考研数学高数第七章无穷级数

综合了武忠祥老师，张宇老师以及一些我自己做题（1000题，660，880）中的知识点的总结。希望对你有所帮助！

无穷级数

概念与性质

无穷级数的和，就是用前有限项和取极限来定义

联系到极限，就俩问题

存在与否

值（和）

注意级数与数列的差别

数列

收敛数列的任何子列都收敛，并且值与原来数列一样

因为它不是相加，只是最后一个数的值

级数

级数中，去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性

但会影响和

即只看后面无穷项，而前面有限项无关紧要

重点

收敛级数加括号一定收敛，反之不一定

但是

为什么

不熟这个，也就是说正项级数就可以？

注意括号内是加，不是减，减项没有这个规律

即



与极限一样

收+收=收

级数收敛的必要条件为，通项=0

针对任何类型的级数都成立

利用定义判定时

若Sn与Sn+1极限不同，则发散

若an与an+1不同，则极限an不存在，级数发散



加括号其实是增加了收敛

例子

利用定义本身判定级数收敛与否

注意与1的区别

并不是Sn等于一个确定值就收敛

还要看Sn与Sn+1的值是否一样

利用定义判定时

若Sn与Sn+1极限不同，则发散

忽略点

若an与an+1不同，则极限an不存在，级数发散

重要，弱点

级数的审敛准则

正项级数

基本定理

正项级数收敛，sn有界

因为Sn递增，由极限思想，Sn上有界时，极限存在

这是充要

容易省略的性质

正项级数发散意味着sn→∞

注意

sn无界，则级数一定发散

无论是否是正项级数

比较判别法

大收小收，小发大发

比较法极限形式

l=0，即分母大，分母收敛则分子收敛

l=∞，分母小，分母发散则分子发散

对于比较判别法和比较法极限形式，通常要找一个函数相对比，常选P级数和等比级数

很重要

经常性判定收敛的时候用

在做题的时候通常考虑相除

P级数和等比级数



P级数对应于无穷区间的，都是p>1

等比级数对应于无界区间，都是q<1

等比级数



四个重要的判别尺度



注意等比的要求取值

比值法

注意

比值法有用到极限，所以需注意保号性

前一个是函数本身，函数本身≥a，只能推出极限值≥a

第二个比较重要，常考

注意p是极限值，而非两式子的比值

p<1收

注意是求极限

根植法

p＜1，收

与后面的幂级数的判定作比

幂级数

常用定理

注意是倒数和绝对值

注意

相比于正项级数的比值法和根值法，幂级数这里多了个绝对值（可能通项为负数）

由于幂级数的收敛半径是客观存在的，所以两个定理可以正推，不可以反推

即极限p存在，可推R存在

若极限不存在，不能说幂级数半径不存在

若幂级数只有偶次项或者奇次项，则R=根号1/p

积分判别法

注意为单调减，非负，连续

弱点，没记住

因为，非负，所以适用于正项级数

以上都是适用于正项级数的

做题思路



极重要，必须熟悉

注意

出现三巨头时，常用比值法和根植法

核心思路

如果在绝对值级数发散时，用的是比值或根植，就能断定原级数一定发散

极重要

用比值法或者根值法判定出绝对值级数发散后，就能断定原级数一定发散

证明

因为通项不趋于0



注意第三个

这四种方法的使用前提是，正项级数

有些选择题中，没有给出前提条件为正项，此时用以上方法判断是不正确的

级数为正项级数时，可以用等价代换，通常化为P级数来判定

也可以使用泰勒公式

注意前提是，正项级数，才可以用等价代换

常用的反例



常见例题



先考虑绝对收敛

三巨头一个都没有，最好用比较法



对正项，用了等价代换



常用缩放

三种方法

无巨头，用比较法或比较法的极限形式



正负不知，考虑除1/n，比较好算



利用无穷大的比较，可以快速筛选出答案

为什么无穷大的比较可以筛选出答案

别问为什么，记住

因为用比较判别法，放缩，大收小收







一个遗漏的点





可以记住

级数中常用不等式





蛮重要的结论

常见的题型思路



我靠这个B项

张宇例题







非常经典的思路，因为把Sn视为arctan不好求，所以转换思路设Sn=an-an+1





基础不牢

先判定是什么级数

第三个的计算





交错级数

反推可以推出通项趋于0，但推不出递减

即交错级数收敛，其通项不一定单调减和趋于0

任意项级数

an绝对收敛，bn条件收敛

两者相乘，绝对收敛

为什么

相加减，条件收敛

绝对收敛±绝对收敛

绝对收敛

条件收敛±条件收敛

条件收敛或者绝对收敛

注意原级数一定收敛

遗忘的性质

条件收敛的级数，所有正项或负项构成的级数，一定发散

注意

问到绝对收敛还是条件收敛，通常先求绝对收敛

对一般项级数，有如下判别法

级数也有夹逼？

是滴

方法

做题步骤

拿到级数，先判定类型

用相应方法做判定

若不能判定出来，再用定义和性质来判定

选择题中，更适合用直接法

正项级数

条件中给定通项与别的相乘时，一般思想变为相除

？

即利用比较判别法来

P级数中，若limp=2，还要再放缩一下，因为极限=2并不是P级数

？

交错级数

难度在于有时难以判断怎么是交错级数，以及如何改写为交错级数

三角函数的变化是个盲点

任意项级数

通常讨论顺序为，绝对>条件>发散

极难

证明题与综合题

若条件中出现了

则无论出现在条件还是结论中，这时对这种级数都是用定义，也就是前n项和

常用方法

若证明到数列收敛，则常用收敛数列必有界的条件（M<0）来证明

？

若条件为an*n，则通常变为除法形式

常与之前的结合（可能考压轴大题

拉格朗日中值定理

条件有两点函数值之差，又有导数条件

与递推公式相结合

与方程根问题结合

与泰勒结合

用到了函数值，给的条件有二阶导

在信息最多的点上用

例题





此题，结合了拉格朗日，递推公式，方程根

全是不擅长的

a在此处看作是自变量，所以是任意的



级数中，无论是条件还是结论中，只要出现了前后项相减，都要用定义来求



太特么难了

这个思路



积分不等式，等量代换



利用到了积分柯西不等式

结论汇总



前提必须是正项级数

收敛级数的夹逼准则

两端收敛，可以说明中间收敛

但是，两端发散，不能说明中间发散

证明

没说是正项级数，所以强行往正项级数凑，利用其判别方法



莱布尼茨只能判收敛，不能判发散，即不满足莱布尼茨的条件时，不能说级数就一定发散

张宇18讲结论









细节



注意这个反向的证明





与前面的有些许不同

证明用定义





正项级数情况下，发散+发散=发散

但任意项级数下，不一定



注意第二条

注意

级数与数列区别

级数

若级数收敛，得不到其所有奇次项级数或所有偶次项级数收敛

只有当级数为正项级数时，才可以推导得到所有奇次项或者所有偶次项级数收敛

数列

若数列收敛，可得所有奇次项或偶次项收敛

证明

幂级数

定义

收敛半径R

R

收敛半径是(x-a)这个整体，比如半径为1，则1<x-a<1，而收敛区间则为-1+a<x<1+a



收敛区间

（-R，R）

收敛区间指的也是x的范围

收敛域

收敛区间加上收敛的端点

收敛域是指x的范围

比如说(x-1)的n次方，那么收敛域算的是x的，而不是x-1的

收敛域判定比较复杂

注意

若级数为俩个级数相加，则收敛域由公共的最小部分决定

阿贝尔定理

若在x0处条件收敛，则点x0必为幂级数收敛区间的一个端点

因为内部绝对收敛，外部发散

阿贝尔定理的逻辑清晰的用法

因为系数是一样的，所以俩级数的收敛半径一样

核心

但为什么收敛域一样，因为此处是把x-1和x-1/2均视作t，而两者系数又一样，所以t的收敛域是一样的

注意收敛域指的是x的范围，而非x-1的范围

逻辑稍微有点绕

常用定理

注意是倒数和绝对值

注意

相比于正项级数的比值法和根值法，幂级数这里多了个绝对值（可能通项为负数）

由于幂级数的收敛半径是客观存在的，所以两个定理可以正推，不可以反推

即极限p存在，可推R存在

若极限不存在，不能说幂级数半径不存在

若幂级数只有偶次项或者奇次项，则R=根号1/p

幂级数性质

有理运算性质

逐项加减时，若R1≠R2，R为两者最小

若R1=R2，R可能比两者都大

没有看懂乘法

是根据x的幂来的

但感觉乘法很少用

求半径这个很重要

分析性质

求导和积分后，幂级数与原幂级数收敛半径相同，但收敛域不一定，需要单独判定端点

注意是任意阶可导，任意阶可积

注意连续，可导和可积的范围

只有可导是在收敛区间上可导的

很重要

利用收敛域内连续的性质，在求和函数时，当所利用公式的求取S(x)的和函数存在无意义的点时，用收敛域连续的性质来单独求，从而得到S(x)的分段函数

函数的幂级数展开

背景

一个复杂的函数能否用幂级数表示？

从而复杂函数的导数和积分，就变成了幂级数的导数和积分

并且由幂级数的性质可知，若f(x)可在区间上展开为幂级数，那么f(x)就可在区间上任意阶可导

接下来有两个问题

展开式唯一吗

展开式是什么

定义

看不懂

解释能展开

泰勒级数

这个怎么用？

定理1：展开式唯一

也就是说，如果f(x)能展开为幂级数，那么这个幂级数的系数，就由x0这一点的各阶导数唯一确定

即展开只能是它，那能不能展开

很关键的性质

一个忽略的弱点

所以与高阶导数联系在一起？

定理2：能否展开

即能否展开的问题，就归纳为它的泰勒级数能否收敛于f(x)

而泰勒级数为无穷多项和

是否收敛于f(x)，关键看泰勒级数的前n项和是否以f(x)为极限

即Rn(x)趋于0

看不懂

常用展开式

要知道从右到左怎么推

必须知道范围，求取S(x)的时候有用

注意ln(1+x)

分母为n，且不是阶层，考虑ln

只有它和arctanx的分母没有阶层

注意(1+x)的α次方

分母是有阶层的

求导和积分后，幂级数与原幂级数收敛半径相同，但收敛域不一定，需要单独判定端点

注意是任意阶可导，任意阶可积

注意连续，可导和可积的范围

只有可导是在收敛区间上可导的

很重要

利用收敛域内连续的性质，在求和函数时，当所利用公式的求取S(x)的和函数存在无意义的点时，用收敛域连续的性质来单独求，从而得到S(x)的分段函数

补充

牢记，可以加快做题速度

arctanx的范围是[-1,1]

arctanx与sinx类似，只是分母没有阶层

展开为幂级数的方法

直接展开法

没用过

了解一下

间接展开法

一个极重要细节的解释



即求导后，n要往后加一位

但如果第一项不是常数，则可能可以不用加n



同样的，如果是积分，那么就要往前减，因为积分会多出任意常数





但也要注意，并非求导之后就n就一定变，要根据具体情况来看

因为此处y'没有常数，所以求导后n不变

级数的变态在于，y''与y是可以相等的，因为从第一项开始往后是可以等的，而因为n趋向于无穷，所以可以视作两者一样

常考题型

求收敛区间及收敛域

两个方法

需要注意缺项型



求收敛域步骤

先求收敛半径，得到区间

用俩公式

若俩公式求极限都不存在

通常是因为奇偶次项规律不一样

此时常分为奇，偶级数，取半径小的一个

再求俩端点

可能变化点为

只有偶，或只有奇次项

此时半径加个根号

做题简便方法

即可以求导或者积分后，转化为已知的幂级数，由该幂级数得到收敛区间，再把区间端点代入到原幂级数中看其收敛域

忽略的一个思想

阿贝尔定理使用方法

收敛域指的是x的范围？

是的

常见半径为1的

张宇补充

非常非常重要的求收敛域的方法，适用于所有类型（正项、任意项、缺项等等）



注意的是，此处并不是通项，而是对整个u(x)加绝对值比较



对于抽象型问题

常用阿贝尔定理



结论1



结论2





很重要，加快做题速度

典例



注意这个逻辑

对于缺项幂级数而言，不可直接用收敛半径的公式

常用方法

方法一是把其看作一个整体

原理是什么？

但为什么要加绝对值呢？

前面所说的那个张宇的方法

什么事缺项幂级数

就是少一个项

方法

变量代换，把x2转化为t，从而避免了缺少奇次项的可能

我可以理解为就是R多除以一个根号，当然如果是3次方可能除以根号三

没看懂方法一

大概就是把这个整体看成一个？

似乎是张宇说的一个方法

关于原级数和新级数变换后的收敛域结论



原级数在收敛域某端点收敛

积分后的新级数，也在该端点收敛

但求导后的，不一定

原级数在收敛域某端点发散

求导后的新级数，也发散

但积分后的，不一定

即，积分不会使端点变差，求导不会使端点变好



将函数展开为幂级数

注意

展开为幂级数，必须求收敛域

展开类型的题，必然不会轻易让你直接展开，会涉及各种，拆项，换元，求导，对数变形，等等，必然会有变形，不变形展不开

常见方法

若分母为二次三项式，通常要拆开

利用幂级数性质，可以求导后再积分，来求出幂级数

注意积分是利用变上限积分

而f(0)不一定为0，需要结合具体例题

f(0)的求法



或者积分后再求导

不可以直接将-x-2x²代入ln(1+x)的公式中

因为幂级数必须按照升幂给排列好

升幂

或者说，此题要求以x为展开项

展开一定是往既有的公式上去凑

若要求将函数在指定点展开为幂级数

如在x=4/π处展开

即展开为x-4/π的幂级数

同样要算出收敛域

有时收敛域由最后的公式难以计算，此时可以看计算过程中，找出半径最小的一个式子作为收敛半径

找个例子

用幂级数展开，求分段函数在分界点上的高阶导数

例如

此题特殊在于，f(x)展开为幂级数后，幂级数只有偶次项

所以要分奇，偶项，分别求其高阶导数

而奇次项均为0

因为f(0)=1，并且s(0)=1，即f(x)=sinx/x，区间为(-∞，+∞)

s(0)是什么

就是那个幂级数，把x=0代入，这里是利用了幂级数在收敛域内连续的性质

这是分段函数，你怎么知道在0点分段函数导数存在？

因为f(x)可以在所有区间内与幂级数划等号（换句话说就是f(x)是幂级数的和函数），而由幂级数性质，幂级数再收敛区间内(此题中为负无穷到正无穷)任意阶可导，所以f(x)在0点的所有阶导数存在

很模糊，没看懂

高阶倒数还是存在问题

关于展开的细节问题（未补充完）



无穷级数的合并

无穷级数能否合并，关键看下角标，以及次方是否一样



而此处，sinx和cosx展开一个只有奇次方，一个只有偶次方，没办法合并

不能合并的情况下，把这俩个分别打开，然后写两个"......"，一定要写，不写扣分。这种写法也是展开式

级数求和

对比

展开

从公式的左边往右看

求和

从公式的右边往左看

求和后的式子必须写收敛域，否则填空题0分

对幂级数和函数的解法

求导消分母，观察，分解，解方程

张宇补充

求和问题可分为三类

直接套公式

用先积后导或先导后积，求和函数





用所给微分方程求和函数



建立微分方程，求和函数



综合题

与导数（斜率），积分（面积），方程或数列极限等问题结合，也可以命制综合性大题

难度在于幂级数比较相似，难以看出原公式

步骤

第一步永远求收敛域

第二步：用已有公式，逐项求导，逐项求积分来求出和函数

注意点

要注意求和时，有无缺项或多项

通常是求幂级数的首项，来对比公式，看哪里有缺项，哪里多项

所以公式必须熟记

例如

要注意求和过程中，是否在某些点无意义，对于无意义的点要单独求出

计算混淆

没看懂，为什么没有计算n=3?

因为n>2之后，每一项都有x，而x=0，所以不用再算后面

方法:转化为接近的公式

思路

通常先看与哪个公式比较接近

然后利用性质（求导，积分），以想方法接近这个公式

例子

原式为只有奇次项的式子，通过ex的变形相加减得到只有奇次项

这啥啊，我靠

没看懂

应该是展开后，就可以消去偶次项

注意到原式只有偶次项，找个相近的然后相加减

方法二:利用求导和常微分，建立导数与函数的关系

我靠

常数项级数的和

思路

找一个相应的幂级数，求出和函数

而常数项级数的和，就等于幂级数代了一个具体的值





注意

因为x的次方相同，并且都是从n=1开始，所以两个级数的每一项才可以通分

一种题型

若幂级数只有偶或奇次项

通常求导或积分后，得到只有奇或偶的项，然后奇偶相加得到和函数

甚至涉及常微分

一个忽略的点

利用已有公式

注意到原式只有偶次项，找个相近的然后相加减

和的极限有三种方法

夹逼

定积分定义

级数求和

总结

就是利用已有公式和幂级数的性质，到底用导数还是积分，根据题目特点，把要求的幂级数通过求导求积分化成已知和函数的形式

常见例题



注意题中的简化方法







注意

此题中收敛域求出来是[-1,1]，而SX用公式求的时候，用了-ln(1-x)，因此其范围不包含x=1，同时由因为x为分母，所以范围也不包含x=0。

对于x=1，可以由收敛域内连续，或者把x=1代入原幂级数来求得S(1)

对于x=0，同样如此













偶次项均为0

一种题型

求y(x)的表达式，从系数an入手

代表了一种题型





求收敛半径的一般方法是适用于系数知道

而此题系数不知道

没看懂，再听

一种题型



注意蓝色圈中的写法

一种题型