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逻辑学

根据《逻辑学导论》第15版整理，但导图根据实际逻辑调整了布局，而不是严格的遵守书本的内容布局。因输入问题，部分不能输入的符号用其他同义符号代替，很容易看明白。数理逻辑部分因推导过程较多，所以建议看原书。对于没有特殊需求的人，我个人认为没有必要钻研数理逻辑，其工具性功能大于认知提升功能。

编辑于2024-01-11 12:40:54

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逻辑学导论

第一部分逻辑与语言（非形式逻辑）

推理

逻辑学的基本概念

定义

逻辑学是研究如何区分正确推理和错误推理的方法与原理的学问

命题与论证

命题

一个陈述；通常使用陈述句断定的东西，因而都是或真或假的——尽管真、假可能是未知的。一个问题没有断定任何东西，所以不是命题。

陈述

一个命题；通常是陈述句断言的东西，但不是陈述句本身。每一个陈述一定或真或假，尽管其真、假可能是未知的。

论证

任意一组命题，其中一个命题（即结论），声称得到其他命题（即前提）的支持。论证的结论是从论证的前提推出来的

要素

前提

一个论证中，推论所依赖的命题；声称为推出的结论提供根据或理由的命题。

推论

结论加之从中推出结论的前提；论证。做出一个推论——从前提推出一个结论——是一个以其他某些命题为基础得到或断定一个命题的过程。

结论

任一论证中，其他命题声称支持的命题，或者其他命题被作为其理由的命题。结论是从一个或者更多其他命题（即前提）推出的命题。

分类

演绎论证

断言前提支持结论

前提都为真，结论不可能为假

归纳论证

没有断言前提支持结论

结论不是确定的

有效性

不适用于单一命题本身

有效性仅对演绎论证而言

真实性

逻辑上的真不同于直觉的真

论证的真假不决定论证的有效性

论证的有效不决定结论的真实性

论证的分析

论证的重塑

论证的图示

复杂论证性语段

非形式逻辑

非形式逻辑，也被称为批判性思维，是对日常会话中论辩的分析、解释、评价、批判和建构发展出非形式的标准、尺度和程序。它主要关注的是论证的结构和有效性，而不是推理的形式。非形式逻辑的研究范围包括分析错误的论证来辨别谬论，分析和辨别类似的推理策略等活动。比如，研究谬论在理解和评估论证中应扮演什么角色。用自然语言分析论证的活动和在形式逻辑系统中表现它们被称为哲学分析，而且有时被当作非形式逻辑的一部分。非形式逻辑的兴起可以追溯到20世纪70年代的北美，其奠基人是拉尔夫·约翰逊和安东尼·布莱尔。他们于1977年合著的《逻辑的自我辩护》是较早强调非形式推理的具体例子的导论性著作。1978年由他们组织的首届国际非形式逻辑研讨会以及所编辑的《非形式逻辑通讯》（后改名为《非形式逻辑》）标志着非形式逻辑作为一门独立学科的正式诞生。总之，非形式逻辑和形式逻辑虽然都关注推理和论证的有效性，但它们的侧重点和研究方法有所不同。非形式逻辑更注重实际论证中的语境、论点表达和听众影响等方面，而形式逻辑则更注重推理的形式和规则。

语义与定义

语言的功能

信息性

表达性

指令性

礼节性

述行性

语句的分类

陈述句——用于推理

感叹句——表达情感

祈使句——指导行为

疑问句

语言的情感

情感

中性

论争

实质

言辞

定义

构成

定义项

被定义项

只能对符号（而非对象）定义

分类

规定定义

将某种意义任意地指派给新引入符号的定义；与词典定义相反，规定定义没有正确与错误之分。

词典定义

报告被定义项已经具有的意义的定义。词典定义可以为真或为假。

精确定义

为消除歧义或模糊性，通过明确地界定一个概念制定的定义。

理论定义

概括了对某理论的理解的定义，其中被定义项是该理论的核心要素。

说服定义

通过使用情感语言影响态度或激起情感来解决论争的定义。

结构

外延

一个词项所适用的所有对象的汇集

示范定义

通过（例如）列出词项所指称的对象类之成员来标识词项外延的定义。

实指定义

一种指称性定义，被定义词项所表示的对象都是通过指向或其他手势来指称的；有时也被称为指示性定义。

准实指定义

一种依赖于手势和描述性短语的指称性定义。

内涵

一个词项所指谓的一类对象且只有这些对象所共同拥有的属性；该词项的含义。

分类

主观内涵

说话者认为的由某一词项指谓的对象所拥有的属性集，因人而异。

客观内涵

词项外延中所有对象共同拥有的属性集

规约内涵

一个词项的普遍接受的内涵；决定任一对象是否在该词项外延之中的普遍同意的标准。

同义定义

一个语词、短语或符号是用另一个具有相同含义并已被理解的语词、短语或符号来定义的内涵式定义。

操作定义

一种内涵式定义，当且仅当给定情况下特定的操作产生特定的结果时，被定义项才是正确地应用于给定的情况。

属加种差定义

首先要找出一个属，被定义项所指代的种是该属的一个子类；然后找出属性（或种差），即把该种的分子与属的所有其他种的分子区分开来的那种属性。

定义应当揭示种的本质属性

定义不能循环

定义既不能过宽又不能过窄

定义要准确，尽可能避免歧义

能用肯定就不用否定的方式

外延不决定内涵内涵必定决定外延

谬误

一种看似正确但包含错误推理的论证，即前提不支持结论。

相干谬误

一种前提和结论无关的谬误

诉诸大众

在这种论证中，对某些结论的支持是诉诸大众信念。

诉诸同情

一种依赖于慷慨、利他主义或仁慈等情感而非理性的谬误。

红鲱鱼

一种故意将注意力从正在讨论的问题上移开的谬误。

稻草人

一种将对手的立场解读为非常容易驳倒的论点，然后加以反驳。

诉诸人身

一种依赖于攻击采取立场的人的谬误

诽谤

背景谬误

诉诸其背景和其主张没有太强关联性

污泉

一种辱骂性的背景谬误，在这种谬误中，通过攻击对手的诚信或诚实破坏持续的理性交流。

诉诸暴力

一种依赖于公开或隐蔽的暴力威胁的论证

不相干结论

一种前提所支持的结论与提出的结论不同的错误论证

不当归纳谬误

前提太弱或无效而无法保证结论的谬误

诉诸无知论证

一种一个命题因为没有被证明是假的而被认为是真的，或者因为没有被证明是真的而被认为是假的谬误。

诉诸不当权威

一种仅仅因为一个专家说某结论为真，它就被认为是真的谬误。这是一个关于专家的专业领域与结论是否相关的谬误。

虚假原因

一种把并非真正是某件事情的原因当成其原因的谬误。

缘出前物

一种推定某件事情是由一个紧接在前的事情引起的谬误。字面意思是：那个在这之后出现；因而，这就是那个原因。

滑坡谬误

一种断言在某一方向上的变化必然导致同一方向上的进一步变化的（通常是不值得欲求的）谬误。

轻率概括

一种不当归纳谬误，即从一个单一的案例不小心地转到对所有或大多数案例的大规模概括。

预设谬误

一种结论依赖于一个不可靠、无根据或错误的默认假设的谬误。

偶然

一种将概括错误地应用于一个并不适合的案例的谬误。

复杂问句

一种提出一个问题的方式预设隐藏在该问题中的某些结论为真的非形式谬误

丐题（循环论证）

一种非形式谬误，论证的结论是其前提陈述或假设的。也被称为"循环论证"

含混谬误

一种由论证中的语词或短语的意义的变化或混乱而引起的谬误。

歧义

一种有意或无意地在论证不同部分使用一个语词或短语的两种或多种意义的谬误

双关

论证中松散或笨拙地组合起来的语词有多种解释；论证的前提基于一种解释，而结论则基于另一种解释的谬误。

重音

当一个论证的前提依赖于某些语词的一种可能的强调，而结论依赖于相同语词不同意义的不同强调，这种歧义谬误就发生了。

合成

一种歧义谬误，即根据整体的部分（或集合的元素）具有某些属性这个事实，错误地认为整体（或集合）也具有这个属性。

分解

一种歧义谬误，即根据整体（或集合）具有某些属性这个事实，错误地认为整体的部分（或集合的元素）也具有这个属性。

第二部分演绎（形式逻辑）

演绎法是一种推理方法，其基本原理是从一般到个别，通过前提条件推导出具体的结论。演绎推理的形式包括三段论、假言推理和选言推理等。在演绎推理中，前提和结论之间的联系是必然的，即结论一定能够从前提条件中得出。如果这种声称是正确的，那么我们就说这个演绎论证是有效的。

直言命题

关于类与类之间（或范畴之间）关系的命题，它肯定或者否定 S 类的对象全部或者部分包含在 P 类对象中。标准形式直言命题：具有以下形式的任一直言命题都是标准形式直言命题："所有 S 是 P "（全称肯定）、"没有 S 是 P "（全称否定）、"有 S 是 P "（特称肯定）、"有 S 不是 P "（特称否定）。这四种形式的命题被分别称为 A 、 E 、 I 、 O 命题。

讨论对象

不同类对象之间的关系

类指共有某种特性的对象的汇集

类

具有共同属性的所有对象构成的集合

补类

不属于某一给定类的所有事物的汇集

量项

主项

联项

任一形式的系动词，在直言命题中，起着把主项和谓项联系起来的作用。

谓项

有（量项）罗马统治者（主项）是（联项）独裁者（谓项）

属性

质

直言命题的属性之一，取决于该命题对类的包含关系所做的肯定或否定。因此，从质上看，每一个直言命题要么是肯定的，要么是否定的。

肯定

否定

量

直言命题的属性之一，取决于该命题所反映的对象究竟是主项类的全部对象，还是仅仅是部分对象。因此，从量上看，每一个直言命题要么是全称的，要么是特称的。

全称

特称

周延性

直言命题的属性之一，用来反映直言命题和其词项之间的关系，表明一个直言命题是否断定了特定词项所代表的类的每一个对象。

A主周延、谓不周延

E主周延、谓周延

I主不周延、谓不周延

O主不周延、谓周延

分类

全称肯定命题A

全称否定命题E

特称肯定命题I

特称否定命题O

推论方法

直接推论

不借助其他前提，直接从一个前提得出结论的推论。

对当关系

存在于在量、质或其他方面有所不同的两个直言命题之间的逻辑关系，如两个矛盾命题之间、反对命题之间的关系。对当关系可以用逻辑方阵表示。

矛盾关系

互斥或者互相否定的两个命题为矛盾关系命题。传统的对当方阵中，两对矛盾关系的命题用正方形的对角线表示：命题 A 和 E 分别是 O 和 I 的矛盾关系命题。

A-O

E-I

反对关系

不可能同时为真，但可以同时为假的两个命题之间的关系为反对关系。

偶真的A-E

这种亚里士多德式解释有一个困难：如果 A 命题或者 E 命题是必然真的——在逻辑上或数学上为真，那么，说它们是互相反对的就是不正确的。例如，"所有三角形都是四边形"与"没有三角形是四边形",这两个命题就不是反对关系。如果一个命题是必然真的——不可能为假的，那么，它就没有反对关系命题，因为两个互相反对的命题可以同假。我们把既非必然真也非必然假的命题成为偶真的。例如球队比赛，可以为平局。

下反对关系

不能同假，但可以同真的两个命题之间的关系为下反对关系。

偶真的I-O

差等关系

在对当关系方阵中，差等关系是全称命题（ A 或者 E ）和相应的特称命题（ I 或者 O ）之间的关系。在差等关系中，特称命题（ I 或者 O ）称为"下位式"，全称命题（ A 或者 E ）称为"上位式"。

A-I

E-O

换位法

一种以某些但不是所有直言命题为前提的有效直接推论。要对一个命题进行换位，只需对主项和谓项进行互换。例如，运用这种方法，从命题"所有圆形都不是正方形"，可以得到原命题的"换位命题"——"所有正方形都不是圆形"，而原命题则称为"被换位命题"。

换质法

一种有效的直接推论，适用于任一形式的标准直言命题。对一个命题换质，就是改变命题的性质（从肯定变成否定，或者从否定变成肯定），并用谓项的补替换谓项。例如，运用这种方法，从命题"所有狗都是哺乳动物"，可以得到原命题的"换质命题""没有狗不是非哺乳动物"，而原命题则称为"被换质命题"。

换质位法

一种以某些但不是所有直言命题为前提的有效直接推论。对某一特定命题换质位，就是用该命题谓项的补替换其主项，同时用主项的补替换其谓项。例如，命题"所有人都是哺乳动物"的换质位命题就是"没有非哺乳动物是非人"。

间接推论

使用一个以上前提的推论

现代逻辑假设

布尔解释

是为本书所采用并且以英国逻辑学家乔治·布尔的名字命名的关于直言命题的现代解释。与亚里士多德的解释不同，在布尔解释中，全称命题（ A 和 E ）没有存在含义。

分歧

传统逻辑学认为不存在空命题（无含义）

布尔解释定义了不存在含义的命题

存在与含义

命题对象存在（有含义）

命题对象不存在（无含义）

预设

传统逻辑学预设所有命题对象不为空（所有命题对当成立）

现代逻辑学不预设命题对象不为空（布尔解释）

存在谬误

现代逻辑学家否定了全面存在预设。对于一个不能明确断定其中有元素的类，我们就不能假定它有元素，否则就是错的。任何依据这种错误假定的论证都会产生存在预设谬误，简称存在谬误。

符号

空类 “0”、S=0

非空 S≠0

S和P的交，SP、S·P

补 S、非S=`S

工具

文恩图

用交叉的圆表示直言命题或者论证的逻辑形式的图示法。

对当方阵

直言三段论

由三个直言命题组词项，并且每个词项在这些命题中情直言三段论的标准形式：前提和结论是标准直言命题（ A 、 E 、 I 或O )，并且依次按照大前提、小前提、结论的先后顺序排列的直言三段论，称为直言三段论的标准形式。

标准形式

由标准直言命题（ A 、 E 、 I 或O )构成

三个词项、三个命题、每个词项出现两次

项

大项（结论的谓语）

小项（结论的主语）

中项（结论中不出现）

前提

大前提（包含大项的前提）

小前提（包含小项的前提）

式

三段论的式是直言三段论的一个特征，由包含于三段论中的标准直言命题（ A 、 E 、 I 、 O ）的类型决定。由于直言命题只有四种类型（ A 、 E 、 I 、 O )，并且每一个三段论正好包含三个这样的命题，因此，三段论共有64个式。每一个式用三段论所包含的命题的字母表示，如， AAA , AAI , AAE ，等等，直到 OOO 。

由三个命题的类型决定，比如EIO，共64种

格

定义

中项在标准直言三段论中的前提所处的位置、共4种

标记

大项P

小项S

中项M

分类

共有256种组合

有效性

形式有效

一个三段论如果是有效的，那么和它形式相同的其他三段论也是有效的。如果是无效的，那么和它形式相同的其他三段论也是无效的。

验证方法

文恩图解法

图示方法、8个区域（左）

根据结论判断是否为空（中）

X标在前提没有提到的圆（右）

规则

避免四项（四项谬误）

由于三段论中包含了三个以上的词项所犯的一种形式谬误。

中项至少在一个前提中周延（中项不周延谬误）

由于三段论的中项在两个前提中没有一次周延所犯的一种形式谬误

结论中周延项在前提中必须周延

由于在三段论结论中周延的词项在相应的前提中不周延所犯的一种形式谬误

大项不当谬误

小项不当谬误

避免出现两个否定前提（排斥前提谬误）

由于三段论的两个前提都是否定命题（ E 或 O ）所导致的形式谬误。

有一前提否定结论必然否定（从否定推肯定谬误）

两个全称前提得不出特称结论（存在谬误）

在直言三段论的布尔解释中，全称命题没有存在含义，但特称命题却有存在含义。只要设定了布尔解释，就要避免从没有存在含义的前提得出有存在含义的结论。

有效形式 15个

AAA-1

EAE-1

AII-1

EIO-1

AEE-2

EAE-2

AOO-2

EIO-2

AII-3

IAI-3

EIO-3

OAO-3

AEE-4

IAI-4

EIO-4

日常语言中的论证

分类

三段论

直接验证

非标准三段论

先翻译为标准三段论，再验证

偏离形式

一、论证的前提和结论顺序不标准

二、词项不为三

三、非标准直言命题

翻译（化归）

词项数量规约为三

去除同义词

去除补类

命题标准化

单称命题（化为类）

断定某一特定的个体具有或者不具有某特殊属性的命题。单元类：仅仅由一个元素组成的类。

谓项非名词（名词化为类）

动词不是标准联项

词项排列顺序不标准

量词不标准

排斥命题

断言谓项排他性地适用于特定主项的命题。例如，命题"只有将军佩戴星形勋章"断言谓项"佩戴星形勋章"只适合"将军"。

一般情况下主谓互换位置，只有S是P=所有P是S

特殊情况下根据语境判断

不含量词的直言命题

非标准直言命题

除外命题

断言除了某类中的某一个子类的所有元素之外的其他所有元素都是另外一个类的元素的命题。除外命题实际上是复合性命题。因为它既断言了类之间的包含关系，又断言了类之间的排斥关系。例如，"除了雇员都是合格的"这一除外命题，既断定了"所有非雇员是合格的",又断定了"没有雇员是合格的"。

协同翻译

一种常常要求利用辅助符号的技巧，借助这种技巧就有可能把三段论论证变形为标准形式，从而可以准确地验证其有效性。

引入参项

为了把陈述句群中的三段论以三个精确的词项表达出来，以便准确检验其有效性，在协同翻译的过程中引入的辅助符号或者词组。

省略式三段论

指表述不完整的三段论，其未被表述的命题被认为是理所当然的。根据论证未表述的命题是大前提还是小前提或者结论，省略三段论依次可以分为第一种、第二种或者第三种。第一种省略式：指把大前提当作理所当然的命题而未加表述的不完整三段论。第二种省略式：指把小前提当作理所当然的命题而未加表述的不完整三段论。第三种省略式：指把结论当作理所当然的命题而未加表述的不完整三段论。

补齐

连锁三段论

指通过一系列三段论的推导，从前提得出结论的论证。在这一过程中，每一个三段论的结论是下一个三段论的前提，最后一个三段论的结论是整个论证的结论。

非直言三段论

析取三段论

指一个前提为析取命题、另一个前提是析取前提的一个析取支的否定或矛盾命题、结论断定该析取命题的另一个析取支为真的三段论。

假言三段论

分类

纯假言三段论

所包含的命题只有假言命题的三段论

混合假言三段论

以一个假言（或者条件）命题和一个直言前提作为前提的三段论

肯定后件谬误

由条件命题后件的真得出其前件的真时所犯的谬误。

否定前件谬误

从否定条件命题的前件得出其后件为假时所犯的谬误。

组成

前件（前面的命题，如果……）

后件（后面的命题，那么……）

二难推论

日常会话中常用的一种论证形式，在论证中断定必做选择的两个选项，但两个选项（通常）都是糟糕的。

简单式二难推论

为了把对手推向二难选择境地而设计的一种论证，不论对方出何种选择，（往往是不受欢迎的）结论是一个单一的直言命题。

结论是直言命题

复杂式二难推论

由以下部分构成的推论：( a ）一个析取命题；( b ）两个由连词连接的假言前提；( c ）结论不是一个直言命题（像简单式二难推论的结论那样），而是一个二支的析取命题（往往是不受欢迎的）。

结论是析取命题

符号逻辑（数理逻辑）

虽然这两大逻辑理论分支有相似的目标，但它们达到目标的方式却截然不同。现代逻辑并不建立在前面几章所讨论的三段论系统基础之上，也不始于对直言命题的分析。现代逻辑的宗旨还是要将有效论证与无效论证区别开来，但是它为了达到这一目标所使用的是与古典逻辑完全不同的概念和技术。因此，我们现在必须重新构造一个现代逻辑系统来处理三段论逻辑处理的那些问题，甚至更为有效地处理那些问题。

命题逻辑

真值函项

概念

真值

任何陈述为真或为假（ T 或 F ）的状态。

真T

假F

逻辑的真假非陈述本身的真假

简单陈述

简单陈述只是它本身的真值函数，不是其他陈述之真值函项的陈述

复杂陈述

是至少一个其他陈述之真值函项的陈述。它的真值是一个或更多陈述的函项﹣﹣是被唯一确定的。

真值函项分支

一个复合陈述的任何分支，用其他任何与原分支陈述有相同真值的陈述做替换，复合陈述的真值保持不变。

逻辑算子

用于从一个或多个其他陈述形成真值函项复合陈述的符号。

并且“·”圆点符

或者“V”楔劈符

如果……那么“É”马蹄符

当且仅当"º"三杠号

逻辑连接词

因为它们被用来联结其他陈述而形成真值函项复合陈述

并非"~"波浪符

在任意公式中，否定符号约定理解为施加于标点符号所管辖的最小陈述。

否定算子

真值函项联结词

真值函项联结词：联结一个真值函项复合陈述的两个分支陈述的逻辑算子（即合取、析取、实质蕴涵和实质等值）。

真值表

对复合陈述的所有分支简单陈述的真值的排列进行展示。一个真值表可以用来定义一个真值函项复合陈述，也可以用来判定一个演绎论证是否有效。

分组标点符号（）、[] 、{}

代入例

给定一个论证形式，用陈述替换其中的陈述变元而得到的论证，相同的变元必须代人同一个陈述。

陈述变元

一个占位符；可以用陈述来替换的字母（按约定用小写字母表示，以 p 、 q 等开始）

特征形式

若一个论证是以不同的简单陈述一致地代入一个论证形式中每个不同的陈述变元而得到的，该论证形式就是这个论证的特征形式。

陈述形式

一个陈述形式是任何一个含有陈述变元但不含陈述的符号串，若用陈述代入这些陈述边远——用同一个陈述始终一致的代入同一个陈述变元——其结果是一个陈述。

重言式pV~p

其分支陈述变元的所有真值组合都为真的陈述形式

矛盾式p·~p

一个对于所有分支陈述变元的所有真值组合都为假的陈述形式

偶真陈述

可为真也可为假的陈述形式。它的分支陈述变元的真值组合至少有一种为真，并且至少有一种为假。一个偶真陈述形式既不是重言式，也不是矛盾式。

实质等值pºq

用三杠号连接两个陈述，断定它们之间具有相同的真值，这样的真值函项陈述就是实质等值陈述。如果两个陈述同为真或同为假，那么它们就是实质等值的﹣﹣也就是说，它们具有相同的真值。实质等值陈述的两个分支互相实质蕴涵。

逻辑等价Tº

两个陈述形式是逻辑等价的，当且仅当，对于它们的分支陈述变元的任何真值组合都具有相同的真值。如果两个陈述形式是逻辑等价的，它们的实质等值陈述就是一个重言式。逻辑等价的陈述一定有相同的逻辑意义，因此它们可以相互替换。

实质等值是值相等逻辑等价是逻辑相等

论证形式

一个符号序列——一行符号串作为结论并且一行或多行符号串作为前提，其中包含一些不是陈述的陈述变元，使得当用陈述代入陈述变元时（同一陈述始终代入同一陈述变元），其结果就是一个论证。

关系

合取、P·q、也可用符号“&”“Ù”

由两个被称作合取支的陈述组成的真值函项陈述，合取支由逻辑联结词圆点符（.）所联结，表示"并且"。一个合取形式 p· q 是真的，当且仅当 p 和 q 都是真的。

否定"~"、也可用符号“-”“Ø”

析取“V”

由两个被称作析取支的陈述组成的真值函项陈述。有两种析取陈述：可兼析取陈述和不可兼析取陈述。

可兼析取陈述“V”

通过楔劈符 V 联结两个析取支所组成的真值函项复合陈述。在至少有一个析取支（即一个或两个都）为真的情形下，不可兼析取是真的。一般简单地叫作"析取"，也叫作"弱析取"。

不可兼析取陈述“V_”等价于(pVq)·~(p·q)

由两个析取支组成的一种真值函项复合陈述，在当且仅当只有一个析取支为真的时候为真。一个不可兼析取是说：其中一个析取支是真的，且另一个是假的。这与"可兼的"（或"弱的")析取不同，可兼析取说的是至少有一个析取支为真，且可以都为真。

条件“É”、也可用“→” 等价于~(p·~q)、~（p·~q）

前件（蕴含者），如果……

后件（被蕴含者），那么……

蕴含

为真的条件陈述或假言陈述的前后件之间的一种关系

p是q的充分条件：pÉq

p是q的必要条件：qÉp

p是q的充要条件：（pÉq）·（qÉp）

论证的有效性

一个论证形式是有效的，当且仅当，他不可能出现前提皆真而结论为假的情形。

完备真值表法CTTM

常见论证形式

有效的

析取三段论(p1)pVq,(p2)~p,∴q

一个基本的有效论证形式，它的前提由一个析取陈述和一个对其析取支进行否定的陈述构成，它的结论是另一个析取支。符号化为： pVq ,~ p ，所以 q 。

肯定前件式(p1)pÉq,(p2)p,∴q

一个基本的有效论证形式：如果假定一个条件陈述为真，且假定它的前件为真，那么就可以推出它的后件为真。符号化为： p→q , p ，所以 q 。

否定后件式(p1)pÉq,(p2)~q,∴~p

一个基本的有效论证形式：如果假定一个条件陈述为真，且假定它的后件为假，那么就可以推出它的前件为假。符号化为： p →q ,~ q ，所以～ p 。

假言析取三段论(p1)pÉq,(p2)qÉr,∴pÉr

包含一个条件（"假言"）陈述作为前提的三段论。如果这个三段论仅包含条件陈述，则叫作"纯"假言三段论；如果它包含一个条件陈述和一个直言陈述作为前提，则称作"混合"假言三段论。

无效的

肯定后件谬误(p1)pÉq,(p2)q,∴p

否定前件谬误(p1)pÉq,(p2)~p,∴~q

定律

德·摩根

~(pVq)Û(~p·~q)

析取陈述的否定等价于两析取支否定的合取

~(p·q)Û(~pV~q)

合取陈述的否定等价于两合取支否定的析取

同一原理pÉp

这个原理断言，任何陈述如果是真的，那么它是真的。

不矛盾原理~（p·~p）

这个原理断言，任何陈述不可能同时为真和为假。

排中原理pV~p

这个原理断言，任何陈述或者为真，或者为假。

演绎

概念

推论规则

一个有效的论证形式约定为推论的一个规则。推论规则作为规则，能够保证从一个或多个陈述得到一个陈述的有效性。本书有23个推论规则：9个基本的论证形式，10个逻辑等价式，以及量化逻辑中的4个例举与概括规则。

陈述列

一个证明的左边列，包括前提、假定的前提、推出的陈述和它们的数字编号。

辩护列

一个证明的右边列，包括每一步用作推论规则的缩写和用到的陈述（被推出的陈述要用到的陈述）的序号。

有效性的形式证明

一个陈述序列，它的每一个陈述或者是给定论证的前提，或者是先前的陈述依据推论规则而推得的陈述。而且，整个序列最后一个陈述就是论证的结论，同时它的有效性也得到了证明。一个论证有效性的证明，是对其不可能出现前提都为真而结论为假的严格展示。

自然演绎

依据推论规则对一个演绎论证的有效性进行证明的方法。

替换规则

它允许我们用与其逻辑等价陈述去替换任何一个陈述的全部或部分，从而推得一个新陈述的规则。

能行

根据给定的推论规则表，可以在优先步骤内机械地判定一个给定陈述序列是否构成一个形式证明。这里不需要任何思维。所谓不需要思维，就是既不需要思考蓄力中的陈述“意义”，也不需要用逻辑直觉来检查任何步骤的有效性。

条件证明

为了证明一个条件陈述，先假定陈述 p ，然后通过有穷步骤演绎地推出陈述 q ，最后依据"条件证明（ C . P .）规则"得到结论，即被证陈述" p→q "（即如果 p ，那么 q )。

间接证明

为了证明一个陈述，先假设它的否定（即～ p ）已被证明，然后从假定或假定与前提的结合中推导出矛盾。当矛盾出现时，这个假设就要被排除，且它的否定就是可演绎地推出的。例如，如果假设～ p 为真，那么可以演绎出形如 q ·~ q 的矛盾；那么，这个假设就要被排除。原始假定的否定，即 p ，就被演绎出来。

有效论证形式

肯定前件式(M.P.) (p1)pÉq,(p2)p,∴q

一个基本的有效论证形式：如果假定一个条件陈述为真，且假定它的前件为真，那么就可以推出它的后件为真。符号化为： p→q , p ，所以 q 。

否定后件式(M.T.) (p1)pÉq,(p2)~q,∴~p

一个基本的有效论证形式：如果假定一个条件陈述为真，且假定它的后件为假，那么就可以推出它的前件为假。符号化为： p →q ,~ q ，所以～ p 。

假言三段论(H.S.) (p1)pÉq,(p2)qÉr,∴pÉr

析取三段论(D.S.) (p1)pVq,(p2)~p,∴q

一个基本的有效论证形式，它的前提由一个析取陈述和一个对其析取支进行否定的陈述构成，它的结论是另一个析取支。符号化为： pVq ,~ p ，所以 q 。

构造式二难(C.D.)(p1)(pÉq)·(rÉs),(p2)pVr,∴pVs

吸收律(Abs.)(p1)pÉq,∴qÉ(p·q)

简化律(Simp.)(p1)p·q,∴p 只能推出p，不能推出q

合取律(Conj.)(p1)p,(p2)q,∴p·q

附加律(Add.)(p1)p,∴pVq

替换规则

德·摩根律(De m.) ~(pVq)Û(~p·~q)/~(p·q)Û(~pV~q)

交换律(Com.) (pVq)Û(qVp)/(p·q)Û(q·p)

结合律(Assoc.) [pV(qVr)]Û[(pVq)Vr]/[p·(q·r)]Û[(p·q)·r]

分配律(Dist.) [p·(qVr)]Û[(p·q)V(p·r)]/[pV(q·r)]Û[(pVq)·(pVr)]

双重否定律(D.N.) pÛ~~p

易位律(Trans.) (pÉq)Û(~qÉ~p)

实质蕴涵律(Impl) (pÉq)Û(~pVq)

实质等值律(Equiv.) (pºq)Û[(pÉq)·(qÉp)]/ (pºq)Û[(p·q)V(q·p)]

输出率(Exp.) [(p·q)Ér]Û[pÉ·(qÉr)]

重言律(Taut.) pÛ(pVp)/pÛ(p·p)

为了证明一个条件陈述，先假定陈述 p ，然后通过有穷步骤演绎地推出陈述 q ，最后依据"条件证明（ C . P .）规则"得到结论，即被证陈述" pq "（即如果 p ，那么 q )。

简化的真值表STTT

一个有效的演绎论证不可能前提皆真而结论为假，因此我们仅需要检查结论为假的哪些情况，建立简化的真值表。

谓词逻辑

概念

量化

对非复合陈述进行描述和符号化的一种方法，通过揭示非复合陈述的内部逻辑结构；在现代逻辑理论种，它被用来分析传统的A，E，I，O命题。

单称肯定命题

断定一个特殊的个体具有某种属性的命题。

个体常元

用来表达个体符号（一般用 a - w 中的任一小写字母表示）。

谓述符号

用来表达属性的符号（一般用 A - W 中的任一大写字母表示）。

个体变元

可以用个体常元来代入的占位符号（一般用小写字母 x 或 y 表示）。

命题函数

命题函项：在量化理论中，命题函项是指一个包含个体变元的表达式，而且在对其变项用个体常元代入的情况下，它就变成了一个陈述。命题函项也可以通过普遍化而变成陈述。

全称量词

在量化理论中，符号（ x ）置于一个命题函项的前面，用来断言紧接着的谓词在任何情形下都为真。例如，"( x ) Fx "就是指"任给 x , Fx 都为真"。

存在量词

在量化理论中，符号3置于一个命题函项的前面，用来断言紧接着的谓词在一个或多个代入特例下为真。例如，"3xFx"就是指"存在 x ，使得 Fx 为真"。

例举

在量化理论中，用个体常元代入个体变元的过程就是例举。通过例举，可以把一个命题函项变成一个命题。

概括

在量化理论中，通过在一个命题的前面添加全称量词和存在量词而形成命题的过程。

量化式

全称量化式(x)Mx

存在量化式($x)MX

推论规则

全称例举(U.I.) (x)(Fx)\Fv

一个命题函项的任何带入例都可以从它的全称量化有效的推出

全称概括(U.G.) Fy\(x)Fx

从一个命题函数项关于一任意选取的个体名称的代入例，可以有效地推出该命题函数项的全称量化式。

存在例举(E.I.) ($x)(Fx)\Fv

在量化理论中，从一个命题函项的存在量化式，可以（基限制）有效地推出关于在其语境中早先没有出现过的任一个体常元，这种推论规则就叫存在例举。

存在概括(E.G.) Fv\($x)Fx

在量化理论中，从一个命题函项的任何为真的代入例，我们可以有效地推出该命题函项的存在量化式，这种推论规则就叫存在概括。

第三部分归纳（形式逻辑）

归纳法是一种推理方法，其基本原理是从个别到一般，通过观察和总结一些具体的事例或经验，归纳出普遍的规律或原理。归纳推理是从具体的、特殊的事物出发，概括出一般性的概念、原则或规律，是一种从具体到抽象的思维过程。归纳法的形式包括简单枚举归纳、完全归纳、科学归纳等。简单枚举归纳是根据一定数量的具体事例，通过观察和比较，归纳出某种一般性的结论；完全归纳则是基于所有可能的情况进行分析和总结；科学归纳则是基于事物之间的因果关系进行归纳推理。

类比推理

概念

类比

通过表明两个（或更多）实体在一个或更多方面是类似的，而在他们之间做的比较。

类比论证

一种归纳论证，即从“两个实体在某些方面类似”的事实，得出“他们在某个（某些）其他方面类似”。

差异性

在一个类比论证中，前提中所引用的实例与结论中所提及的实例之间的不同点。

类比论证的评价

实体数量（样本数）

前提中实例的多样性

相似方面的数量