几何知识导图

几何是研究空间结构及性质的一门学科，它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位并且关系极为密切。本图梳理了现在图形学基础几何的知识点有隐式表示、显示表示、曲线的知识内容。

几何

• 隐式表示
  • 通过表达式f(x,y,z)=0表示这个表面上的所有点
  • 缺点：Sampling Can Be Hard
  • 优点：Inside/Outside Tests Easy
  • Algebraic Surfaces 代数表面
  • Constructive Solid Geometry
    • Combine implicit geometry via Boolean operations
  • 距离函数Distance Functions
  • 水平集 Level Set Methods
  • Fractals
• 显式表示
  • 定义：直接给出所有点,或者通过参数映射
    • 参数映射
  • 优点:Sampling Is Easy
  • 缺点: Inside/Outside Test Hard
  • 点云
    • 用点的列表表示几何图形
    • 容易表示各种几何
    • 需要使用极大的数据集合
    • 通常转换成polygon mesh
  • 多边形面Polygon Mesh
    • 存储多边形的点和面信息
    • 以三角形面单位
    • The Wavefront Object File
      • 例子
      • 记录顶点,法线和纹理坐标
      • 文件后缀是.obj
      • v开头的是顶点
      • vt开头的是纹理坐标
      • vn开头的是法线
      • f开头的是三角形的三个点,每个点由 "顶点的index/纹理坐标的index/法线坐标的index"组成
• 曲线

曲线

• 贝塞尔曲线
  • Cubic Bézier Curve
    • 四个点决定一个曲线
    • 曲线的起点必然是b0，终点必然是b3
    • 伯恩斯坦多项式
      • 伯恩斯坦多项式的各项之和是1
  • 贝塞尔曲线的性质
    • Cubic case: b0(0) = 3(b 1 b 0 ) b0(1) = 3(b 3 b 2 )
    • Transform curve by transforming control points
    • Curve is within convex hull of control points
  • 高阶贝塞尔曲线的问题
    • 不直观
  • 因此提出分段贝塞尔曲线
    • 0阶连续
      • 对方向没有要求
    • 1阶连续
      • 要让两段曲线交点的相邻点距离相等，且三个点在一个直线上
      • 距离相等是为了让导数也是连续的
  • 可以扩展出贝塞尔曲面
• B样条
  • 具有局部性，调整一个点附近的曲线不影响其他地方

曲面

• 曲面细分(Mesh Subdivision)
  • 标注
  • Loop Subdivision(注意Loop是个人名不是循环的意思)
    • 基本思路，将一个三角形变成4个三角形
    • 第二步调整新增加的顶点的位置
      • 思路:跟新顶点共线的老顶点应该贡献更大一点,老顶点贡献小一点
    • 第三部调整老的顶点的位置
      • 思路是原来的位置贡献一部分，周围的顶点贡献一部分,仅此而已
    • 只适用于三角曲面
  • Catmull-Clark Subdivision
    • 选出奇异点(度数不等于4)
    • 在面上增加顶点，该面的各个边中点添加顶点
    • 将新的顶点连起来
    • 添加以后,奇异点增加了
    • 对位置的调整
      • 分三种情况处理
• 曲面正规化（Mesh Regularization)
  • 标注
• 曲面简化(Mesh Simplification)
  • Quadric Error Metrics(二次误差度量)
    • Quadric error: new vertex should minimize its sum of square distance (L2 distance) to previously related triangle planes!
    • 给每个顶点打上一个分数，将所有顶点都放到一个优先级队列里,每消除一个顶点,然后更新周围N个点的分数，然后再从优先级队列里取出顶点