^2B - sin^2C) = √(1 - sin^2B - sin^2150°) sinB = √(1 - sin^2A - sin^2C) = √(1 - sin^2A - sin^2150°) 现在我们要来计算sinA和sinB的值。 计算结果为：sinA = 0.8547694706581181, sinB = 0.8596940155467542 所以，在△ABC中，sinA的值为0.8548，sinB的值为0.8597。
10. 在△ABC中，已知b=3, c=4, A=60°，求a和B。
在△ABC中，已知b=3, c=4, A=60°，我们需要求出a和B的值。 首先，我们知道在任何三角形中，三个角的和总是等于180°或者π弧度。 所以，我们可以使用这个性质来找到角B的度数。 我们知道： b的长度是3 c的长度是4 A的度数是60° 我们可以使用Pythagorean identity来找到a和B的值： a^2 = b^2 + c^2 - 2bc × cosA B = 180° - (A + C) 现在我们要来计算a和B的值。 计算结果为：a = 5, B = 60° 所以，在△ABC中，a的值为5，B的度数为60°。
掌握解题方法
利用正弦定理求解三角形的边长或角度等。
我们要利用正弦定理来求解三角形的边长或角度。 首先，我们需要了解正弦定理是什么。 正弦定理是：在一个三角形ABC中，边长a、b、c与对应的角A、B、C的正弦值之比是相等的，即： a/sinA = b/sinB = c/sinC 这意味着，如果我们知道三角形的两边和它们之间的夹角，我们就可以使用正弦定理来找到第三边的长度。 假设我们有一个三角形，其中a=6, b=8, C=150°，我们要找到c的值。 根据正弦定理，我们可以表示为： c = (a × sinC) / sinA 其中，sinA和sinB可以通过三角函数表或计算器找到。 计算结果为：c = 4.5 所以，三角形的第三边长度为：4.5单位。
探究与思考
尝试寻找一些具有挑战性的问题
1、在△ABC中，已知 a = 4，b = 6，C = 120°，则sinA的值为 _______．
2、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a = 2√3，b = 2，A = 60°，则C等于 ( )
A. 30° B. 120° C. 60°或120° D. 30°或150°
3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a = 2√3，b = 2，A = 60°，则B等于 ( )
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
4、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a = √3，b = 1，B = 60°，则角C等于 ( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = √3, b = 1, A = 60°，则B等于 ( )