几何向量及其应用

线性代数与解析几何（第三版）李继成 魏战线 编 第三章 几何向量及其应用 例题分析（个人版） 仅仅是一个大一在读学生自己对例题总结，有很多需要改进的地方，希望大家多多包涵。

几何向量及其应用

• 向量及其线性运算
  • 基本概念
  • 线性运算
    • c=&a+(1-&)b
  • 向量共线共面的充要条件
  • 空间坐标系与向量的坐标
    • 求向量的长度和方向余弦
    • 共面的充要条件是行列式等于0
• 数量积 向量积 混合积
  • 两个向量的数量积
    • 3a-2b的模：平方，换成两个向量的乘积
    • 余弦定理：c²=...
    • 两个向量的夹角：向量的乘积除以两个向量模的乘积
    • 垂直：两个向量的乘积为0
    • b沿a的分量和b的正交于a的分量：(b·a*)·a*=b向量乘a向量方向上的单位的向量的接过再乘a向量方向上的单位向量
    • b的正交于a的分量：（想象三角形）用b向量减去上一步算得的分量
  • 两个向量的向量积（外积、叉积）
    • （不理解，直接记忆公式）（用平行四边形）两个向量的乘积的值等于两向量构成的平行四边形的面积
    • 求与a、b都垂直的一个单位向量：（不熟悉的重点）联系上一点的向量积可以算得一个向量，再把求得的该向量除以他的模长，就可以得到单位向量
    • 以三个点为顶点的三角形的面积：（面积 联系 向量积对应的面积含义）算得该垂直向量，再算他的模得到面积值，再联系所求图形的面积
  • 混合积
    • 四个点为顶点的四面体的体积：（两个向量的乘积是平行四边形，三个向量的乘积就是六面体的体积！！！），再联系这里所说的要求四面体的体积也就是1/6
• 平面和空间直线
  • 平面的方程
    • 平面位置的特点：1 不含常数项，是过原点的平面 2 不含z项，是平行于z轴的平面 3 不含常数项 也不含z项 通过z轴的平面 4 不含x也不含y 是垂直于z轴的平面
  • 两个平面的位置关系
    • 求过点平行于另一平面的平面方程：写出法向量（考察一般式中法向量的发现）
    • 过两点，垂直于零一平面的平面：（又考察一般式中的法向量，而过两点又有一个向量，用数量积可以求得法向量）
  • 空间直线的方程
    • 化直线的一般式方程为对称式和参数式：提供了两个平面的一般式方程，所指的直线就是这俩平面相交的地方。求得其中的一个解。算得两个平面法向量的向量积。而该向量与直线的方向向量共线。再结合已知的直线上的一点。（对称式和参数式都需要知道方向向量）
    • 求过俩平面的交线而且与其中一平面垂直的平面方程：表示过交线的所有平面的方程。又知若俩平面垂直则他们的法向量也会两两垂直，从而可以解出未知数。
  • 两条直线的位置关系
    • 给出两条直线的对称式方程，判断他们的位置关系：1 平行很简单便能判断 2 将俩直线转变为参数式方程，便能解出交点，所以共面。再用向量积算得法向量，结合交点，便可以求得平面的方程。
  • 距离
    • 点到直线（对称式）的距离：取值先上一个点和已知点构成一个向量，根据向量积算得一个值（几何意义：该值为平行四边形的面积），再除以底边便可以得到高的值。
    • 两条异面直线（对称式 ）的距离：写出方向向量和过直线的点，算出三个向量的混合积，算出两个底的向量积的值，一个为六面体，一个是平行四边形，相除便可以得到高。