高等数学

这是一篇关于高等数学的思维导图，主要内容包括：常微分方程，曲线积分与曲面积分，重积分，多元函数微分学及其应用，向量代数与空间解析几何。

高等数学

向量代数与空间解析几何：

向量及其运算

向量的线性运算；

两向量的数量积；

两向量的向量积；

三向量的混合积（可交换次序）；

空间解析几何

平面与直线；

平面方程

点法式

一般式

截距式

直线方程

点向式

参数式

一般式

平面与直线之间的关系

两平面的夹角

点到平面的距离

两直线的夹角

直线与平面的夹角

点到直线的距离

两直线间的最短距离

平面束方程

空间曲线与空间曲面

空间曲面

旋转曲面

旋转轴不变，替换另一个坐标

柱面方程

二次曲面

确认二次曲面的形状，用平行截割法，通过截痕判断曲面类型

球面

椭球面

单叶双曲面

双叶双曲面

椭圆锥面

椭圆抛物面

双曲抛物面

椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面

空间曲线

空间曲线的一般方程

空间曲线的参数方程

曲面的参数方程

空间曲线在坐标平面上的投影

消去对应坐标（x，y，z轴）

多元函数微分学及其应用：

平面点集与多元函数

多元函数的定义

多元函数的极限与连续性

二元函数极限

从多个方向逼近 极限存在及左右极限想等且等于一个确定的函数值

多元函数的连续性

有界性定理

最大值最小值定理

介值定理

一致连续性定理（证明题）

全微分与偏导数

全微分定义

偏导数

将其他自变量看作常数，求导

求分界点和不连续点的偏导数要用定义求

可微的条件

必要条件

Δz-dz是ρ的高阶无穷小

充分条件

二阶偏导数连续

高阶偏导数

二阶混合偏导数连续，混合导相等

多元复合函数的微分法

链式法则

全微分形式不变性

隐函数的微分法

一个方程情形

隐函数存在定理

方程组的情形

未知数-方程数＝自由变量的数量

解法

方程组两式左右同时对x（y）求偏导，解方程（消元/克莱姆法则）

全微分形式不变性（复杂的复合关系下优先）

反函数组定理

方向导数与梯度

方向导数的定义与计算

求偏导，求l的方向余弦，点乘

梯度

方向导数的最值是梯度向量膜长的±

微分法在几何上的应用

空间曲线的切线和法向量

求切向量

参数方程直接求

一般方程

将x视为参数

空间曲面的切平面和法线

求法向量

分别求一阶偏导数

多元函数的极值

无条件极值问题

多元函数极值的必要条件

一阶偏导数相等且为0

多元函数极值的充分条件

有条件极值问题

拉格朗日数乘法

构造拉格朗日函数

目标函数+λ约束条件

求函数驻点

二元函数的泰勒公式

重积分：

二重积分

二重积分的概念及性质

二重积分的计算

对称性

一般对称性

积分区域关于坐标轴对称

被积函数的奇偶性

直角坐标系

极坐标系（投影面为圆）

二重积分的一般变量代换

简化区域

简化被积式

三重积分

三重积分的概念和性质

三重积分的计算

对称性

一般对称性

积分区域关于坐标系对称

被积函数的奇偶性

轮换对称性

直角坐标系

坐标面投影法（穿线法）

切片法

柱面坐标系

球面坐标系

重积分的应用

曲面的面积

质心

转动惯量

引力问题

曲线积分与曲面积分：

曲线积分

第一型曲线积分

概念及性质

对弧长的曲线积分

积分与曲线方向无关

第一型曲线积分的计算

参数方程

类比弧长积分

第二型曲线积分

对坐标的曲线积分

关注曲线方向

第二型曲线积分的概念及性质

第二型曲线积分的计算

参数方程

格林公式

积分与路径无关的条件

积分区域内无奇点

一般应用为曲线积分转为二重积分

一二型曲线积分的变换公式

曲面积分

第一型曲面积分

概念及性质

对曲面面积的积分

与曲面方向无关

第二型曲面积分的计算

一投二代三换

类比面积积分

第二型曲面积分

对坐标的曲面积分

关注曲面方向

第二型曲面积分的性质和概念

第二型曲面积分的计算

一投二代三定号

合一投影法

全转化为xoy面的曲面积分

高斯公式

曲面外侧

一般应用为曲面积分转化为三重积分

一二型曲面积分的变换公式

斯托克斯公式

一般应用为线积分转化为面积分

利用行列式记忆转化公式

常微分方程：

可变量分离的微分方程

直接分离变量

齐次方程（y/x形式）

可化为齐次方程的方程

一阶线性微分方程

非齐次线性方程的通解（推荐）

常数变易法

伯努利方程

构造一阶线性方程

全微分方程

全微分方程的充要条件

解法

凑微分法（积分因子）

常见积分因子

是否有积分因子的判断条件

积分与路径无关

构造积分曲线，进行积分

设u(x,y)，通过已知条件求解

类比于复变函数调和函数解法（不完全一致）

常系数线性微分方程

常系数齐次线性微分方程

单根，重根，虚根对应形式

常系数非齐次线性微分方程

解法

求齐次时特征方程，确定特征根和齐次通解

对应两种形式 判断重根次数

设特解形式（两种）

带入求解

非齐次通解＝齐次通解+非齐次一个特解

高阶线性微分方程

齐次方程和非齐次方程的叠加性