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线性代数
二次型
二次型与对称矩阵
设A、B均为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C^T AC，则称矩阵A与B合同
若矩阵A和B合同，则A与B的秩相同
合同矩阵性质：自反性，对称性，传递性
化二次型为标准型
配方法
Step1:先找到平方项〖xi〗^2
Step2:将所有的xi项合并起来配方
Step3:重复Step1和Step2
初等变换
Step1:先写矩阵A（A是对称矩阵）
Step2：将A与I合并为（A/I）
Step3:对（A/I）做同样的行和列的初等变换
正交变换
Step1:先写出矩阵A
Step2:求特征值和基础解系
Step3:对特征向量进行正交化和单位化
二次型与正定性
正定性判定
A的全部顺序主子式>0
特征值全都大于0
合同于单位矩阵
A的正惯性指数为n
实二次型f(x)=x^T Ax是正定型（A是正定矩阵）
结论
正定矩阵行列式>0
合同的两个矩阵具有相同的正定性
实对角矩阵为正定矩阵的充要条件：主对角元素均大于0
正定矩阵性质
正定矩阵的主对角元素大于0--->若主对角元素中有小于/等于0的则一定不是正定矩阵
若A是n阶正定矩阵，则kA(k>0),A^m,A^T,A^*均为正定矩阵
若A和B是n阶正定矩阵，则A+B也是正定矩阵
若A和B是n阶正定矩阵，且可换，则AB也是正定矩阵
行列式
定义
行列式是一种数学运算，用于计算线性方程组的解
余子式和代数余子式
求法Mij，Aij
性质
行列式具有可加性、可乘性、可逆性等性质
转置性，转置相等
互换行或列，改变正负号
某一行或列元素为0或两行或列成比例，det为0
计算方法
行列式可以通过行列式展开、行列式乘法等方法进行计算
三角行列式
克拉默法则
定义概念
求线性方程组解
利用行列式求逆矩阵
det性质
矩阵A可逆
n阶矩阵A可逆的充要条件是det(A)≠0
求伴随矩阵
逆矩阵＝1/det（A）X A*
应用
行列式在数学、物理、工程等领域有广泛应用
在数学中，行列式可以用来求解线性方程组
在物理中，行列式可以用来求解刚体运动问题
在工程中，行列式可以用来求解结构力学问题
行列式还可以用来求解矩阵的特征值和特征向量
局限性
行列式计算量较大，不适用于高阶矩阵
线性方程组和矩阵
线性方程组
定义
线性方程组的概念
线性方程组的一般形式
线性方程组的解（是否相容）
解的存在性
解的唯一性
矩阵
定义；
矩阵的概念
矩阵的表示方法
分类简介
单位矩阵
上（下）三角矩阵
对角矩阵
增广矩阵和系数矩阵
矩阵的运算
矩阵的加法
矩阵的乘法
矩阵的转置
运算规律
对称矩阵
矩阵的逆
初等行变换法求逆矩阵
求解线性方程组
初等变换
互换某一行或列的位置
用非零常数k乘以某一行或列各个元素
把某一行或列各元素乘常数k加到其他行或列
阶梯形矩阵
定义以及满足条件
简化阶梯形矩阵
定义概念
分块矩阵
定义概念
运算法则和普通矩阵运算法则一致
矩阵的特征值和特征向量
特征值和特征向量
设A为n阶矩阵，若存在常数λ及 n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵的特征值，x是属于特征值的特征向量。
特征值：解行列式
特征向量：化简矩阵
相似矩阵
设A，B均是n阶矩阵，若存在可逆的n阶矩阵S，使得B=s^(-1) AS，则矩阵A和B相似
对角化
需要找可逆矩阵S使对角矩阵∧=s^(-1) AS（相似即可对角化）
Step1:特征方程|λI-A|=0求特征值
Step2:找出特征值对应的特征向量（λI-A）=0求基础解系
Step3:求S->基础解系对应的矩阵 对角矩阵：diag(λ1，λ2，……，λm)
实对称矩阵
需要找到正交矩阵Q，使得对角矩阵∧=Q^T AQ
Step1:特征方程|λI-A|=0求特征值
Step2:找出特征值对应的特征向量（λI-A）=0求基础解系
Step3:将基础解系正交化+单位化得到Q对角矩阵：λ的集合diag(λ1，λ2，……，λm)
向量空间
向量空间
向量之间的线性关系
线性相关
给定向量组a1,a2,⋯am,如果存在不全为零的实数k1,k2,⋯, km。使得 k1a1+k2a2+……+kmam=0，则向量组线性相关
至少有一个向量可以由其余向量线性表示
r(a1,a2,⋯as )<s
充要条件
（n+1）个n维向量
若部分相关，则整体相关
以少表多，多的相关
含零向量，成比例向量
充分条件
线性无关
r(a1,a2,⋯as )=s
充要条件
若整体无关，则部分无关
两两正交的非零向量组必无关
不同特征值的特征向量线性无关
极大线性无关组
求解
Step1:向量组写成矩阵
Step2:化为最简阶梯矩阵
Step3:非零行非零首元所在的列
性质
一个向量组的极大线性无关向量组都含有相同个数的向量
不是唯一的
一个向量组的任一极大线性无关组都与该向量组等价
矩阵的秩与向量组的秩
阶梯矩阵非零行数为矩阵的秩
向量组的秩：极大线性无关组所含向量个数
线性方程组解的结构
齐次
未知量个数=方程个数时：非零解->系数行列式=0
系数矩阵的秩和未知量个数的关系R(A)<=n
R（A）<n,无穷解（非零解）
R（A）=n,唯一解（零解）
非齐次（矩阵的秩R(A),增广矩阵的秩R(A，ß)）
R（A）<R(A，ß)无解
R（A）=R(A，ß)有解
R（A）=n唯一解
R（A）<n无穷解
求解基础解系（极大线性无关组）