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材料力学-单辉祖
这是一篇关于材料力学的思维导图，记录了轴向拉压应变与材料性能、轴向拉压变形、扭转、弯曲内力、弯曲正应力等十六个章节的知识点。
编辑于2021-07-29 15:37:17- 扭转
- 弯曲内力
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材料力学
第一章 绪论
1.研究任务
1. 强度（抵御破坏的能力）
只关注最薄处
2. 刚度（抵抗变形的能力）
3. 稳定性（保持原有平衡）
整体量，不考虑局部削弱
2，研究对象
杠杆：一方向尺寸远大于另一方向尺寸
3.基本假设
1.连续性假设：空间内毫无空隙地充满物质
2.均匀性假设：各个位置的力学性能相同
3.各向同性假设：一个位置的各个方向力学性能相同
4.小变形假设：
将实际材料看做是连续，均匀，各向同性的可变形固体
4.外力&内力
1，外力：静载荷，动载荷（随时间显著变化或各点产生明显加速度的载荷）
2.内力
1. 分类
轴力Fn
剪力Fs
扭矩T
弯矩M
2. 方法：截面法
3.应力&应变
1. 应力P(Mpa)
2. 应变
正应变
角应变（直角改变量）
3. 胡克定律
E 弹性模量
G 切变模量
横向尺寸变化：
拉压杆横截面内原长为a的任意线段，其长度的改变量均为
第二章 轴向拉压应变与材料性能
1.轴力与轴力图
1. 轴力：拉为正，压为负
2. 轴力计算
切开
设正，画图
平衡方程
3. 轴力图
2.拉压杆应力
1. 横截面应力
拉压平面假设：变形后横截面仍保持平行且仍与轴垂直
（拉正压负）
断裂前均可使用，横截面为任意形状，外力作用线必须沿杆轴线
2. 斜截面应力
截面与竖直轴逆时针夹角
3. 圣维南原理
力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布
3.材料拉伸力学性能
1. 低碳钢（塑性材料）
四个阶段
线性：正应变与正应力成正比
屈服：应力不变，变形急剧增大，出现滑移线
塑性应变，不可恢复
硬化：屈服滑移后，呈现继续抵抗变形的能力
弹性应变，可恢复
缩颈：局部显著收缩，最后导致在缩颈处断裂
载荷减小，截面积减小，真实应力逐渐增大
应力特征点
强度极限：材料所能承受最大应力
冷作硬化
OO1属于残余应变（塑性应变） O1O2属于弹性应变 延长率（残余变形/原长）
由于预加塑性变形而是材料的比例极限提高的现象
2. 灰口铸铁（脆性材料）
压缩强度远高于拉伸强度（抗压不抗拉）
压缩破坏方式是剪断
4.应力集中
1. 概念：由于截面急剧变化而导致应力局部增大的现象
2. （板宽b,圆孔直径d)
圆孔半径越小，应力集中因数越大（变化越明显）
3. 影响
塑性材料的静强度问题可不考虑应力集中
脆性材料的强度问题需考虑应力集中
所有材料的疲劳强度问题都需考虑应力集中
疲劳破坏：在循环应力下构件产生可见裂纹或完全断裂的现象
5.强度问题
强度条件
1. 极限应力
塑性：屈服极限
脆性：强度极限
2. 许用应力
n 安全系数
3.
校核强度
选择截面尺寸
确定承载能力
重量最轻——体积最小V=A*l
等强原则：每根杆都达到许用应力
第三章 轴向拉压变形
1.拉压杆的变形与叠加原理
1. 轴向变形
常轴力，等直杆
变截面，变截面杆
2. 叠加原理
几个载荷同时作用产生的效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和
不适用于克拉伯龙定理
弹性材料：各载荷所作之功并非仅与该载荷所引起位移有关
适用范围
材料线弹性
小变形
结构几何线性
2.桁架节点位移
切线代圆弧：静不定：先画变形再画受力
小变形概念
3.静定与静不定
1. 静定：未知方程数=平衡方程数
2. 静不定：未知力的数>平衡方程数
求解
平衡方程（静力学）
变形协调条件（几何）
力与变形间物理关系（胡克定律）
第六章弯曲应力推导
3. 静不定度
4.轴向拉压应变能
1. 应变能密度
2. 应变能
5.装配应力和热应力
从单纯的外载静不定问题到载荷、预应力和热应力耦合的静不定问题 求解唯一不同点在于
叠加原理
第四章 扭转
1. 扭力偶矩与扭矩
扭力偶矩
扭矩
右手螺旋定则，矢量方向和横截面外法线正向一致的扭矩为正
对截面内任意一点的矩朝外法线方向
扭矩图
切应力互等定理
在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均离开或指向交线
2. 圆轴扭转
扭转平面假设
圆轴扭转时，各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转
扭转应力
几何方面
物理方面
静力学方面
扭转变形
等直杆
变截面杆
Ip
圆截面
空心圆
3. 圆轴扭转合理强度设计
扭转失效
塑性：受扭，出现滑移线，沿横截面剪断
扭转屈服应力
脆性：受扭，沿45°倾角断裂
扭转强度极限
扭转极限应力
扭转强度条件
刚度条件
许用扭转角
合理设计
空心圆
减小Wp
采用变截面轴和阶梯形轴
合理分配载荷
减小T
减小应力集中
减少截面尺寸突变
若截面尺寸突变，配置过渡圆角
4. 薄壁管扭转
薄壁圆轴的扭转
薄壁：
适用所有壁厚为匀质的受扭薄壁管
薄壁圆轴
闭口薄壁管
开口薄壁杆扭转
薄壁轴合理设计
闭口比开口好
等壁厚比变壁厚好
强度只看最薄的地方
圆形比非圆形好
周长相同时，圆面积最大
正方形比矩形好
第五章 弯曲内力
1. 梁的类型
简支梁
悬臂梁
外伸梁
2. 梁的内力
剪力
使微段有沿顺时针方向转动的趋势
弯矩
是横截面顶部受压为正
3. 梁的内力弯矩图
顺上逆下
要求
载荷、剪力、弯矩图对齐
标注极值、正负
工具作图
剪力、弯矩与载荷间微分关系
微分关系确定线性
Fs斜率=q, M斜率=Fs
q>0, Fs上斜；q<0，Fs下斜；q=0，Fs水平
Fs>0,M上斜；Fs<0,M下斜；Fs=0， M水平
积分关系确定各段起点、终点值
q的符号确定M图的凹凸性
q>0,M凹； q<0, M凸；q=0,M 直线
喻打伞
快速校核
画完图后回归原点
铰链处弯矩必为0
梁间较仅能传递力，不能传递力偶矩
4. 刚架与曲梁内力
轴力、扭矩、剪力的符号具有坐标不变性
轴力、扭矩剪力符号必须标出，弯矩符号不标出
弯矩的符号坐标相关
弯矩画在受压一侧
第六章 弯曲正应力
基本概念
对称弯曲
对称截面梁在纵向对称面承受横向外力的受力和变形形式
纯弯曲：梁或梁端各横截面剪力为0，弯矩为常数
基本假设
弯曲平面假设
横截面仍保持平面，且与纵线正交
单向受力假设
梁内各纵向"纤维“仅承受单向拉应力和压应力
纯弯曲时，所有横截面都保持平面，并绕中性轴作相对转动，纵向“纤维”均处于单向受力状态
中性层
弯曲时梁内之纵向长度不变层
中性轴
中性层与横截面
正应力
几何方面
物理方面
静力学
最大弯曲正应力
弯曲切应力
矩形梁
圆形梁
工形梁
箱型梁
剪流
形象确定τ的方向
强度计算
step1 内力分析：确定危险平面
画剪力、弯矩图
step2 危险截面应力分析：确定危险点
正应力危险截面是梁端截面 切应力危险截面是梁中截面
step3 设计截面
按正应力强度条件设计截面
由切应力强度条件校核
危险点处应力状态
合理设计
正应力分布
矩形梁竖放不横放
增大Wz，减小应力
截面尽可能远离中性轴
转轴公式
材料性质
塑性：中性轴为对称轴
脆性：中性轴靠近受拉一侧
切应力
腹板有一定厚度δ
减少应力集中
等强原则
受力：合理配置约束、加载方式
切掉远离中性轴的部分材料，可能会提高整体的强度，但是只会降低材料的刚度
附录A 截面的几何性质
1. 静矩
截面对坐标轴的静矩
形心
匀质等厚度板
组合截面
2. 极惯性矩
圆截面
空心圆
薄壁圆截面
3. 惯性矩
矩形
圆形
空心圆
薄壁圆
三角形
4. 平行轴定理
惯性矩平行轴定理
a：单独体形心到Z0的距离
5. 主轴与主惯性矩
主轴：满足惯性积为零的坐标轴
对称轴
主惯性距：对主轴的惯性矩
第七章 弯曲变形
1. 挠曲轴近似微分方程
ω向上为正，上压下拉为正
弯矩图过零点处为挠曲轴拐点
2. 计算梁位移
叠加法
静定结构和静不定结构
小变形
线弹性
分解载荷
逐段软化法
静定结构
对静不定可解除约束
小变形
线弹性/非线弹性/非弹性
分解梁
3. 附录E
4. 合理设计
强度与材料σs,σb有关，刚度与E有关
高强度钢一般不能提高刚度
刚度对梁长度跨度更敏感
第八章 应力应变状态分析
概念
应力状态：构件内一点处所有微截面的应力总况或集合
应变状态：构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合
平面应力状态
斜截面应力一般公式 平面应力转轴公式
正应力以拉伸为正，切应力以企图使微体沿顺时针方向旋转为正 α以逆时针为正
任意两互垂截面的正应力之和为常数
适用于线弹性问题，也适用于非线弹性问题，与材料性能无关
应力圆
基本概念
圆心
半径
点面对应
微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端
两倍角关系
微体平行对边，对应应力圆同一点
应力圆极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力
圆心±半径
α的正负判断：右侧使微体顺时针转动在第四象限，否则在第一象限
最大与最小切应力的所在截面垂直，且与正应力极值截面成45°夹角
主应力
切应力为零的截面
分类
单向应力状态
仅一个主应力不为零
双向或复杂应力状态
纯剪应力：二向应力
纯剪切状态的最大应力圆
圆心在原点，半径为τ
复杂应力状态
三向应力圆
点落在阴影区内
步骤
找主平面
找xy平面
两两为半径画圆，共三个
平面应变状态
应变只发生一个平面内 但是在不受力的面是有应变的
应变转轴公式
任意两互垂方位的切应变数值相等，正负相异
第十六章 疲劳与断裂
交变应力
应力比（循环特征）
r=-1：对称循环应力
r=0:脉动循环应力
平均应力
应力幅
疲劳破坏
含义
在循环应力作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象
特点
破坏时应力低于材料强度极限，甚至低于屈服极限
需经应力的多次循环才出现，是损失积累的结果
即使是塑性材料，破坏时也无明显塑性变形，呈脆性断裂
断口一般明显分为光滑区与粗糙区
破坏机制
晶界滑移→微裂纹→裂纹缓慢扩展（光滑区）→快速扩展（脆断）
S-N曲线 应力-寿命曲线
含义
以最大正应力σ为纵坐标，疲劳寿命对数值lgN为横坐标
持久极限
材料能经受“无限次”应力循环而不发生疲劳破坏的应力值
是S-N水平渐进线的纵坐标所对应应力
影响构件疲劳极限的因素
构件外形
增大圆周半径
减小相应杆段尺寸差别
将必要孔与沟槽应用在低应力区
采用凹槽与卸荷槽
构件截面尺寸
试样的直径d越大，疲劳极限降低的越多（更容易疲劳）
前提：最大应力相同
表面加工质量
表面加工质量越差，疲劳极限降低越多
第十五章 动载荷
含义
静载荷
随时间变化缓慢或者不变化的载荷
动载荷
随时间变化显著的载荷，且各质点产生明显加速度
类型
定常加速运动（惯性力）
惯性力引起的应力
达朗贝尔原理
动静法
加速度瞬时达到极大值（载荷突然施加）
冲击应力分析
简化假设
冲击物为刚体，被冲击物为线弹性体
冲击物与被冲击物接触后始终保持解触
忽略应力波，冲击变形瞬时传遍整个构件
冲击过程中的能量损失不计
公式
最大冲击位移
最大冲击载荷
最大冲击应力
kd动荷系数值
竖直下落
水平冲击
减小冲击载荷、冲击应力
结论：减小被冲击构件或系统刚度
措施：配置缓冲弹簧或弹性垫片，增大构件的柔度
应用：车辆减振系统
加速度随时间周期性变化（构件振动）
第十四章 静不定问题的分析
分类
外力静不定
内力静不定
单闭口的平面刚架或曲杆内3度静不定
分析静不定问题基本方法
位移法
力法
相当系统
解除多余约束并代之以力
基本系统
解除多余约束的静定结构
力法分析
判断k
得相当系统
建立变形协调条件，确定多余未知力
通过相当系统计算
对称与反对称载荷的静不定问题
对称结构
载荷分解法
实际载荷=对称载荷+反对称载荷
平面载荷
对称载荷
沿对称面对折后，载荷完全重合
内力只存在 M,Fn
作用特点：Fs=0, Δθ=0,Δx=0
反对称载荷
沿对称面对折后，载荷方向相反
内力只存在：Fs
作用特点：M=0，Fn=0，Δy=0
空间载荷
面内内力=0
My=0 Fn=0 Fsy=0
面外内力
Mz, T, Fsz
第十三章 能量法
外力功与应变能
功
恒力
重力 W=mgh
力矩 W=Mφ
线弹性体
弹簧 W=1/2*k(x1²-x0²）
克拉柏龙定理
外力功不可用叠加法求解 因为位移是所有力综合作用的结果
应变能
杆
轴
梁
可用叠加法
互等定理
功互等定理
i-发生位移的点 j-引起位移的载荷
位移互等定理
（F1=F2）
卡氏定理
卡氏第二定理(线弹性体）
（线弹性体）
卡氏第一定理
(均适用）
克罗第-恩格斯定理
附加力法
子主题
同名载荷
方法：重新命名
几何意义:2ΔA+ΔB
虚功原理
刚体虚功原理
处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零
变形体虚功原理
可能内力
满足平衡方程与经历边界条件的内力
静定系统，可能内力唯一，为真实内力
静不定系统的可能内力不唯一，需满足边界条件
外力在虚位移做功=内力在虚变形做功
单位载荷法
含义
由实际载荷引起的实际位移作为虚位移，实际变形作为虚变形
虚拟单位载荷当作实际外载，所引起的内力当作可能内力
(任意结构）
(线弹性体）
杆
图乘法
（ω: M(x)的面积； Mc: M(x)形心对应单位载荷的M值）
第十二章 剪心
剪心
定义
剪力Fsy与Fsz作用线的交点
当横向外力通过截面剪心时，梁仅弯不剪
性质
剪心位置，仅与截面尺寸与形状有关，与外力无关，属于几何性质
典型截面剪心
当截面具有一个对称轴时，剪心必位于该对称轴
双对称轴截面，剪心必与形心重合
第十一章 压杆稳定
稳定性
构件保持其原有平衡形式的能力
受拉
刚度校核
受压
稳定性校核
压杆分类
惯性半径
柔度
临界应力总图
临界应力
材料常数
大柔度杆
欧拉公式
两端铰支
μ=1
一端固定一端自由
μ=2
两端固定
μ=0.5
一端固定一端铰支
μ=0.7
欧拉公式适用情况： 1.理想均质材料 2.线弹性 3.小挠度 4.压力沿轴线
一端固定一端可左右晃动
μ=1
中柔度杆
经验公式
小柔度杆
压杆稳定条件
压杆合理设计
合理截面设计
提高I值
合理选材
改变E值
高强度钢不提高刚度和稳定性
合理安排约束
增加约束，Fcr提高n²
稳定性是整体量，不考虑局部削弱
第十章 组合变形
组合变形强度计算
1.外力分解
平行轴向力向轴线简化
垂直轴向力向剪心简化
2.内力计算
轴力，剪力，弯矩
弯矩合成
3.应力分析
拉压
扭转
弯曲
4.强度分析
弯压组合
弯扭组合
第九章 强度理论
关于断裂的强度理论
第一强度理论
最大拉应力
第二强度理论
最大拉应变
关于屈服的强度理论
第三强度理论
最大切应力
第四强度理论
畸变能
强度理论的应用
单向和纯剪切
弯扭
拉弯扭组合
薄壁圆筒强度
轴向
周向
径向