函数

高中数学函数超详细思维导图，包含函数的概念及表示、 单调性与最值、奇偶性、对称性与周期性、函数的图象等。

函数

• 函数的概念及表示
  • 定义
  • 函数三要素
    • 定义域
      • • 寻找限制x取值的条件
        • 非空数集A
          • 分式型函数
            • 分母不为0
          • 偶次方根型函数
            • 奇次方根被开方数∈R
            • 被开方数≥0
          • 对数式
            • 真数＞0
    • 值域
      • • • 值域是与x值对应的y值构成的集合
          • 值域是一定是集合B的子集，不一定是集合B本身
          • 分离常数法
          • 反解法
          • 数形结合法
          • 单调性法
          • 导数法
    • 对应关系
      • 函数的表示法
        • 解析式法
          • 配凑法
          • 换元法
          • 待定系数法
          • 方程思想
        • 图像法
        • 列表法
• 单调性与最值
  • 函数的单调性
    • 定义
      • • • 增函数
        • • 减函数
    • 单调性的判断方法
      • 定义法
      • 图象法
      • 利用已知函数的单调性
      • 导数法
      • 函数在两个不同的区间的单调性相同，一般分开写，不用“，”或“和”连接，不要用∪
    • 单调性的常用结论
      • 增函数+增函数=增函数
        • 增函数-减函数=增函数
      • 减函数+减函数=减函数
        • 减函数-增函数=减函数
    • 复合函数的单调性
      • 同增异减
        • 在公共定义域内
  • 函数的最值
    • 定义
    • 求函数最值的基本方法
      • 函数法
        • 单调性法
        • 图象法
      • 基本不等式法
• 奇偶性、对称性与周期性
  • 奇偶性
    • 定义
      • • 定义域关于原点对称
        • • 奇函数
        • • 偶函数
        • • 既是奇函数又是偶函数
        • • 非奇非偶函数
      • 定义域不关于原点对称
    • 图象特点
      • 奇函数
        • 图象关于原点对称
      • 偶函数
        • 图象关于y轴对称
    • 奇偶性的常用结论
      • 奇函数+奇函数=奇函数
      • 偶函数+偶函数=偶函数
      • 奇函数×奇函数=偶函数
      • 偶函数×偶函数=偶函数
      • 奇函数×偶函数=奇函数
  • 周期性
    • 定义
      • 最小正周期
    • 周期性的常用结论
      • 括号内差为常数是周期性
    • 类周期函数
  • 对称性
    • 一个函数的对称性
      • 括号内和为常数是对称性
    • 两个函数之间的对称性
    • 对称性的常用结论
  • 函数性质的二级结论
    • 奇函数的最值性质
    • 对称性与周期性结合
      • • 对称轴关于对称轴对称形成新的对称轴
      • • 对称点关于对称点对称形成新的对称点
      • • 对称点关于对称轴对称形成新的对称点，对称轴关于对称点对称形成新的对称轴
      • 双对称性产生周期性，相同的对称性（点与点或线与线）周期是间隔的2倍，不同的对称性（点与线）周期是间隔的4倍
    • 函数关于点对称的性质
• 函数的图象
  • 描点法作图
    • 确定函数定义域
    • 化简函数解析式
    • 谈论函数的性质
      • 奇偶性
      • 单调性
      • 周期性
      • 对称性
    • 列表
    • 描点
    • 连线
  • 图象变换法作图
    • • 平移变换
        • 左右平移
        • 上下平移
        • 左加右减，上加下减
      • 伸缩变换
        • 横向伸缩
        • 纵向伸缩
      • 对称变换
        • 关于x轴对称
        • 关于y轴对称
        • 关于原点对称
      • 翻折变换
        • 左右翻折
          • y轴右侧的部分翻折到左侧，原y轴左侧部分去掉，右侧不变
        • 上下翻折
          • x轴下方部分翻折到上方，x轴及上方部分不变
• 函数与方程
  • 函数的零点
    • 概念
    • 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系
  • 函数零点存在定理
    • • 零点存在定理只能判断在开区间内是否有零点，无法判断零点的个数
  • 常用结论
    • 周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点
• • • 互为反函数
• 分段函数
  • 定义域
    • 各段函数定义域的并集
  • 值域
    • 各段函数的值域的并集
  • 对应关系
    • 函数在其定义域的不同的子集上，对应关系不同
• • 可以一对一，多对一，不能一对多
• 非空数集B
• 非空数集A
• 抽象函数的定义域
  • 自变量是x的取值范围，括号内的取值范围相等
• 同一个函数
  • ①定义域相同
  • ②对应关系相同
  • 函数的定义域和对应关系相同，则值域一定相同