导图社区 《专题四：行测之数量》
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4.行测之数量
数学运算
三大方法
代入排除法
范围
看题型
多位数
涉及到位数变化，如“个位”“百位”
Ps
当条件提及个位、尾数时，一般从验证尾数入手，优先观察尾数5或0
不定方程
未知数个数多余方程个数
余数
出现“剩”“余”“缺”等关键字、平均分组问题
ex.
Q：若每组有x人，分成m组，会多余y人；若分成（m-1）组，则人数刚好平均分配。问有多少人
A：答案为x（每组人数）+1（余数）=（x+1）的倍数（一般是平方）
年龄
涉及到年龄问题
年龄=当年年份—出生年份，出生当年看作0岁
看选项
选项为一组数
可转化为一组数
剩两项
剩二代一
方法
优先排除
尾数
奇偶
倍数
直接带入
最值
ex.问最小值，先代入最小选项
好算
ex.整百、整千
居中
ex.年均增长率的计算
倍数特性法
基础知识（整除型）
原理
若 A=B*C（B、C 均为整数）→则A 既能被 B 整除，且 A 能被 C 整除
即直接看倍数关系
题型
①平均分配（物品/人数）
②三量关系
整除判定法则
1.一般用口诀法
3 和 9 看各位数字之和
2 和 5 看末一位
4 和 25 看末两位
2.没口诀的用拆分法
判断 x/7 是否整除，把 x 拆成 7 的倍数±零头，只看零头能否被 7 整除。
3.复杂倍数用因式分解
判断 x/12 是否整除，只需判断 x/3 且 x/4 能整除
注意分解后的两个数必须互质
小知识
等差数列总和=中间项*个数
余数型
多退少补
答案=ax±b→答案∓b=ax，ax一定能被a整除
则答案∓b能被a整除
若同时满足：答案=ax±b；答案=cx±b
则答案∓b能被a*c整除
比例型
若A/B=m/n（m 与 n 互质→m 和 n 之间没有公约数）
则
（1）A 是 m 的倍数
（2）B 是 n 的倍数
（3）A+B 是 m+n 的倍数
（4）A-B 是 m-n 的倍数
证明
已知甲人数/乙人数=3/5。
正常情况下甲人数和乙人数不可能是 3人和 5 人，实际人数肯定比 3 和 5 大，为 3N、5N，即甲人数/乙人数=3/5（约分后的比）=3N/5N（实际人数比），N 一定为整数，甲人数是 3N
→无论 N 是几，3N是 3 的倍数；同理，乙人数是 5N→5 的倍数；甲乙人数和是 3N+5N=8N→8 的倍数；甲乙人数差是 5N-3N=2N→2 的倍数
方程法
普通方程
设未知数
设小不设大（减少分数计算）
设中间量（方便列式）
按比例设
问谁设谁
ax+by=M （a、b为系数，M为常数）
代入排除
系数一奇一偶
→奇偶特性
即忽略偶数倍，剩下的部分奇偶性相同
系数与常数有公因子
→倍数特性
即当 a 或 b 与 M 有公因子（公约数，1 不算）时
系数尾数为0或5
→尾数特性
直接带入选项
六大题型
工程问题
给具体单位型
一般给的效率、总量具体
总量=效率*时间 （W=P*T） 缺哪个设哪个
找等量关系方程
给完工时间型
赋总量（一般设为完工时间的公倍数）
普通型：甲单独施工需要m天完工，乙单独施工需要n天完成
→则W=m*n
合作型：若题目中完工时间只有1个 → 则可以把总量设为1
eg.甲乙合作完工需要3天 →则P合=1/3
交替型：“合作”≠“交替”=循环 → 一个循环共多少天，各自多少天
eg.按照甲乙丙顺序交替进行每人做一天 →则一个循环3天，各自占1天
算效率（效率=总量/时间）
列方程
给效率比例型
赋效率（满足比例即可）
效率比例形式
直接给→直接赋
eg.甲乙的效率比为3：4
间接给→按关系赋
工作量相等，效率与时间成反比
eg.甲3天的工作量等于乙4天的工作量
时间相相等，效率与工作量成正比
eg.相同的工作，当甲完成10%时，乙完成15%
给具体人数或机器数→设为1
给具体人数或机器数，而不是甲乙丙工程队
10人或者20台机器或者35人收麦子，则赋值每人或者每台机器效率为1
算总量（总量=效率*时间）
经济利润
基础经济
公式
利润=售价-进价
利润率=利润/进价
售价=进价*（1+利润率）
折扣=折后价/折前价
总价=单价*数量
总利润=单个利润*数量=总售价-总进价
有具体钱、数量
赋值法
①给比例，求比例
eg.今年销售额比去年增加35%，利润上涨20%
一般赋值成本
②三量只知其一
工程量=效率*时间
路程=速度*时间
分段计费
ps:数字比较小或者有上限，可以联系代入法
①先按标准分开算
②计算后汇总
函数最值
特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？
方法（两点式）
①设提价次数为x，列出函数
②令函数=0，解得 x₁、x₂
令函数=0，则令两个括号分别为0
③当x=(x₁+x₂)/2 时，该函数取得最值
一升一降为为此函数，开口向下的抛物线，有最高点，对称；则x轴上的对称两点x₁、x₂，x=（x₁+x₂)/2为对称轴；令y=0，解得x₁、x₂
ps:
若说有8个档次，解得x=10；取不到10，则取7。提七次，共8个档次
行程问题
普通行程
平均速度
平均速度=总路程/时间
等距离平均速度=2 V₁V₂/(V₁+V₂)
等距离两段、直线往返、上下坡往返
ps猜题：三种运动过程，直接把中间速度当成平均速度用
火车通桥
火车完全通过桥
开始火车不在桥，最后车尾通过桥
①V*T=桥长+车长
火车完全在桥上
开始火车尾在桥上，最后车头抵达桥头
②V*T=桥长-车长
相对行程
相遇追及
相遇（反向）
S和=V和*T遇
追及（同向）
S差=V差*T追
多次运动（环形）
同点出发
环形相遇/追及n次
环形第n次相遇：S和=n圈=V和*T遇
环形第n次追及：S差=n圈=V差*T遇
不同点出发
S和/差=（n-1）圈+起点之间的距离
流水行船
顺水
V顺=V船+V水
S=(V船+V水)*T顺
逆水
V逆=V船-V水
S=(V船-V水)*T逆
船速
=静水速度
V船=(V船+V逆)/2
水速
=漂流速度
V水=(V船-V逆)/2
几何问题
公式运用
基本公式
周长
正方形：C=4a
长方形：C=a+b
圆形：C=2πr
弧长：C=2πr*n°/360°
面积
正方形：S=a²
长方形：S=ab
三角形：S=ah/2
圆形：S=πr²
扇形：S=πr²*n°/360°
梯形：S=(a+b)*h/2
菱形：S=对角线乘积/2
表面积
正方体：S=6a²
长方体：S=2(ab+ac+bc)
圆柱体：S=2πr²+2πrh
球体：S=4πr²
体积
正方体：V=a³
长方体：V=abc
柱体：V=Sh
锥体：V=Sh/3
球体：S=4πr³
规则图形用公式
不规则图形转化为规则图形，再用公式
三角形相关
基础知识
三边关系
两边之和＞第三边
两边之差＜第三边
勾股定理
基本
a²+b²=c²
特殊勾股数
放大倍数同样满足勾股定理，如将(3、4、5)放大，(30、40、50）、（3000、4000、5000）等
3、4、5
6、8、10
5、12、13
7、24、25
特殊三角形
30°、60°、90°三边比例=1：√3：2
45°、45°、90°三边比例=1：1：√2
120°的等腰三角形三边比例=1：1：√3
面积相关
底（高）相等的三角形
面积比=高（底）之比
S₁：S₂=h₁：h₂（S₁：S₂=a₁：a₂）
相似三角形
三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半
对应边长之比=相似比
面积比=相似比的平方
ps
任意四边形蝴蝶定理
在一个任意四边形中，对角线交点 0，若 0A、OB、OC、OD 分别为 a、b、c、d，
则四个三角形面积之比依次为 ab: bc: cd: da
梯形蝴蝶定理
在一个梯形中，对角线交点 0，若上底:下底=a: b;
则四个三角形面积之比为上: 下: 左: 右=a': b: ab: ab
容斥
考察类型
公式法
两集合
A+B-A∩B=总数-都不
三集合
标准型
A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C-A∩B∩C=总数-都不
非标准型
A+B+C-满足2项-2*满足3项=总数-都不
画图法
（1）画圈圈，标数据
（2）从里到外，注意去重
方法选择
题目中所给所求都是公式中的一部分
题目中所给所求公式里没有，或者公式法不好用（往往是出现只满足一个条件）
排列组合与概率
排列组合
基础概念
通过造句区分
分类用加法（要么……要么……）
分步用乘法（既……又……）
通过举例区分
有序用排列A（不可互换）
A(n,m)=从n开始往下乘m个数
无序用组合C（可以互换）
C(n,m)=从n开始往下乘m个数/从m开始往下乘到1
经典题型
①情况数少：枚举法，依照排序
(可以由大到小，也可以由小到大)
②必须相邻: 捆绑法，先捆再排，考查最多
③不能相邻:插空法，先排再插
④因为“古典概型难无极限”，所以绝大多数题目中“必须相邻”和“不能相邻”只会考查 1种，经典题型例 4 已经是最难的题目
正难反易
总情况数-反面情况数
少数题目才能这样做，反面情况一定特别简单;如果反面情况比较复杂，就没有必要反面解题
概率
给概率求概率
分类用加法；分步用乘法
给情况求概率
满足条件的情况数/总的情况数
1-反面情况概率
浓度
等差数列
数字推理
