同济版高等数学第二章

这是一篇关于多元函数微分法及其应用的思维导图，主要内容包括：4.多元复合函数的求导法则，3.全微分，2.偏导数，1.平面点集。

多元函数微分法及其应用

• 1.平面点集
  • 二元有序实数组(x,y)的全体,即R＾2=R×R={(x,y)x,y∈R}就表示坐 标平面
  • 1.多元函数的基本概念
    • (1)内点:如果存在点P的某个邻域U(),使得U(p)CE,那么称P为E 内点(如图9-1中,P1为E的内点);
    • (2)外点:如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)∩E=,那么称P为E的外点(如图 9-1中,P2为E的外点);
    • (3)边界点:如果点P的任一邻域内既含有属于E的点,又含有不属于E的点,那么称P为E的边界点(如图9-1中,P3为E的边界点)
    • 聚点:如果对于任意给定的δ>0,点P的去心邻域U(P,δ)内总有E中点那么称P是E的聚点
    • 开集:如果点集E的点都是E的内点,那么称E为开集
    • 闭集:如果点集E的边界OECE,那么称E为闭集.
    • 连通集:如果点集E内任何两点,都可用折线联结起来,且该折线上的点都属于E,那么称E为连通集
    • 区域(或开区域):连通的开集称为区域或开区域
    • 闭区域:开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域
    • 有界集:对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得 EcU(O, r), 其中O是坐标原点,那么称E为有界集
    • 无界集:一个集合如果不是有界集,就称这个集合为无界集 例如,集合{(x,y)1≤x2+y2≤2}是有界闭区域,集合{(x,y)lx+y>0 无界开区域,集合{(x,y)x+y≥0}是无界闭区域
  • 2.多元函数的概念
    • 定义1设D是R2的一个非空子集,称映射f:D→R为定义在D上的二元 性就可得出以下二元函数的定义 函数,通常记为 z=f(x,y),(x,y)∈D 或 z=f(P),P∈D, 其中点集D称为该函数的定义域,x和y称为自变量,z称为因变量
  • 3.多元函数的极限
    • f(x, 定义2设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,Po(x0,y)是D的聚点。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点P(x,y)∈D∩U(P,δ)时,都有 f(P)-Al =⊥f(x,y)-AI <ε 成立,那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(xo,yo)时的极限,记作 limf(x,y) =A或f(x,y)→A((x,y)→(xo,yo)), (x,y)→(x0,y0) 也记作 limf(P)=A或f(P)→A(P→Po) P→Po
    • 必须注意,所谓二重极限存在,是指P(x,y)任何方式趋于Po(xo,yo)时, (x,y)→(0,0)
  • 4.多元函数的连续性
    • 定义3 设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,Po(x0,y0)为D的聚点, 且Po∈D.如果 (x,y)→(xo,yo) 那么称函数f(x,y)在点Po(xo,yo)连续
    • 定义4 设函数f(x,y)的定义域为D,Po(x0,y0)是D的聚点.如果函数 f(x,y)在点Po(xo,yo)不连续,那么称Po(xo,y)为函数f(x,y)的间断点.
    • 性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值.
    • 性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值
    • *性质3(一致连续性定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续
• 2.偏导数
  • 函数z=f(x,y)在点(xo,yo)处对y的偏导数定义为 f(xo,y+△y)-f(xo,yo) lim △y→0 △y 上的多元连
• 3.全微分
  • 定义
    • 定义设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,如果函数在点 (x,y)的全增量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 可表示为 △z=A△x+B△y+o(ρ)
      • ρ=x
  • 定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,那么该函数在 点(x,y)的偏导数一与必定存在,且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为
  • 定理2(充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)连续, 那么函数在该点可微分
  • 偏导数连续，表示函数可微
  • 多元函数
• 4.多元复合函数的求导法则
  • 定理1如果函数u=ψ(t)及v=δ(t都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应 点(u,v)具有连续偏导数,那么复合函数z=ψ[(t),δ(t)]在点t可导,且有：
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