连续型随机变量

这是一篇关于连续型随机变量的思维导图，许多随机变量的可能取值的个数是不可数的，可以视为一个或多个区间中无穷不可数个点的随机变量，这类变量被称为连续型随机变量。

连续型随机变量

• 5.1 连续型随机变量
  • 5.1.1 连续型随机变量的概念
    • 许多随机变量的可能取值的个数是不可数的，可以视为一个或多个区间中无穷不可数个点的随机变量，这类变量被称为连续型随机变量（continuous random variable）
    • 连续型随机变量的一切可能取值充满某个区间（a，b），即在这个区间内有无穷不可数个数值，因此概率分布不用分布列的形式，而是概率密度函数
  • 5.1.2 连续型随机变量的分布函数
    • 概率密度函数（probability density function，pdf）
    • 连续型随机变量X的分布函数（distribution function）
    • 对任意x1≤x2，，取值于区间[x1,x2]上的X对应的概率是由概率密度曲线f(x)在该区间上所围成的曲边梯形的面积
    • 连续型随机变量的分布函数基本性质
      • F(x)是区间（-∞，+∞）上的连续函数
      • F(x)是不减函数，即对任意实数x1<x2，都有F(x1)<F(x2)
      • 0≤F(x)≤1，F(-∞)=0，F(+∞)=1
  • 5.1.3 连续型随机变量的数字特征
    • 连续型随机变量数字特征的定义和含义完全类似于离散型随机变量，只是在连续型随机变量数学期望的定义中用密度函数f(x)替代分布列{P(xk)}，用积分式代替求和式
    • 设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)
      • 期望
      • 方差
      • 标准差
• 5.2 正态分布（normal distribution）
  • 5.2.1 正态分布的概念
    • 定义
    • 位置参数（location parameter）：期望μ，决定正态分布的中心位置或平均水平
    • 尺度参数（scale parameter）：方差，决定分布的形态。小值对应的正态曲线高而窄，大值对应的正态曲线低而宽
    • 特点
      • f(x)的图形类似于一个“钟形”曲线，曲线关于X=μ对称，并在X=μ时曲线达到最高点，说明变量在μ附近取值最为密集
      • 曲线无论怎样向两侧延伸，都不会与x轴相交，即x轴是它的渐近线
      • 曲线在μ±σ处有拐点，所谓拐点是指曲线的凹凸性发生变化的点
    • 经验法则
      • 约68%个体的取值在区间[μ-σ，μ+σ]之内，即任一个体落入此区间的概率为0.68
      • 约95%个体的取值在区间[μ-1.96σ，μ+1.96σ]之内，即任一个体落入此区间的概率为0.95
      • 约99%个体的取值在区间[μ-2.58σ，μ+2.58σ]之内，即任一个体落入此区间的概率为0.99
  • 5.2.2 标准正态分布
    • 定义：对任一随机变量X~N(μ,σ2)，都可经过线性变换U=(X-μ)/σ得到新随机变量U，称U为标准正态随机变量，表示正态随机变量X和它的期望μ之间以标准差σ为单位的距离，服从期望为0和方差为1的正态分布，此分布称为标准正态分布(standard normal distribution)，记为U~(0,1)
    • 标准正态分布的概率密度函数
    • 特征
      • 曲线关于u=0对称，即φ(u)=φ(-u)，并在u=0处，φ(u)达到最大值
      • 曲线在u=±1处有拐点
      • 曲线和横轴所围的总面积等于1
    • P（a≤X≤b）的计算
    • 经验法则
      • u=1，P（-1≤U≤1）=0.68
      • u=1.96，P（-1.96≤U≤1.96）=0.95
      • u=2.58，P（-2.58≤U≤2.58）=0.99
  • 5.2.3 数据正态性的判定
    • 频数（频率）分布直方图或茎叶图，若数据是近似正态的，则图的形状会与正态曲线相似
    • 正态概率图，若数据是近似正态的，则在P-P图或Q-Q图上散点将会近似地落在一条直线上
      • P-P图：以实际观测值的累积频率（概率）为横坐标，理论分布累积概率为纵坐标绘制的散点图
      • Q-Q图：以实际观测值或其标准正态转换分位数值为横坐标，理论分位数值为纵坐标绘制的散点图
    • 矩法（动差法）：根据矩的原理推导出偏度系数g1和峰度系数g2，它们是判定正态分布的两个专用统计指标
      • 偏度（skewness）系数：用来描述变量取值分布形态的统计量，指分布不对称的方向和程度。g1>0分布为正偏或右偏；g1<0分布为负偏或左偏；g1=0分布为对称
      • 峰度（kurtosis）系数：用来描述变量取值分布形态陡缓程度的统计量，指分布图形的尖峭程度或峰凸程度。g2>0为高峰度，比正态分布的峰陡峭；g2<0为低峰度，比正态分布的峰要平坦；g2=0分布为正态峰
      • g1和g2为样本统计量，存在抽样误差。只有当g1和g2都不显著低偏离0时，才可认为资料近似服从正态分布
• 5.3 正态分布的应用
  • 5.3.1 二项分布的正态近似
    • 如果X~B（n，p），np≥5且nq≥5，则概率P(a≤X≤b)可以被正态分布N（np，npq）曲线下从a-0.5到b+0.5的面积所近似
    • 连续型校正（对任何离散分布用正态近似时都适用）
  • 5.3.2 泊松分布的正态近似：泊松分布在参数λ≥10时，泊松分布近似正态分布，此时泊松分布的期望及方差可作为近似正态分布的期望和方差
  • 5.3.3 医学参考值范围的确定
    • 医学参考值范围（medical reference range）：医学上常要确定某特定的“正常”人群（排除了对所研究指标有影响的疾病和有关因素的特定人群）的解剖、生理、生化指标及组织代谢产物等数据中大多数个体取值的波动范围，称为医学参考值范围
    • 实践中，人们常用某项指标95%个体的取值范围作为该指标的医学参考值范围
    • 制定方法
      • 正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料
        • 单侧(1-α)*100%的界限值为
        • 双侧(1-α)*100%的界限值为
      • 百分位数法：适用于任意分布的资料
        • 双侧95%的医学参考值范围是（P2.5，P97.5）
        • 单下侧界值是P5
        • 单上侧界值是P95