直线、圆与方程

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直线 圆与方程

• 直线与方程
  • 直线倾斜角
    • 与x轴相交（正上向）的角
    • 范围[0°180°）
    • 倾斜程度相同的直线，倾斜角相同
    • 确定平面直角坐标系的直线位置①直线上一定点②倾斜角
  • 直线斜率
    • 定义：直线倾斜角α的正切值
      • 斜率k，k=tanα
    • 与倾斜角关系
      • ①α=0°，k=0直线与x轴平行或重合
      • ②0<α<90°，k>0，且k值增大，倾斜角随着增大
      • ③α=90°时，k不存在（tan90°不存在）
      • ④90°<α<180°时，k<0，且k值增大，倾斜角也增大
    • 过两点的直线斜率公式
      • k=y₂-y₁/x₂-x₁
  • 两直线平行与垂直的判定
    • 与倾斜角关系
      • ι₁∥ι₂→α₁=α₂
      • ι₁⊥ι₂→|α₁-α₂|=90°
    • 与斜率关系
      • ι₁∥ι₂→k₁=k₂或都不存在
      • ι₁⊥ι₂→k₁k₂=-1或k₁=0/k₂=0则另一条直线斜率不存在
  • 直线的方程
    • 定义：一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解
    • 形式
      • 点斜式
        • 点P（x₀，y₀）和斜率k
        • y-y₀=k（x-x₀）
        • 斜率存在，不适用于y轴和平行y轴的直线
      • 斜截式
        • 斜率k和直线在y轴上的截距为b
        • y=kx+b
        • 斜率存在，不适用于y轴和平行y轴的直线
      • 两点式
        • 点P₁（x₁，y₁）P₂（x₂，y₂）
        • y-y₁/y₂-y₁=x-x₁/x₂-x₁
        • 斜率存在且不为0，即不适用于坐标轴，和平行坐标轴的直线
      • 截距式
        • 直线在x轴上的截距为a的直线在y轴上的截距为b
        • x/a+y/b=1
        • 斜率存在且不为0，直线不过原点，即不适用于坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线
      • 一般式
        • Ax+By+C=0(A，B不同时为0)
    • 直线ι与y轴交点（0，b）的b叫作在y轴的截距，直线ι在x轴交点（a，0）的a叫作在x轴的截距
      • y轴纵截距，x轴横截距
      • 截距不是距离，是个数
    • 直线和二元一次方程互相关系
      • 方程Û直线
    • 几种特殊位置的直线方程
      • ①x轴：y=0
      • ②y轴：x=0
      • ③平行于x轴的直线：y=b（b≠0）
      • ④平行于y轴的直线：x=a（a≠0）
      • ⑤过原点的直线y=kx或x=0
    • 两条直线位置关系
  • 距离公式
    • 两直线交点坐标
      • 两直线联立方程组，若有唯一解，则两直线相交此解为交点坐标，若无解则不相交无公共点
    • 两点间距离公式
      • |P₁P₂|=√（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²
        • x₂x₁y₁y₂位置可换
      • 原点O与任一点P的距离为|OP|=√x²+y²
      • 当|P₁P₂|⊥x轴时，|P₁P₂|=|y₂-y₁|
      • 当|P₁P₂|⊥y轴时，|P₁P₂|=|x₂-x₁|
    • 点线距离公式
      • 点P（x₀，y₀）到直线l：Ax+By+C=0的距离
      • 若给出的式子不是一般式，则应先把方程式化为一般式，再利用公式求距离
      • 若点P₀在直线上，点P₀到直线的距离为0，距离公式仍适用
    • 平行直线距离公式
      • • 可转化点到直线距离
      • ①化为一般式②使x，y的系数相等
      • 用斜截式表示l₁：y=kx+b₁，l₂：y=kx+b₂
        • 距离为d=|b₁-b₂|/√1+k²
  • 对称
    • 点点对称
      • 点P（x₀，y₀）关于A的（a，b）的对称点为P'（2a-x₀，2b-y₀）
    • 点线对称
    • 线线对称
      • 若直线与对称轴相交，已知交点，求直线上点P1关于对称轴对称的点P2，经过P2和交点求出对称直线
      • 若直线与对称轴平行，与对称直线到对称轴的距离相等，用平行直线距离公式求出对称直线
• 直线 圆的位置关系
  • 直线与圆的位置关系
    • 判定
      • ①代数法：直线与圆联立方程组，消y或x，得出一元二次方程
        • △>0两组解和公共点
        • △=0一组解和公共点
        • △>0无解和点
      • ②几何法（坐标法）用点（圆心）到直线距离公式，和r（半径）的大小关系判断
        • d<r相交两公共点
        • d=r相切一公共点
        • d>r相离无公共点
  • 圆的切线
    • 过圆一点的切线方程
      • 求法
        • 已知圆心，切点，得圆心到切点的直线方程（两点式），得到斜率k1。因为此直线方程与切线方程垂直，所以k1k2=-1，得到k2,再用点斜式得出切线方程.
  • 直线被圆所截弦长
    • 几何方法
      • 运用弦心距（圆心到直线的距离），弦长的一半及半径r构成的直角三角形计算
        • |AB|=2√r²-d²
    • 代数方法
      • （1）联立直线与圆的方程，求得A，B两点的坐标，再用两点间距离公式求弦长
  • 圆与圆的位置关系
    • 外离外切相交内切内含
    • 利用交点判断
    • 利用圆心距判断
• 圆与方程
  • 圆的标准方程
    • 圆心为A（a，b）半径为r的圆的方程（x-a）²+（y-b）²=r²
  • 点与圆的位置关系
    • 点M在圆内|MA|<r
      • 标准方程<r
    • 点M在圆上|MA|=r
      • 标准方程=r
    • 点M在圆上|MA|>r
      • 标准方程>r
  • 圆的一般方程
    • x²+y²+Dx+Ey+F=0
  • 特殊位置的圆的方程