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数与代数概念
小学数学知识点梳理，数与代数概念的结构思维导图。从数的认识、数的运算、常见的量、式与方程、比和比列、探索规律几个方面作了非常详细的概括和阐述，供大家学习参考。
编辑于2021-07-18 08:02:19- 数与代数
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数与代数
数的认识
多位数的改写与省略
改写
如果改写的是整万或整亿的数，就把原数末尾划去4个0或8个0，同时加“万”或“亿”字。如果改写的多位数不是整万或整亿的数，就在万位或亿位的右下角点上小数点，去掉小数未尾的0，再在小数的后面加上“万”或“亿”字。如281700=28.17万
省略
先用四舍五入法省略万位或亿位后面的尾数，再在这个数的后面加写“万”或“亿”字。因为得出的是近似数，所以要用“≈”连接。如281700≈28万。
整数
正整数 (例+1+40+105)
负整数 （例-4-7-158）
0
自然数
(自然数） 重点: 整数的个数是无限的，没有最小的整数，也没有最大的整数
小数
意义
把单位“1”平均分成10份、100份、1000份…表示这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几…可以用小数表示。 一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…小数是分母为10，100，1000…的分数。
读法和写法
小数的读法：小数的整数部分按整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分依次读出每个数位上的数字。小数点后面的0，有一个0读出一个“零”。 小数的写法：小数的整数部分按整数的写法写，整数部分是0的要写“0”、在个位的右下角点上小数点、然后依次写出小数部分每一个数位上的数字。
基本性质
小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变
数位和计数单位
同整数一样，小数的计数单位也是按照一定的顺序排列起来的，它们所占的位置叫做小数的数位。 小数的小数部分按从左往右的顺序，计数单位依次是十分之一(0.1)、百分之一（0.01)、千分之一(0.001)、万分之一(0.0001)…小数的小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。小数的每相邻两个计数单位间的进率都是十。小数部分最高位十分位上的计数单位是十分之一，它与整数部分最低位个位上的计数单位一(或个)之间的进率也是十。
大小比较
先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，从小数的高位比起，高位上数大的那个数就大
小数点位置移动引起的小数大小的变化
小数点向右移动一位，两位，三位…原来的数就扩大到它的10倍，100倍，1000倍…反之，小数点向左移动一位，两位，三位…原来的数就缩小到它的 1 1 1 —— —— —— … 10 ，100 ，1000 ，
小数的分类
根据整数部分分为
纯小数 （整数部分是零的小数，叫做纯小数，纯小数都小于一）
带小数 （整数部分不是零的小数，叫做带小数，带小数都大于一）
根据小数的位数分为
有限小数 （小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数）
无限小数 （小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数）
无限循环小数 （一个无限小数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数）
纯循环小数 （在循环小数中，如果循环节是从小数部分的第一位开始的，叫做纯循环小数）
混循环小数 （循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数）
无限不循环小数 （一个无限小数的小数部分的位数是无限的，且数字的出现是没有规律的，这样的小数叫做无限不循环小数。如：π）
循环节
循环节在循环小数中，依次不断地重复出现的一个或几个数字，叫做这个循环小数的循环节。为了简便起见，在写循环小数时，通常只写出它的不循环部分和第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位的数字上面各加一个小圆点，这样的小圆点叫循环点
循环小数的表示方法
(1)用省略号表示：用省略号表示循环小数时，应该至少写出两个循坏节，然后循环小数表示法循环小数的在后面加上省略号。如：4.7878…。
(2）用循环点表示：用循环点表示循环小数时，只写出循环小数中的不循环部分和第一个循环节，并在循环节的首位和末位上面记上循环点。如果循环节只有一个数字，就只在这个数字上面记上循环 点 . . . 例：1.25454…→1.254 44.55…→44.5
循环小数的表示方法有如左两种
重点
循环小数虽然可以写成不同的形式，但是除特殊需要外，一般都写成最简形式
分数、百分数
分数
认识
一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这了的一份或几份都可以用分数来表示。一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1” 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。 在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示有多少份的数，叫做分数的分子；分子和分母中间的横线，叫做分数线。 书写分数时，先写出分数线，再写分母，最后写分子。读分数时，先读分母，再 读分子。 当整数除法得不到整数商时，可以用分数表示。在分数中，分子相当于除法算式中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。用字母表示：a÷b=号（b≠0)
分类
根据分数的值与1的大小关系，将分数分为真分数和假分数（或带分数）
真分数
分子比分母小的分数叫做真分数。真分数比1小
假分数
分子比分母大或分子与分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1
带分数
分子不是分母倍数的假分数，有时写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数
基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（零除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质
重点：运用分数的基本性质可以将分数约分和通分
把假分数化成整数或带分数
有时根据需要，要把假分数化成整数或带分数
一般方法是
①分子是分母倍数的，化成整数，商就是这个整数
②分子不是分母倍数的化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变
用假分数的分子除以分母的方法
约分和通分
约分
把一个分数化成和原分数相等，但分子与分母都比较小的分数的过程叫做约分；约分通常约到最简分数（分子分母只有公因数1的分数）为止
通分
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数的过程叫做通分，通分常用异分母分数分母的最小公倍数作公分母
最简分数
分子和分母只有公因数1的分数叫最简分数
大小比较
（1)分母相同的分数，分子大的分数较大。 （2）分子相同的分数，分母小的分数较大。 （3）分母、分子都不同的分数，先通分再按同分母分数的方法进行比教。 （4)真分数一定小于假分数。 （5)用特殊的方法比较分数的大小： ①取原分数的倒数，倒数小的那个分数较大 ②如果两个分数都是真分数，用1分别去减这两个分数，差小的那个分数较大 ③可将分数与@比较，如果一个分数大于@，一个分数小于@，则前一个分数 较大。 @：1 1 1 — — — 2 2 2
倒数
乘积是1的两个数互为倒数，求一个数（0除外）的倒数，只需把这个数的分子、分母调换位置，1的倒数是它本身，零没有倒数
百分数
认识
表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，百分数也叫百分率或者百分比 百分数是分数的一种特殊情况，分数可以表示一个数，是另一个数的几分之几，也可以表示一个具体的数量，而百分数一般只表示两个数的倍数关系，所以百分数后面不再计算单位名称。百分数通常不写成分数形式，而只用符号％来示，％叫做百分号 百分数的单位是1%，人们又把1%叫做百分点
分数、小数、百分数的互化及大小比较
①小数化分数：先写成分母是10.100.1000…这样的分数，再约成最简分数
②分数化小数，用分于除以分母（有时会按题目要求写成几位小数的形式）。分母只含有2和5的质因数，能化成有限小数；分母中除2和5的质因数外，还有其他质因数，不能化成有限小数，化成的是循环小数
③小数化百分数：小数点向右移动两位，是纯小数的，去掉小数点前面的0，再添上百分号
④百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉百分号
⑤分数化百分数：先把分数化成小数，再按小数化百分数的方法化成百分数
⑥百分数化分数：先写成分母是100的分数，再约成最简分数
分数、小数、百分数的互化及大小比较的方法
成数、折扣、利率
成数
成数是工农业生产中的用语。“几成”就是十分之几，也可以用百分数表示，就是百分之几十
折扣
折扣是工厂和商店减价出售商品时的用语。“几折”表示十分之几，也计是百分之几十
利率
按存款（或贷款）的种类支付的利息与本金的比叫做利率。利率有按年计算的，也有按月计算的
本金
单位或个人存入银行的钱叫做本金
利息
银行向存款的单位或个人根据存款的种类、期限、金额支付一定的报酬，叫做利息
正数与负数
重点:在数轴上，所有的负数都在零的左边了，也就是负数都比零小；而正数都在零的右边，也就是正数都比零大；负数比正数小。
0 既不是正数，也不是负数
例:3、2、+0.5
数字
阿拉伯数字:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
中国小写数字〇、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万
中国大写数字零、壹、贰、叁、肆、伍、陆 、柒、捌、玖、拾
罗马数字：I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、V、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、lX、X ( 阿拉伯数字是目前世界上普遍使用的数字)
整数的计数单位与数位
（十进制）
重点：表中的“个级”“万级”“亿级”是为了便于整数的读写。采用四位分级制从个位起向左数，每四个数位作为一级
多位数的读写
多位数的位数
只占有一个数位的数，叫做一位数；占有两个或两个以上数位的数统称为多位数。如：3678占有四个数位，它是一个四位数
多位数的读法
多位数的读法四位以内的数，可以顺着位次，从最高位读起。四位以上的数，先分级，再顺次从最高位读起，读出各级里的数后再读级名。每一级末尾的“0”也不读出，其他数位上，无论连续多少个“0”都只读一个“零”。 760 0050 2200 ------------------- 例如，亿级 万级 个级读作七百六十亿零五十万二千二百。
多位数的写法
我国多位数的写数法则是，从高位到低位，一级一级往下写。几千就在千位上写几；几百就在百位上写几；几十就在十位上写几；几个就在个位上写几。哪个数位上一个单位也没有，就在哪个数位上写“0” 例如，四千五百万零三百六十这个数只有万级和个级，先写万级再写个级，写作4500（万级）0360（个级）
整数的大小比较
比较正整数的大小时，位数多的那个数就大，如果位数相同，就从最高位比起， 比到哪位，那位上的数字大的那个数就大。通过数轴能更直观地比较出负整数的大小。数轴上以0为分界点，0左侧的数都是负数，0右侧的数都是正数。所有的负数都在0的左边，也就是说负数都比0小，而正数都比0大，因此负数都比正数小。在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序
重点：负号后面的数越大，这个数反而越小
准确数和近似数
（1）准确数和近似数：在人类的实践活动中，常遇到各种各样的数据。有的数据是与实际完全符合的，叫做准确数。例如：某班有45名学生，这里的45就是准确数。还有些数据只是与实际大体符合，或者说接近实际的数，这样的数叫做近似数。对大的数目进行统计时，一般取近似数。例如：某城市有1200万人并不是指正好的1200万人，显然，1200万就是近似数。
求近似数的方法
①四舍五人法：求近似数时，“四舍五入”法是最常用的方法。用“四舍五入”法得到的近似数，“四舍”时比准确数小(叫不足近似值），“五入”时比准确数大(叫过剩近似值)
②进一法：在截取近似数时，不管多余部分上的数是多少，都向前一位进一。这种方法叫做进一法，用进一法法得到的近似数总是比准确值大
③去尾法：在截取近似数时，不管多余部分上的数是多少，一概去掉，这种方法种方法叫做去尾法。用“去尾法”得到的近似数总是比准确值小
整除、除尽、因数、倍数
整除
整除整数a除以整数b(b≠0)，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。在学习“数的整除”时，所说的数一般不包括0。
除尽
甲数除以乙数（乙数不为0）余数为0时，叫做甲数能被乙数除尽
因数和倍数
如果数a能被数b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
重点
温馨提示：“整除”和“除尽”是两个既有联系、又有区别的概念。“整除”是指在自然数范围内两个数相除，除得的商是整数且没有余数；“除尽”是指在整数、小数范围内两个数相除，余数是零0的所有情况。可以说整除是除尽的特殊情况。
2、3、5的倍数特征
2的倍数特征
个位上是0、2、4、6、8的数、都能被2整除，能被2整除的数叫做属数，不能被2整除的数叫做奇数
3的倍数特征
如果一个数各个数位上的数的和能被3整除，则这个数就能被3整除
5的倍数特征
个位上是0或着是5的数，都能被5整除。个位上是0的数既能被2整除，又能被5整除
重点
同时是2、3、5的倍数的最小数是30
质数（素数）、合数、分解质因数
质数
一个自然数，如果除了1和它本身外没有别的因数，这样的数叫做 质数(也叫素数）
合数
一个自然数，如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫做合数。最小的质数是2，最小的合数是4，没有最大的质数，也没有最大的合数。1既不是质数，也不是合数。
按因数的个数可以将非零自然数分为三类：
1……只有1个因数 质数……只有2个因数 合数……有3个(或3个以上）因数
非零自然数
质因数
每个合数都可以写成几个质数（素数）相乘的形式，这几个质数（素数）叫做这个合数的质因数（素因数）。例如：10=2×5,2和5都是10的质因数
分解质因数
把一个合数用质因数(素因数)连乘的形式表示出来，叫做分数）叫做分解质因数（分解素因数）。
①“树枝”图式分解法 ②短除法式分解法
分解质因数的两种方法
重点
在进行分解质因数时，最后的书写格式要特别注意，一定要把所要分解的合数写在等号的左边（例24=2×2×2×3，105=3×5×7等)，而不能写在等号的右边(例如:2×2×2×3=24，这样就与乘法算式相混淆，而不是分解质因数了）
公倍数、最小公倍数、公因数、最大公因数
公倍数、最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 公因数、最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 求两个数的最大公因数和最小公倍数一般用短除法，即用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的最大公因数；把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数。 如果两个数中大数是小数的倍数，则大数就是这两个数的最小公倍数，小数就个数的最小公倍数。 是这两个数的最大公因数；如果两个数的公因数只有1(也称这两个数为互质数），那么这两个数的乘积就是这两个数的最小公倍数，1就是这两个数的最大公因数。
互质数
如果两个自然数的公因数只有1，那么这两个自然数叫做互助数互质数。两个质数一定是互质数，但互质的两个数不一定是质数，例如：9和10是互质数，但9和10都是合数。
重点
①如果两个数是不同的质数，则这两个数互质。例如：5和7。 ②1和任意不为0的自然数互质。如：1和10。 ③相邻的两个自然数互质。如：20和21。 ④两个自然数，如果较大的数是质数，则这两个数互质。 ⑤小数是质数，当大的数不是小的数的倍数时，这两个数互质。
判定互质数的方法
数的运算
四则运算
意义
加法
互为逆运算
减法
简便运算 乘法
互为逆运算
简便运算 除法
法则
加 、减法的法则
乘、除法的法则
部分之间的关系
混合运算
运算顺序
简便运算
运算律、性质
加法交换律、结合律
乘法交换律、结合律、分配律
减法除法的运算性质
和、差、积、商的变化规律
简便运算
运算定律
和、差、积、商的变化规律
常见的量
计量单位
长度单位：千米、米、分米、厘米、毫米
面积单位：平方千米、平方米、公顷、平方分米、平方厘米、平方毫米
体（容）积单位：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）
质量单位：吨、千克、克
时间单位：世纪、年、月、日、时、分、秒
名数的改写
单名数与单名数的改写
复名数与单名数的改写
式与方程
用字母表示数
表示数量关系
路程、速度、时间三者的关系可以用字母来表示：（用s表示路程，v表示速度，t表示时间）
路程＝速度×时间，用字母可表示为s=vt
速度=路程÷时间，用字母可表示为v=s÷t
时间=路程÷速度，用字母可表示为t=s÷v
总价、单价、数量三者的关系可以用字母来表示：(用c表示总价，a表示单价，b表示数量）
总价=单价×数量，用字母可表示为c=ab；
单价=总价÷数量，用字母可表示为a=c÷b；
数量=总价÷单价，用字母可表示为b=c÷a
工作总量、工作效率、工作时间三者的关系可以用字母表示：(用c表示工作总量，a表示工作效率，b表示工作时间）
总量=效率×时间，用字母可表示为c=ab；
效率=总量÷时间，用字母可表示为a=c÷b；
时间=总量÷效率，用字母可表示为b=c÷a
表示运算定律、性质
加法交换律：a+b=b十a
加法结合律：(a十b)+c=a十(b十c)
乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：(a十b)×c＝ac十bc
减法的性质：a一(b+c)=a一b一c
表示计算公式
备注
圆柱
h—高
C—底面周长
S侧—侧面积
S表—表面积
V—体积
表示数的意义
用字母表示数，可以简明的表达运算定律，公式，法则，数量关系等，给解决问题带来不少方便。用字母表示数是把数的概念进一步抽象和概括，这是代数学最基本的一个特点。 在同一个式子里，同一个字母只能表示同一个数量，不同的数量可以用不同的数字表示。 在含有字母的式子里，数字和字母中间的乘号可以记做“•”，也可以省略不写，但是在省略乘号的时候，应当把数字写在字母前面，如a×16 可以写成a •16 或16a 。 几个相同的字母相乘可以写成这种形式，如a×a×a 记作a3 ，读作a 的立方或a 的三次方；几个不同的字母相乘也可以省略，乘号或将成号写成“•”，如：a 乘b 可以写成ab ，读做ab ，也可以写成a •b , 读作：a×b 。 2a 和a2 是有区别的。2a 表示两个a 相加, 即2a=a+a ; a2 表示两个a 相乘，即：a2=a×a 。
重点：1与字母相乘时，1省略不写，如：a×1写成a
式子
等式
表示相等关系的式子叫做等式，如4+7=11，2.4+3=5.4等都是等式
性质
等式的两边加上或减去同一个数，所得到的式子仍然成立，如：若x＋4=7，则x＋4-4=7-4。
等式的两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得到的式子仍然成立。如：若3x=12，则3x÷3=12÷3。
等式的两边互换位置后所得所得到的式子仍然成立，如若15=3x，则3x=15。
不等式
不相等关系的式子叫做不等式，如：3+b＞6，5+4＜10
简易方程
方程
含有未知数的等式叫做方程，如2+5x=21。 方程必须同时具备两个条件，一是含有未知数，二是等式。如x大于4，12+5=17都不是方程。 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 求方程中未知数的值的过程叫做解方程。解方程的依据是等式的性质。
重点 ：方程的解和解方程是两个不同的概念；方程的解是使方程左右两边的值相等的未知数的值，它是一个数值；而解方程是求方程的解的过程，是一个通过计算求得的数值过程
方程的解
小学数学中的方程，形式一般都比较简单。一般只含有一个未知数，未知数的次数也是一次。如：x±a=b,ax=b,ax±b=c，x÷a=b等。这些形式比较简单的方程，由于是在非负数范围内研究的，一般可以根据四则运算中各部分间的关系求得未知数的值，因此，通常称为简易方程。 在小学阶段，可以根据等式的性质解简易方程，也可以根据算术四则运算中加法与减法、乘法与除法各部分之间的关系解简易方程。
解方程
检验
在求出方程的解后，要进行验算，以保证运算的正确性，这就是检验。 检验的方法是：①把方程的解代入原方程的左边式子，求出左边式子的值。②用求出的左边式子的值与原方程中右边已知的值比较。两边相等，说明方程的解是正确的；如果不相等，说明解方程的过程出错，即求出的未知数的值不是原方程的解，需要重新解方程。 如：方程5x一6=29的解x=7。检验：把x=7代入原方程，左边=5×7一6=29，右边=29，因为左边=右边，所以x=7是原方程的解。
用列方程的方法解决问题
方法
（1）直接设未知数法。通常在列方程解应用题时，将所求的数设为未知数. 设未知数的方法称为“直接设未知数法”。 （2）在列方程解应用题时，为了使所列的方程计算起来更为简便，常常不直把题中要求的数设为未知数，而设另一个与它有关的量为未知数，这种设未知数方法就叫做“间接设未知数法”。
步骤
（1）弄清题意，设未知数x。(如果题中有两个以上的未知数，设其中一个为x) （2）根据题中的数量关系式列出方程。 (3）解方程。 （4）检验、写答语。
比和比例
比的认识
比的意义
比、除法、分数的关系
比的基本性质
求比值 化简比
比例的认识
比例的意义
正比例
反比例
比例的基本性质——组比例、解比例
比例尺的意义、应用
意义
1.图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。在绘制地图或描绘较大 （或较小）物体的图形时，往往需要把实际距离缩小(或放大)一定的倍数后，描绘在 图纸上，这就要用到比例尺。比例尺=图上距离：实际距离
2.比例尺有数值比例尺和线段比例尺。
3.放大比例尺：在生产中，有时由于机器零件比较小，需要把实际距离扩大一 定的倍数以后，再画在图纸上。
4.为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是1的比。
应用
我们可以根据比例尺的关系式，应用方程求出图上距离和实际距离。需要注 意的是：因为图上距离和实际距离所使用的单位不同，所以未知数可以先设 成与已知数相同的单位，算出得数后再转换单位。 这里的比例尺可以看作是一个常数，也就是说图上距离和实际距离成正比例关系， 所以有关比例尺的问题也可以用正比例来解 应用比例尺画图是综合运用比例尺的有关知识解决实际问题，需要用到前面 的两个内容：一、确定平面图的比例尺；二、根据比例尺求图上距离。
探索规律
给定事物中的规律
排列规律（周期性问题）
计数规律（图形的计算）
间隔规律（植树问题）
搭配规律（搭配问题）
覆盖规律（圆形覆盖问题）