导图社区 几何向量及其应用
线性代数与解析几何(第三版)李继成 魏战线 编 第三章 几何向量及其应用 例题分析(个人版) 仅仅是一个大一在读学生自己对例题总结,有很多需要改进的地方,希望大家多多包涵。
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几何向量及其应用
向量及其线性运算
基本概念
线性运算
c=&a+(1-&)b
向量共线共面的充要条件
空间坐标系与向量的坐标
求向量的长度和方向余弦
共面的充要条件是行列式等于0
数量积 向量积 混合积
两个向量的数量积
3a-2b的模:平方,换成两个向量的乘积
余弦定理:c²=...
两个向量的夹角:向量的乘积除以两个向量模的乘积
垂直:两个向量的乘积为0
b沿a的分量和b的正交于a的分量:(b·a*)·a*=b向量乘a向量方向上的单位的向量的接过再乘a向量方向上的单位向量
b的正交于a的分量:(想象三角形)用b向量减去上一步算得的分量
两个向量的向量积(外积、叉积)
(不理解,直接记忆公式)(用平行四边形)两个向量的乘积的值等于两向量构成的平行四边形的面积
求与a、b都垂直的一个单位向量:(不熟悉的重点)联系上一点的向量积可以算得一个向量,再把求得的该向量除以他的模长,就可以得到单位向量
以三个点为顶点的三角形的面积:(面积 联系 向量积对应的面积含义)算得该垂直向量,再算他的模得到面积值,再联系所求图形的面积
混合积
四个点为顶点的四面体的体积:(两个向量的乘积是平行四边形,三个向量的乘积就是六面体的体积!!!),再联系这里所说的要求四面体的体积也就是1/6
平面和空间直线
平面的方程
平面位置的特点:1 不含常数项,是过原点的平面 2 不含z项,是平行于z轴的平面 3 不含常数项 也不含z项 通过z轴的平面 4 不含x也不含y 是垂直于z轴的平面
两个平面的位置关系
求过点平行于另一平面的平面方程:写出法向量(考察一般式中法向量的发现)
过两点,垂直于零一平面的平面:(又考察一般式中的法向量,而过两点又有一个向量,用数量积可以求得法向量)
空间直线的方程
化直线的一般式方程为对称式和参数式:提供了两个平面的一般式方程,所指的直线就是这俩平面相交的地方。求得其中的一个解。算得两个平面法向量的向量积。而该向量与直线的方向向量共线。再结合已知的直线上的一点。(对称式和参数式都需要知道方向向量)
求过俩平面的交线而且与其中一平面垂直的平面方程:表示过交线的所有平面的方程。又知若俩平面垂直则他们的法向量也会两两垂直,从而可以解出未知数。
两条直线的位置关系
给出两条直线的对称式方程,判断他们的位置关系:1 平行很简单便能判断 2 将俩直线转变为参数式方程,便能解出交点,所以共面。再用向量积算得法向量,结合交点,便可以求得平面的方程。
距离
点到直线(对称式)的距离:取值先上一个点和已知点构成一个向量,根据向量积算得一个值(几何意义:该值为平行四边形的面积),再除以底边便可以得到高的值。
两条异面直线(对称式 )的距离:写出方向向量和过直线的点,算出三个向量的混合积,算出两个底的向量积的值,一个为六面体,一个是平行四边形,相除便可以得到高。