实数集与函数

这是一个关于实数集与函数的思维导图，包含数集确界原理、 函数概念、具有某些特性的函数等。

实数集与函数

实数

实数及其性质

定义

有理数

有限、无限循环

无理数

无限不循环

性质

封闭性

有序性

传递性

阿基米德性

稠密性

一一对应

绝对值与不等式

绝对值

实数a的绝对值定义：从数轴上看，|a|就是点a到原点的距离

三角形不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

数集.确界原理

区间与邻域

有界集.确界原理

有界集定义

设S为R中的一个数集.若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L） 则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界）

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集.若S不是有界集，则称S为无界集.

上确界定义

⑴对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界； ⑵对任何a<η，存在Xo∈S，使得Xo>a，即η又是S的最小上界，则称数η为数集S的上确界，记作η＝sup S

下确界定义

⑴对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界； ⑵对任何β>ξ，存在Xo∈S，使得Xo<β，即ξ又是S的最大下界，则称数ξ为数集S的下确界，记作ξ＝inf S

确界原理

设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界

函数概念

函数的定义

给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对每一个x∈D，都有唯一的y∈M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f：D→M， x|→y

函数的表示法

解析法（公式法）

列表法

图像法

函数的四则运算

复合函数

反函数

初等函数

常量函数y＝c（c是常数）

幂函数y＝xᵃ（a为实数）

指数函数y＝aˣ（a>0，a≠1）

对数函数y＝㏒ₐx（a>0，a≠1）

三角函数y＝sinX（正弦函数），y＝cosX（余弦函数） y＝tanX（正切函数），y＝cotX（余切函数）

反三角函数y＝arcsinX（反正弦函数），y＝arccosX（反余弦函数） y＝arctanX（反正切函数），y＝arccotX（反余切函数）

具有某些特性的函数

有界函数

设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个x∈D，有|f（x）|≤M，则称f为D上的有界函数

单调函数

奇函数与偶函数

周期函数