导图社区 第十章 无穷级数
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第十章 无穷级数
易混淆概念
部分和数列、无穷级数、桥梁(极限)
    部分和数列的极限--得出->无穷级数的和
级数的敛散性取决于部分和的极限是否存在(定义)
已知敛散性且常用的级数（易忘记）
p级数
p≤1 发散
p = 1 调和级数
p＞1 收敛
等比级数
q≥1 发散
q＜1 收敛
记忆技巧
等比级数  p级数（已知调和级数发散-->比较审敛法） 
幂级数与傅里叶级数
计算技巧
三角函数系的正交性
  
已知幂级数展开的函数(必记)
1/(1-x)、e^x、sinx
相同点
复杂量->简单量叠加
不同点
运用范围
幂级数——数值运算、分析运算（求导求积分）
傅里叶级数——研究周期性变化的量
条件
幂级数——f(x)任意阶可导
傅里叶级数——f(x)连续或有有限个第一类间断点
幂级数(难点)
基本概念
定义

按升幂排序
每一项都是关于x的幂的函数
收敛域
级数收敛点的全体
如何研究
先求出幂级数的收敛半径
再研究收敛区间端点的敛散性
阿贝尔定理
点x0收敛，则以原点作关于点x0的对称区间内部所有点均绝对收敛
点x0发散，则以原点作关于点x0的对称区间外部所有点均发散
收敛性的可能情况
仅在x=0处收敛
对任何x∈(-∞，+∞)都收敛
既有收敛又有发散
收敛半径
求取方法
阿贝尔定理（没有给出幂级数的系数）
幂级数的系数求取（注意加绝对值）
注意
极限存在-->收敛半径的值
收敛半径的值--//不能--->左端极限存在
级数若缺项，则收敛半径R需开根号
推论
两个幂级数若系数一样，则它们收敛域一样（收敛半径+收敛区间）
收敛区间只考虑开区间，而收敛域则需考虑收敛区间端点+收敛区间
性质
有理运算性质
分析性质
前提
和函数S(x)在收敛区间内(-R,+R)
和函数S(x)在该区间内连续
和函数S(x)在该区间内可导，且可逐项求导
和函数S(x)在该区间内可积，且可逐项积分
逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径
幂级数在点x=x0处条件收敛->该点必为幂级数收敛区间一个端点
函数的幂级数展开
研究原因
幂级数在其收敛域内和函数具有很好的性质
是否能将函数展开成幂级数
利用在收敛域幂级数和函数性质来对函数处理（更简单）
研究问题
能否展开(有没有一个幂级数能与函数f(x)划等号)
能展开，则幂级数展开公式是什么(先研究)
若函数能展开成幂级数，则该幂级数必定为函数的泰勒级数（待定系数法证明而得）  
定理
f(x)若能展开成幂级数，则该幂级数只能为f(x)的泰勒级数
f(x)n阶拉格朗日余项Rn(x)->0(n->∞)<->f(x)能展开为泰勒级数
两种方法
直接展开法
求f(x)在x=x0处的泰勒级数展开式
求f(x)在x0的各阶导数，并写出f(x)在x=x0处的泰勒级数
考察n阶拉格朗日余项=0(n->∞)是否成立
间接展开法
利用已知幂级数展开的函数,求所给函数展开式
利用幂级数的性质(四则运算、逐项求导、逐项积分)及变量代换
泰勒级数与泰勒公式
泰勒公式
f（x）= n项求和+拉格朗日余项
泰勒级数
无穷级数
余项->0(n->∞)，无穷级数的前n项和收敛于f（x） 说明f(x)为对应泰勒级数的和函数（f(x）能展开为泰勒级数)
幂级数求和
根据已有公式逐项求导逐项求积分
技巧
将所求幂级数展开（写几项看看），对比已有和函数的幂级数展开式
与现有公式对照，凑成现有公式(对号入座)
傅里叶级数
重要概念
傅里叶系数、傅里叶级数
正弦级数、余弦级数
 
周期为2l的函数的展开（记忆）
周期延拓
函数在某一关于原定对称的区间[-l,l]内有定义，则对其进行周期延拓,使它拓广成周期为2l的周期函数F(x),在将F(x)展开成傅里叶级数，最先限制x在（-l,+l）内，此时F(x)恒等于f(x)，这样就可以求得f(x)的傅里叶级数展开式，也由此得到傅里叶级数在区间端点的收敛值 
傅里叶展开
对定义在任意区间上周期为2l的函数f(x)进行傅里叶级数展开
为了研究方便，一般只取关于原点对称的且长度为2l的区间[-l,+l]进行研究，其余区间根据周期延拓即可得到相应结论
展开步骤
1. 算系数，写出傅里叶级数F(x)
2. 根据收敛定理判断f(x)=F(x)的定义域
对延拓后的函数使用 拓广的周期函数在一个区间上有有限点不连续  拓广的周期函数在一个区间上每一点都连续 
连续点
F(x) = f(x)
间断点
F(x) = 1/2[f(x-0)+f(x+0)](区间内部的点)
F(x) = 1/2[f(a+0)+f(b-0)](区间[a,b]端点)
左端点右极限和右端点左极限的算术平均值（/2）
狄利克雷收敛定理
收敛条件
三角级数收敛于f(x)（f(x)为其展开的傅里叶级数的和函数）
f(x)连续或具有有限个第一类间断点
f(x)最多只有有限个极值点（不作无限次振荡）
傅里叶级数的收敛值(和函数取值)
F(x) = 1/2[f(x-0)+f(x+0)]
区间（一个周期）端点
在[0,pi]上展开为正弦或余弦
I. 算系数，写傅里叶级数
步骤
1. 对函数f(x)进行奇延拓或偶延拓
2. 将延拓后的函数展开为傅里叶级数-->正弦级数/余弦级数
3. 限制x在[0,pi]上，此时F(x)恒等于f(x)
做题方法
一步到位
展为正弦(奇函数展开方式)
展为余弦(偶函数展开方式)
限制x在[0,pi]上，此时F(x)恒等于f(x)
II. 根据收敛定理判断傅里叶级数的收敛值(对延拓后的函数使用)
常数项级数
级数的概念
无穷多个数的和
研究方法(有限+极限)
无穷级数的部分和（有限）
部分和数列的极限(极限)
研究问题(部分和数列的极限)
存在性(核心)
无穷级数的敛散性
若存在，值
无穷级数的和
核心桥梁
利用部分和数列的极限来研究无穷级数
级数的性质
类比数列极限的性质去理解记忆
基本性质
不±存在 = 不；不±不 = 不一定（极限有理运算法则）
收敛级数加括号仍收敛且和不变(数列极限与部分列极限)
加括号发散-->原级数必发散
(级数收敛的必要条件)级数收敛-->级数通项公式un=0(n->∞)
通项公式un≠0(n->∞)---->级数必定发散
级数去掉、加上或改变有限项->不影响级数敛散性但改变级数的和
注意逆否命题
绝对收敛
绝对值级数收敛--必定->原级数收敛
条件收敛
原级数收敛但绝对值级数不收敛
结论
条件收敛的所有正项（或负项）构成的级数一定发散
补充结论P100 例4
级数的审敛准则
同号级数
负项级数(提出符号变正项)
正项级数
基本定理
级数收敛<-->部分和{Sn}数列上有界
正项级数的部分和数列必定是单调增，由单调有界数列必有极限可知：{Sn}上有界<-->{Sn}必有极限
审敛方法
比值法和根值法
通项特征(三巨头)
方便但适用范围比较狭窄
 明显发散，但是判断不了
比较判别法和比较法极限形式
通项特征
适用范围广但不方便(需要找其他级数Vn)
处理技巧
快速判定(无穷大量) 对 << 幂 << 指 << 阶乘 << 幂指
容易得知∞/∞ 极限 为∞/0
已知敛散性且常用的级数
 p=1 调和级数发散；由比较判别法，可以确定p级数收敛和发散时 p的范围 
变号级数
交错级数
正负项交替出现
莱布尼茨准则（充分条件非必要条件）
{un}单调减（不考虑前面的符号(-1)^(n-1)） un = 0 (n->∞) 
任意项级数
既有正项又有负项（均无穷项）
敛散性判定方法
1. 绝对值级数
2. 定义及性质
