极限与函数

这是一篇关于极限与函数的思维导图，包括：函数的定义性质、基本初等函数、复合函数、极限、连续与间断。

极限与函数

• 函数
  • 定义
    • 对于变量x，变量y按照一定法则总有确定的数值与之对应
  • 性质
    • 有界性
    • 单调性
    • 奇偶性
      • 定义域关于原点对称
    • 周期性
  • 基本初等函数
    • 幂函数
    • 指数函数
    • 对数函数
    • 三角函数
    • 反三角函数
  • 复合函数
• 极限
  • 极限思想
    • 曲边三角形面积
    • 割圆术
  • 数列的极限
    • 收敛
      • 唯一性
      • 有界性
        • 数列有界是数列收敛的必要不充分条件
      • 保号性
    • 发散
  • 函数极限
    • 定义
      • 自变量趋于有限值时函数的极限
      • 自变量趋于无穷大时函数的极限
    • 性质
      • 唯一性
      • 局部有界性
      • 局部保号性
    • 极限运算法则
  • 无穷小与无穷大
    • 无穷大
      • 当x趋向于某一值（或趋向于无穷）时，对应函数值的绝对值无限增大
    • 无穷小
      • 定义
        • 当x趋向于某一值（或趋向于无穷）时，f（x）的极限为0
      • 无穷小的比较
        • 高阶无穷小
        • 低阶无穷小
        • 同阶无穷小
        • k阶无穷小
        • 等价无穷小
      • 无穷小的性质
        • 在同一变化过程中，有限个无穷小的和仍为无穷小
        • 在同一变化过程中，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小
        • 在同一变化过程中，有限个无穷小的乘积仍为无穷小
        • 在同一变化过程中，常数与无穷小的乘积仍为无穷小
      • 常见的等价无穷小
  • 极限存在准则及两个重要准则
    • 夹逼准则
      • 多用于求无穷项的和
    • 单调有界数列必有界
    • 两个重要极限
• 连续与间断
  • 连续
    • 定义
      • 设函数y=f（x）在点X0的某一邻域内有定义，如果函数f（x）当x趋向于X0时的极限存在，且等于它在X0处的函数值，则f（x）在X0处连续
    • 充要条件（判断方法）
      • f（x）在X0左连续且右连续，即f（x）在X0处的左极限=右极限=f（X0）
    • 闭区间上连续函数的性质
      • 最大值与最小值定理
      • 有界定理
      • 零点定理
      • 介值定理
  • 间断
    • 定义
      • 不满足连续中的任一条件，则称该函数在X0处间断
    • 类别
      • 第一类间断点（左右极限存在）
        • 可去间断点（左右极限相等）
        • 跳跃间断点（左右极限不相等）
      • 第二类间断点（左右极限至少有一不存在）
        • 无穷间断点
        • 震荡间断点
  • 连续与间断的判断方法
    • f（x）在X0的某领域内有定义
    • f（x）当x趋向于X0时的极限值存在
    • 极限值等于f（X0）处的函数值