第三章 微分中值定理及导数应用

武忠祥老师强化阶段题型整理，参考老师课程讲解的笔记；在期末复习的时候非常好用~有需要的赶紧收藏吧！

第三章 微分中值定理及导数应用

微分中值定理

费马引理

f(x)在x0可导且f(x)在x0取得极值，则f`(x0)=0

罗尔定理

f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，f(a)=f(b) -> 存在ε使得f`(ε)=0

拉格朗日中值定理

f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导 -> f(b)-f(a)=f`(ε)(b-a)

柯西中值定理

f(x)和F(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，且F`(x)在(a,b)内每一点处都不为0 -> f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f`(ε)/F`(ε)

泰勒公式

皮亚诺余项

拉格朗日余项

相同点：1.多项式逼近一般函数 2.联系函数与高阶导数 不同点：1.条件不同 2.余项不同 皮：局部（极限，极值） 拉：整体（最值，不等式）

导数应用

单调性

[a,b]连续，(a,b)可导

f`(x)>0，则单增

f`(x)<0，则单减

极值

必要条件

f(x)在x0可导，若f(x0)为极值点，则f`(x0)=0

驻点：导数为0

第一充分条件

设y=f(x)在点x0的某去心邻域可导，且f`(x0)=0

左右导数异号

左大右小为极大

左小右大为极小

左右导数同号

不为极值点

第二充分条件

y=f(x)在x0二阶可导，且f`(x0)=0

若f``(x0)<0则为极大

若f``(x0)>0则为极小

若f``(x0)=0则无法判定

最大最小值

第一步：求出f(x)在(a,b)内的驻点和不可导点

第二布：求出点和区间端点a,b的函数值

第三步：比较大小，最大为最大值，最小为最小值

凹凸性

定理

设y=f(x)在[a,b]连续，(a,b)二阶可导

f``(x)>0为凹

f``(x)<0为凸

拐点

凹与凸的分界点

必要条件

二阶导=0

第一充分条件

左右异号为拐点

左右同号不为拐点

第二充分条件

三阶可导

三阶导不为0是拐点

三阶导为0不能判定是拐点

渐近线

水平渐近线

x趋近于正/负无穷时极限等于A，则y=A是水平渐近线

垂直渐近线

x趋近x0时极限为无限，则x=x0时垂直渐近线

斜渐近线

x趋近于正/负无穷时，f(x)/x=a，且(f(x)-ax)=b，则y=ax+b为斜渐近线

常考题型

求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点

求渐近线

斜渐近线技巧：f(x)=ax+b+ɑ(x)，其中x趋近无穷时ɑ(x)=0，则直线y=ax+b为f(x)的斜渐近线

方程的根

存在性

零点定理

罗尔定理

个数

单调性

不等式的证明

运用中值定理/单调性

中值定理证明题

条件：函数值，结论：导数值 -> 拉格朗日中值定理