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微积分知识导图
微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，是数学的一个基础学科。本图梳理的内容有函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程和差分方程。
编辑于2021-07-20 17:09:59- 微积分
- 无穷级数
- 一元函数
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- 大纲
微积分
函数、极限、连续
函数
函数概念
区间
邻域
性质
有界性
单调性
判别方法
极值
概念
求法
f'(x)=0,x是驻点；驻点不一定是极值，极值不一定是驻点
第一充分条件
第二充分条件
f'(x)=0,f''(x)≠0
第三充分条件
应用
凹凸性
概念
判断
反之，不然。
拐点
概念
判断
渐近线
周期性
基本周期：最小正常数周期
奇偶性
特殊函数
复合函数
分段函数
反函数
隐函数
基本初等函数
性质
图像
极限
极限概念
数列（x>0）极限
极限存在，收敛
极限唯一
有界
极限不存在，发散
函数极限（左极限、右极限）
水平渐近线:y=A
极限存在→左右极限均存在，且相等
性质
极限存在的2个准则
单调有界
夹逼
极限的四则运算法则
两个重要极限求极限
无穷小量
概念
f(x)是x→Xo时的无穷小量
性质
有限个无穷小量的代数和是无穷小量
有界函数与无穷小量的积是无穷小量
比较方法
比较趋于0的速度
limf(x)/g(x)=0,f(x)高阶
limf(x)/g(x)=∞,f(x)低阶
limf(x)/g(x)=k
k≠1，f(x)g(x)同阶
k=1，f(x)~g(x)等价
与无穷大量的关系
f(x)是x→Xo时的无穷大量
指极限不存在
铅直渐近线
洛必达法则求极限
连续
概念
连续
有定义
极限存在
极限值=函数值
连续：左极限=右极限=函数值
左连续、右连续
在区间上连续
没有间断的曲线
间断
第一种间断点
左右极限存在
跳跃间断、可去间断
第二种间断点
无穷间断、振荡间断
性质
四则运算后连续
有限次复合后连续
严格单调函数的反函数连续且严格单调
初等函数定义域内连续
闭区间连续函数的性质
必有界
最值定理
闭区间[a,b]内的连续函数必有最值
介值定理
闭区间[a,b]内的连续函数，f(a)=A,f(b)=B,A<h<B,至少有一个c∈(a,b),使f(c)=h
一元函数微分学
导数
概念
可导↔左导数=右导数
可导性与连续性的关系
可导→连续
现实意义
几何意义
表示曲线y=f(x)在点Xo处的斜率k=tanα=f'(x)
经济意义
边际
弹性
求平面曲线
切线方程
法线方程
基本初等函数的导数公式
导数四则运算法则
若u(x)、v(x)在点x处的导数存在，则他们的和差积商也都存在。反之，不然。
特殊函数求导
复合函数
分段函数
反函数
反函数的导数=1/f'(x)
隐函数
参数方程求导
幂指函数
高阶导数的概念
求简单的高阶导数
微分
概念
与导数的关系
一阶微分形式的不变性
求函数微分
复合函数微分
四大中值定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒定理
一元函数积分学
原函数
不定积分
概念
基本积分公式
性质
积分法
换元积分法
第一类
第二类
分部积分法
定积分
概念
性质
积分中值定理
积分上限函数
概念
性质
牛顿-莱布尼茨公式
积分法
换元积分法
注意事项
对称性
分部积分法
反常积分
概念
实际运用
平面图形面积
极坐标
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已知边际函数求总函数
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连续复利公式
=
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总将来值公式
多元函数微积分学
概念
二元函数
几何意义
极限
连续
有界闭区域上的性质
偏导数
概念
一阶
二阶
求全微分
求复核函数偏导数
链式法则
子主题
求隐函数的偏导数
极值
概念
存在的必要条件
求二元函数的极值
条件极值
拉格朗日乘数法
简单多元函数的最值
解决简单的应用问题
二重积分
概念
二重积分的计算
直角坐标
极坐标
简便计算
无界区域上简单的反常二重积分计算
无穷级数
概念
性质
敛散性
收敛的必要条件
收敛级数的和
常见级数判别
几何级数
P级数
正项级数
比较判别法
比值判别法
绝对/条件收敛
交错级数莱布尼茨判别法
幂级数
收敛半径
收敛区间、收敛域
收敛区间规定为开区间
和函数
定义域内连续性
逐项求导、积分
求法
麦克劳林展开式
常微分方程和差分方程
常微分方程
概念
阶
阶数=独立任意常数的数量
解
通解
特解
初始条件
解法
一阶线性微分方程
变量可分离
齐次
二阶微分方程
常系数齐次
非齐次
多项式
指数函数
Pm（x）表示m次多项式
三角函数
差分方程
概念
通解
特解
一阶常系数差分方程求解
齐次
非齐次
经济应用问题