高中数学必修二第二章点、直线、平面

高中数学必修三一轮复习整理内容系列之点、线、面，正在备战高考的小伙伴快收下吧！这一章节的知识虽然不难，但都是琐碎的性质知识点，作者用思维导图的形式帮你把这些都梳理好啦，图文并茂，有助于记忆！

点 直线 平面

• 直线平面平行判定 性质
  • 线面平行
    • 判定
      • 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
        • aËα，bÌα，且a∥b→a∥α
    • 性质
      • 定理：一条直线与一个平面平行，则过直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
        • a∥α，aÌβ，α∩β=b→a∥b
      • 平面α内凡是不与a平行的直线都与a异面
  • 面面平行
    • 判定
      • 定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则两个平面平行
        • aÌβ，bÌβ，a∩b=P，a∥α，b∥α→β∥α
      • 推论:一个平面内的两条相交直线分别平行与另一个平面两条直线，那么这两个平面互相平行
        • aÌα，bÌα，a∩b＝O，a'Ìβ，b'Ìβ，a∥a'，b∥b'→α∥β
      • 口诀：线面平行，则面面平行
      • 如果一平面内有两条直线与另一平面平行，那么不一定能推出两平面平行，
    • 性质
      • 定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
        • α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b→a∥b
      • 口诀：面面平行则线面平行
      • 面面平行的一平面任意直线平行另一平面，则平行或异面另一平面直线，不能相交
• 直线平面垂直判定 性质
  • 线面垂直
    • 概念
      • 定义：直线与平面内的任意一条直线都垂直，则线面垂直
        • ι⊥α
        • ι垂线 α垂面 P垂足
      • 线面垂直Û线线垂直
        • 线面垂直时，直线就垂直于这个平面的任何一条直线
      • 是线面相交的一种特殊形式
      • 重要结论
        • ①过一点有且只有一条直线和已知平面垂直
        • ②过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
      • 点到平面距离Û点到平面的垂线长度
      • 互相平行的线面：直线到平面距离Û直线上任意一点到平面的垂线长度
    • 判定
      • 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
        • mÌα，nÌα，m∩n，ι⊥m，ι⊥n→ι⊥α
      • ι垂直两条相交直线而不是任意两条直线
    • 性质
      • 定理：垂直同一平面的两条直线平行
  • 面面垂直
    • 概念
      • 定义：两平面相交，所成二面角是直二面角（90°），则互相垂直
        • α⊥β
      • 若两平面互相垂直，那么过一平面的一点作另一个平面垂直的直线，必在此平面内
      • 若一个平面和两个相交平面都垂直，则两相交平面交线与此平面垂直
    • 判定
      • 定理：一个平面过另一个平面的的垂线
        • ι⊥α，ιÌβ→α⊥β
    • 性质
      • 面面垂直，则一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直
        • α⊥β，α∩β=CD，ABÌα，AB⊥CD→AB⊥β
• 所有易错混淆整合
  • 语义混淆
    • ”任意一条直线”“所有直线”与“无数条直线”意思不同
  • 不满足判定性质
    • 平面α内凡是不与a平行的直线都与a异面
    • • 如果一平面内有两条直线与另一平面平行，那么不一定能推出两平面平行，
    • 面面平行的一平面任意直线平行另一平面，平行或异面另一平面直线，不能相交
• 角
  • 异面直线所成的角
    • 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，把a'平行b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（夹角）
    • 为简便，通常点O直接取两条异面直线中的一条上
    • 若角为直角，则互相垂直，
      • 两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b
    • 两条异面直线所成的角与点O位置无关
    • 范围（ 0,90°]
  • 直线与平面所成的角
    • 直线和平面相交但不垂直，直线叫斜线，交点叫斜足
    • 射影：斜足以外的一点向平面引垂线，过垂点和斜足的直线
    • 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角
    • 范围：[0,90°]
  • 二面角
    • 半平面
      • 定义：平面内的一条直线，把这个平面分为两部分，其中每一部分都叫做半平面
    • 二面角
      • 定义：从一条直线出发两个半平面所组成的图形叫做二面角，直线为棱，半平面为面（书本状）
    • • OA⊥ι，OB⊥ι，∠AOB为平面角
    • 平面角
      • 定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的的角
      • 二面角大小Û平面角大小
      • 范围[0,180°]
      • 符合条件
        • ①角的顶点在二面角的棱上
        • ②角的两边分别在二面角的两个半平面内
        • ③角的两边分别与二面角的棱垂直
• 位置关系
  • 点与直线 平面
    • A∈a
      • 点A在直线a上
    • A∉a
      • 点A在直线a外
    • A∈α
      • 点A在平面α内
    • A∉α
      • 点A在平面α外
    • a∈α
      • 直线a在平面α内（或平面α过直线a）
    • a∩b=A
      • 直线a，b相交于点A
    • α∩β=a
      • 平面α，β相交于直线a
    • • 公理2的推论
        • ①经过一条直线和这条直线外一点
        • ②经过两条相交直线
        • ③经过两条平行直线
        • 有且只有一个平面
  • 直线与直线
    • 相交
      • 在同一平面内，有且只有一个公共点
    • 平行
      • 在同一平面内，没有公共点
    • 异面
      • 不同在任何一个平面内，没有公共点
  • 直线与平面
    • 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作aËα
  • 平面与平面
  • 异面直线
    • 定义：不同在任何一个平面的两条直线
    • 判定定理：过平面一点和平面外一点的直线 与 这个平面内不过此点的直线是异面直线
    • 反证法：证明两直线既不平行也不相交
      • ①假设不是异面直线，即平行或相交
      • ②由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾
      • ③否定假设，肯定两条直线异面
  • 平行公理
    • 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
    • 公理性质：空间平行线的传递性
    • 符号表示：a∥b，b∥c→a∥c