一元二次方程学习总结

只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为：ax²+bx+c=0（a≠0）。人教版初中数学七年级上册一元二次方程知识点包含一元二次方程、解一元二次方程、实际问题与一元二次方程。

第二十一章 一元二次方程

• 21.1 一元二次方程
  • 定义
    • 通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫作一元二次方程
    • • 整式方程
      • 含有一个未知数
      • 未知数的最高次数是2
      • 缺一不可
  • 一般形式
    • ax²+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0）
      • 二次项系数
        • a
      • 一次项系数
        • b
      • 常数项
        • c
    • • 有当a≠0时，方程ax²+bx+c=0才是一元二次方程
      • 在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号
  • 一元二次方程的根
    • 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
    • 利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程
• 21.2 解一元二次方程
  • 解法
    • 解方程思路
      • 降次：把一元二次方程→一元一次方程
    • 直接开平方法
      • 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法
      • 形如（x+h）²=k的一元二次方程→x=±√k-h
      • • 应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式
    • 配方法
      • 定义
        • 把一个一元二次方程变形为（x+h）²=k的形式，当k≥0时，直接开平方。这种解一元二次方程的方法叫做配方法
      • 理论依据
        • a²±2ab+b²=（a±b）²
      • 步骤
        • ①移项
          • 使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项
        • ②化二次项系数为1
        • ③配方
          • 方程两边都加上一次项系数一半的平分，原方程变为（x+m）²=p的形式
        • ④直接开平方
          • 如果右边是非负数，直接开平方
      • 配方法的应用
        • 用于比较大小
          • 通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小
        • 用于求待定字母的值
          • 将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值
        • 用于求最值
          • “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值
        • 用于证明
    • 公式法
      • 一元二次方程的求根公式
        • 一般地，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0），当∆=b²-4ac≥0时，它的实数根是
      • 步骤
        • ①将一元二次方程整理成一般形式
        • ②确定公式中a，b，c的值
        • ③求出b²-4ac的值
        • ④求解
          • 当b²-4ac≥0时，将a，b，c的值代入求根公式即可
          • 当b²-4ac＜0时，方程无实数根
    • 根的判别式
      • 定义
        • 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的情况可由∆=b²-4ac来判定，因此∆=b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式
      • 判别
        • 当∆=b²-4ac＞0时，有两个不相等的实数根
        • 当∆=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根
        • 当∆=b²-4ac＜0时，没有实数根
    • 因式分解法
      • 定义
        • 如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么解这样的一元二次方程就可以转化为解两个一元一次方程，这种方法叫做因式分解法
        • 设A，B都是整式，若A*B=0，则A=0或B=0
      • 步骤
        • ①移项
          • 将方程的右边化为0
        • ②化积
          • 将方程的左边分解为两个一次式的乘积
        • ③转化
          • 令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程
        • ④求解
          • 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
      • 常用方法
        • 提取公因式法
        • 公式法
          • 平方差公式
          • 完全平方公式
        • 十字相乘法
  • 根与系数的关系
    • 当b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且满足
    • 使用条件
      • a≠0，∆≥0
    • • 相关公式及变形
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      • 根的正负性
        • 当△≥0且时，两根同号
          • 当△≥0且， 时，两根同为正数
          • 当△≥0且， 时，两根同为负数
        • 当△＞0且时，两根异号
          • 当△＞0且， 时，两根异号且正根的绝对值较大
          • 当△＞0且， 时，两根异号且负根的绝对值较大
• 21.3 实际问题与一元二次方程
  • 步骤
    • 审
      • 审题目，分清已知量、未知量、等量关系等
    • 设
      • 设未知数，有时会用未知数表示相关的量
    • 列
      • 根据题目中的等量关系，列出方程
    • 解
      • 解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰
    • 验
      • 检验方程的解能否保证实际问题有意义
    • 答
      • 写出答案，切忌答非所问
  • 列方程解实际问题的三个重要环节
    • ①整体的、系统的审题
    • ②把握问题中的等量关系
    • ③正确求解方程并检验解的合理性
  • 常见类型
    • 增长率问题
    • 利息问题
    • 数字问题
    • 利润问题
    • 动点问题