考研数学高数第三章积分

综合了武忠祥老师，张宇老师以及一些我自己做题（1000题，660，880）中的知识点的总结，包含不定积分、定积分、反常积分、定积分应用等。

第三章

张宇补充

不定积分计算

公式补充



第一个公式需要熟记，极快地加快做题速度

第二大项也非常有用

遇到被积函数极其复杂，找不到原函数进行计算时

思路

通常找最复杂的部分，对其积分求导

例



根式问题





分部积分法

u，v的选取选择

反对幂指三



推广公式（表格法）



用的不熟

有理函数的积分

定义



思想



方法



补充了一个盲点

注意二次因式的分子是不同的

注意分子是相同的格式

总之，k重就产生k项

定积分计算

三种区间再现公式







证明



点火公式详细



含x的公式



第四项只有在（0，π/2）的时候，才能使用

区间简化公式



技巧性强

例子





结论



利用对称性的公式



很重要

常考

对称性下的积分问题



分段函数变限积分问题





拆分求导问题（弱点）

两种类型

求导变量与积分变量在同一范围



求导变量与积分变量在不同范围



核心思路（只有一个）

用求导变量拆分积分变量

某些结论与题型

一个结论



双阶乘



秀

进一步的公式补充



注意下第五条，第八条

第八条有点不明白

加快计算的方式



其实不必，好好算就行

由定积分定义求和式极限（有难度）





秀

总结

这种题的核心是，找到1/n，i/n

通常，遇到加加加加的题，考虑把它化成通项

通常还结合夹逼准则，放缩













天秀





反常积分的敛散性



此题可以对被积函数进行泰勒，但更简单的是，利用定义



天秀

判断反常积分敛散性的两种方法

一般性的方法

通过等价、找大头、乘除法中极限≠0，变形，放缩等方法，把被积函数f(x)转换成简单的g(x)的形式（通常是P积分），进行回答

P积分

P<1，收敛

极易混淆

对比无穷区间的P积分

P>1，收敛

另一种方法：用定义

通过定义，即抓原函数的方法，求取原函数，看是否为有限值

瑕点的理解

瑕点，不是简单的说成无定义的点，而是使f(x)达到无穷大的点

所谓反常，是f(x)无界，无限的意思











常用不等式



利用放缩，当然这种小发大发，是针对正项来说的，因此还要证明f(x)大于0

不定积分

原函数

注意是处处成立

不定积分

不定积分是原函数簇

原函数存在性

为什么有第一类，就没有原函数

这个命题等价于“f(x)的导数f′(x)没有第一类间断点”。 反证法，如果f'(x)有第一类间断点，那在该点f'(x)左右极限均存在，导数极限定理会保证这点函数f(x)的连续性。

这里的导函数是指的原函数的导函数，即fx



可是这里似乎只用了可去间断点做例子

不理解

能找到第二类间断点的原函数例子吗

补充

fx在区间I上不连续，则fx在I上不存在原函数

？

主要积分法

第一类（不换变量），第二类（换回变量）

不定积分中，平方开方不考虑正负号

分部积分法

使用原则

当被积函数是两类不同函数相乘时

补充

三种常见可积函数积分

有理函数

加项减项拆

凑微分降幂

三角有理式

万能代换

适用于三角函数方次为一次，且没有简单方法可做时

有时候忘记用

特殊方法（三角变形，换元，分部）

这次强化，似乎还没有想到用

简单无理函数

令无理函数为t

特征

里面必为两个“一次式”之比

n可为无限大

注意

分段函数积分

适用于带绝对值的

不定积分为原函数，而原函数不仅要可导，而且导数=被积函数

所以原函数必定连续

第二种方法不熟，多用一下

弱点，有点忘了

连续，可积，原函数存在的关系

可积与存在原函数没有任何关系

有限个第一类间断点：可积

有第一类间断点：无原函

可积：在闭区间，定积分这个式子存在

难点，易混淆点

变上限积分与原函数存在

f(x)有有限个可去间断点，则变上限积分可导，只不过在间断点处的导数等于被积函数在该点的极限值

注意区分，fx只要连续，则fx的变上限积分就至少是它的一个原函数

而此处fx并不连续，fx存在有限个可去间断点，所以fx的变上限积分，不一定是它的原函数

还是很混乱

理解了一些

题干隐含信息

即原函数必定可导且连续，因此原函数也存在它的原函数

那岂不是可以一直循环下去= =

注意是有限个间断点，不区分第一类和第二类

此时仍然可能存在第二类：振荡间断点

f(x)在[a,b]有界，只有有限个间断点

则f(x)的绝对值在[a,b]也有界，也只有有限个间断点

fx的绝对值在区间内可积

因为fx的连续点必是fx绝对值的连续点

面积最小不等价于旋转体体积最小

应为，旋转面重心离旋转轴最近时，所得旋转体体积最小

因此，求取旋转体体积最小时，不可变相求面积最小

定积分

定积分是一个特殊的和式极限，是一个数 不定积分是原函数簇

定积分表示一个数值，取决于积分区间与被积函数，与积分变量和区间的分法无关

利用定积分的几何意义时，一定要求上限＞下限

可积性

必要条件

有界，但有无穷个间断点

所以若是函数在区间内无界，则肯定不可积

定积分存在(即可积)，则一定有界

充分条件

有界就排除了无穷间断点的存在

可积性，即定积分存在

定积分的计算

牛顿莱布尼茨的应用前提

函数连续

所以若区间内函数无界，啧不存在定积分，不可以用

以及区间内无定义的点，也不行

推广的牛顿莱布尼茨

即可以把无定义的或者无界的点，按区间分开，再行使用

为反常积分的运算提供了理论依据

注意2)是sinx的函数，而非只是sinx

小心cosx的函数没有第二项的公式

注意第二项，提出来后是π/2，且积分上限仍旧为π

常用

变上限积分

三种类型

2式在概率论中被称为暴力求导

记住2式

第三个式子，似乎也有大用，这样我是不是就可以不用分离出x了

谨慎点，没用过

函数可积，则变上限积分连续

忽略点

函数连续，则变上限积分可导，且在一点导数=函数在该点的值



极其重要

有难度的计算

还是看不懂各个变量之间的关系

需要讲解

从哪来的题？

y是积分变量，可以随意替换，而t是自变量

性质

不等式

积分中值

注意

积分中值的f(c)的几何意义是平均值

广义积分中值定理记得不熟

使用原则

求极限，变量在上下限上，虽然上下限都变，但上限减下限却是常数

注意

对于极限变量在里面，且与根号相关的，通常用夹逼定理和积分中值定理

例子

注意第二点

忘记的点

补充

不熟

积分不等式（难点，笔记做例题补充)

常用方法

变量代换

积分中值定理

变上限积分

利用函数不等式来证明

使用原则

题干给出了函数单调的信息

柯西积分不等式

要求俩函数均连续

注意不等号的方向，不要用反了

常用思路

证明俩区间不一样的积分的大小时，直接比较不方便

通常化为同一区间，利用变量代换

比较函数与导数大小

找能串联导数与函数的方法

变上限积分

题干通常给出条件：函数某区间内有连续导数，f(a)=0

微分中值定理

张宇补充

积分不等式（五种类型）

用函数的单调性

将某一限（上限或下限）变量化，然后移项构辅助主函数，由辅助函数的单调性来证明不等式

条件

多为：f(x)在区间上连续

例题



处理被积函数

第一类

已知f(x)≤g(x)，用积分保号性证明



第二类

用拉格朗日中值定理

方法

用拉格处理被积函数f(x)，再作不等式，进一步用积分保号性

条件

多为：f(x)一阶可导，且有简单函数值如f(0)=1

例题



利用几何，也利用拉格

看到二阶导要有条件反射

有一定难度

第三类

用泰勒公式

方法

f(x)展开称为泰勒公式，再作不等式，进一步，用积分保号性

条件

多为：f(x)二阶可导，且有较简单函数值

例题



有难度，关键的那次转换，很难想得到

根据要求的证明来设置的，比如f(x)中有两个不同的函数，一个积分，一个是u(t)，那肯定令x,x0分别等于它们

第四类

放缩法

方法

利用常见不等式，进一步，利用积分保号性

常见不等关系



最后一个经常用，记得不熟

例题



第五类

分部积分法

方法

分部积分处理被积函数，再利用条件进一步推证

例题



分析函数特征很重要

第六类

换元法

条件

遇见复合函数形式的积分

例题



有难度，不容易想到这个方法，利用反函数

夹逼准则求解一类积分的极限问题

例题



代表了一种题

曲边梯形面积的连续化与离散化问题

例题



一些结论

连续，极限，导数，可积，级数的结论一样

可积±不可积＝不可积

其他为不一定

只有反常积分的不一样

对比

即差别在于连续与否

利用夹逼

周期性

若函数在无穷区间内连续，且以T为周期，若函数为奇函数，则原函数也是以T为周期

这个总结不太对

我靠

计算

先看积分区间，对称与否

三角换元后，有些题没算出来的原因

整体和拆开后是否有奇偶性

有理化更简单

平方开方，必须带绝对值，然后考虑是否分段做

上下限为常数，求极限变量在里面

夹逼定理





积分中值定理

定积分中使得区间不变

x=a+b-t

反常积分中使得区间不变

x=1/t

张宇卷子考到了，但没想出来

遗漏点，很重要

当积分区间对称，但函数无奇偶性，原函也不好找（如有分母）时

更多用变量代换并且1/2相加

变量代换选取原则

区间不变

找个例子



处理变上限积分有关极限的方法

积分中值

洛必达

等价无穷小代换

包括积分的等价代换

又忘了

分积分变量的区间拿掉绝对值

极其重要的一类题

与不定积分差别

某些运算

就是一个积分的基本运算

极其重要

核心就是令x=a+b-t，积分相加除以2

为什么会有差别？

反正记住

因为除以3之后，f(0）≠0，不再是奇函数

考察定积分与确定值(如0，1)的大小比较

比较0的

被积函数有正有负，将积分区间分开，以便被积函正负分清，然后两个积分的上下限化为相同，再合并考察被积函数符号，以确定积分的正负

比较1的

积分与1比较时，可讲1化为区间相同的积分，然后两式相减，确定被积函数的正负

这里可以考一些计算比较复杂的

容易出选择题难题

极重要

注意是x趋于0的时候

注意

一定注意积分区间的变换

比较遗漏的点

反常积分

无穷区间的反常积分

若极限值存在，则反常积分存在，此时也称反常积分收敛

记作

若极限值不存在，则反常积分发散

称该极限为函数在无穷区间[a，∞)上的反常积分

此处定义与定积分（和式极限）不同，若用和式极限来定义，则它不存在

只要有一个发散，则整体发散

此处与极限不一样

也不能这么说，这里的拆法与极限处的拆法不一样，实际上，如果积分区域相同，函数不同，那么与极限是一样的

下面有详细的

主要方法

比较判别法

大收小收

小发大发

关键在于放大还是缩小，以及尺度为多少

比较法的极限形式

只用比极限，不用去放缩，关键在于跟谁比

注意前提是fx和gx是非负连续的

比值为0，分母>分子，母收子收

比值为无穷，分子>分母，母发子发

P积分

无界函数的反常积分

瑕点

函数在点a的任一邻域都无界，称点a为函数的瑕点（也称无界点）

无界函数的反常积分也称为瑕积分

定义

方法

比较判别法

与无穷区间一样

比较法的极限形式

与无穷区间一样

P积分

P<1，收敛

极易混淆

对比无穷区间的P积分

P>1，收敛

反常积分一些概念与方法

只有反常积分确定收敛时，才可以在反常积分中，利用对称区间奇偶性的结论

反常积分敛散性判定时，可以用等价无穷小

忘记的性质

但同敛散不代表积分值相同

要注意的是，是x趋于0的时候，可以用等价，但x趋于无穷时，不可以

敛散性判定时，若区间内有两个瑕点，则需要分区间讨论

能用P积分，就不用定义

分段函数的分界点，不一定是瑕点，瑕点需要自行判断

注意

当区间一样而函数不一样时，通常考虑变量代换

变量代换原则为区间不变，反常积分通常为x=1/t

某种计算方法

一些结论

反常积分收敛，即极限存在

反常积分的奇偶性必须在确定反常积分存在之后，才可用

相同区间，不同函数

相同区间的时候，反常积分的敛散性判定与极限的判定是一样的

注意与上面比较，这个是区间相加，而第三个是被积函数相加

不同区间，相同的函数

只要有一个发散，就一定发散

反常积分的敛散性判定，例题





极重要，遗漏点

依据瑕点，分开做，一个一个做，然后找每一个部分跟谁一样大

对于B项，分开是为了更好判定，因为不分开，那么x5/2次方就不好判定了

定积分应用

平面图形面积

面积的二重积分，其被积函数为1

然后根据积分区域D，选择计算二重积分的方法（直角坐标，极坐标，奇偶性，对称性）

空间体体积

可解决所有体积问题

公式极其重要

注意r的列式，需要除一个根号

V前面有个2π

对于极坐标同样可以用





盲点

但要注意公式的列法



参数方程的斜率



常见的图像

对数螺线

注意要考的

公式



心形线



心形线公式，图像需牢记



数三不作要求

星形线

熟悉下第二个公式

也可能考

摆线

双扭线（伯努利双纽线）

注意

几何应用这一块，计算要慢和仔细