导图社区 高等数学上
这是一篇关于高等数学上的思维导图,主要内容有第一章函数与极限、第二章导数与微分、第三章微分中值定理和导数的应用等。
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高等函数
第一章 函数与极限
1.映射与函数
映射
单射
满射
复合映射
函数
2.数列的极限
收敛与发散
数轴上几何表示
收敛数列的性质
极限的唯一性
收敛数列的有界性
收敛数列的保号性
收敛数列与其子数列之间的关系
3.无穷小与无穷大
无穷小无穷大的定义
无穷小与无穷大的关系
4.极限的运算法则
5.极限存在准则/两个重要极限
夹逼准则
lim₍x→0₎ sinx/x=1
单调有界数列收敛准则
如果数列单调增加且有上界,则此数列收敛;如果数列单调减少且有下界,则此数列收敛。
6.无穷小的比较
7.函数的连续性与间断点
连续性的定义 lim₍x→x₀₎f(x)=f(x₀)
间断点分类
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
8.连续函数的运算与初等函数的连续性
和差积商连续性不变
基本初等函数在它的定义区间内是连续的
连续函数的复合函数也连续
9.闭区间上连续函数的性质
最大值与最小值定理
有界性定理
零点定理
介值定理
一致连续性定理
第二章 导数与微分
导数的概念
求导法则
和差积商求导法则
反函数求导法则
复合函数求导法则
双曲函数和反双曲函数的求导法则
高阶导数
高阶导数的定义
常见高阶导数
(eˣ)⁽ⁿ⁾=aⁿeᵃˣ 、(sinx)⁽ⁿ⁾=sin(x+nπ/2) 、(cosx)⁽ⁿ⁾=cos(x+nπ/2) 、
高阶导数运算法则
隐函数
参数方程求导法
微分
微分的定义
常写为 dy | ₓ₌ₓ₀=f'(x₀)dx
基本初等函数的微分公式与微分运算法则
第三章 微分中值定理和导数的应用
微分中值定理
费马引理
函数f(x)在点x₀处可导,且在x₀处取得极值,那么f'(x₀)=0
罗尔定理
在闭区间[a,b]上连续
在开区间(a,b)内可导
在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得f'(ξ)=0
拉格朗日中值定理
在开区间(a,b)内可导
那么至少存在一点ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
柯西中值定理
如果函数f(x)及F(x)满足
对任一x∈(a,b),F'(x)≠0
那么在(a,b)内至少有一点ξ,使得[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)] =f'(ξ)/F'(ξ)
洛必达法则
应用条件 极限为未定式
方法 分子分母同时求导在求极限
泰勒中值定理
n阶泰勒公式佩亚诺余项
n阶泰勒公式拉格朗日余项
带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
函数的极值
极大值
极小值
应用
求目标函数
曲线的单调性和曲线的凹凸性
曲线单调性的判别法
极值
凹凸性
凹凸性的判定
二阶导数的符号正凹负凸
拐点
凹凸性改变,二阶导符号变化,二阶导数为零
驻点
一阶导为零
曲线的渐近线与函数图形的描绘
曲线的渐近线
水平渐近线
若lim(x→∞)f(x)=A,那么,曲线有水平渐近线y=A
铅直渐近线
若lim(x→x₀)f(x)=∞,那么,曲线有铅直渐近线x=x₀
斜渐近线
若存在直线y=kx+b,使得lim(x→∞)[f(x)-(ox+b)]=0,那么,曲线有斜渐近线y=kx+b k=lim(x→∞)f(x)/x b=lim(x→∞)[f(x)-kx]
图形曲线的描绘
第六章 定积分的应用
定积分的元素法
可加性面积元素
元素为被积表达式
定积分在几何学上的应用
平面图形的面积
直角坐标计算法
极坐标计算法
体积
旋转体的体积
平行截面面积为已知的立体体积
平面曲线的弧长
定积分在物理上的应用
第五章 定积分
定积分的定义和性质
定义
组成部分名称
被积函数,被积表达式,积分变量,积分下限,积分上限,积分区间,积分和
定积分存在条件
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间(a,b)上可积
如果函数F(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在区间(a,b)上可积
定积分的几何意义
定积分的性质
线性可加性
积分区间可加性及可分割性
保号性
积分中值定理
中值为区间内平均值
定积分近似求法
矩形法
梯形法
抛物线法
微积分基本公式
定理一:如果函数在区间内连续,那么积分上限的函数在区间上可导,而且它的导数为导数区间上限的函数值
原函数存在定理
牛顿莱布尼兹公式(微积分基本公式)
定积分的换元积分法和分部积分法
换元公式
利用函数奇偶性周期性
定积分的分部积分公式
积分关于下标的递推公式
广义积分
无穷积分
瑕积分
子主题
第四章 不定积分
不定积分的性质和概念
不定积分,积分号,积分表达式,积分变量
不定积分的性质
积分的导数等于导数的积分
积分中常数可提取
积分结果检验,对结果求导
积分换元法
第一类换元法(凑微分法)
第二类换元法
三角代换
倒代换
分部积分法
反对幂指三
有理函数的积分
真分式
部分分式和
假分式
多项式与真分式和
化为有理数
万能代换
无理代换
倒数代换