第一章 矩阵

这是一篇关于矩阵的思维导图，主要内容包括：矩阵的秩，方阵的行列式，方阵的逆矩阵，分块矩阵，初等变换和初等矩阵，基本运算，矩阵的基本概念。

矩阵

矩阵的基本概念

几种特殊的矩阵：零、对角、数量、单位、三角、行阶梯形、行最简

基本运算

加

满足各种运算规律

数乘

满足各种运算规律

乘法

大部分不满足交换律，不能用完全平方公式、二项式定理等。

满足分配律的情形：A、和B都为对角矩阵、A和数量矩阵、A和A的多项式、A和A的可逆矩阵、A和A的伴随矩阵。

转置

分块矩阵

设分块矩阵A = Aij , B = Bjk ，注意进行分块矩阵的乘法时，Aij的列数等于Bj的行数（i = 1 ， 2 ， ··· ， r ; j = 1 , 2 , ··· ， s；k = 1 ， 2 ， ··· ， t)。

初等变换和初等矩阵

初等变换

交换行或列

用不为零的数乘以第i行（列）

将第j行（列）乘k加到第i行（列）

初等矩阵：对单位阵进行一次初等变换所得到的方阵

任务：对于任意m x n 矩阵，可以实施有限次初等行变换，化为行最简形矩阵；而且总可以经过有限次初等变换化为等价标准形

方阵的逆矩阵

定义

运算

方阵可逆的充要条件

方阵可以写为初等矩阵的乘积

推论：A可以经过初等行变换化为单位矩阵，（A ， E）经过初等行变换化为（E ， A -1）,或是将A和E按列合并，进行初等列变换，其目的是用E记录A的初等变换。

|A| != 0

方阵的行列式

只有方阵才有行列式

余子式：把n阶行列式|A|中的元素aij所在的第i行于第j列删去后，剩下的n-1阶行列式成为aij的余子式，记作Mij。

代数余子式：Aij = (-1）^(i + j) *Mij

行列式的求值

按行按列展开

用一行或一列上的所有元素乘以它们的代数余子式并相加，等于行列式的值

按第i行的展开式

按第j列的展开式

特别的：三角行列式的值等于主对角线上的所有元素的乘积

行列式的性质

进行一次对换变换（即交换行或列)行列式的值加一个负号

若行列式有两行（列）的元素相同，则此行列式的值为零

交换两行元素得：|A| = -|A| => |A| = 0

行列式的莫一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用k乘以此行列式

|kA| = |A|

行列式的某一行（列）中的元素都是两数之和，则此行列式可以按该行（列拆分为两个行列式之和）

即

将行列式的莫一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变

|AB| = |A| |B|

第i行（列）各元素与第j行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为零

推论：上述第i行元素可以换为任意数字，结果就是将替换的数字放到第j行（列）上的行列式的值。

行列式的计算

一般思路

将矩阵通过初等变换化为上（下）三角矩阵，行列式的值为主对角线上的值的乘积

将一行（列）上的元素通过初等变换化为零，剩下一个非零数，再按行（列）展开

几种特殊矩阵的计算

行列式的应用

伴随矩阵

定义：按行（列）求的代数余子式按列（行）排所构成的矩阵。

AA* = A*A = |A|E

A为n阶矩阵，当|A| ！= 0时，且n >= 2时，

推论：设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B使得AB = E(或BA = E)，则A是可逆的，并且B = A逆。

证明：AB = E两边取行列式得|A| ！= 0， 即A可逆，设A的逆矩阵为A-1,则AB左乘A-1（BA右乘A-1）得B = A-1。

克拉默法则

前提：方程的个数等于未知数的个数，而且系数矩阵的行列式不为零

对于线性方程，可得系数矩阵，以及结果组成的列向量，x1=将系数矩阵第一列换为结构组成的列向量后的行列式的值 / 系数矩阵的行列式，x2同理

证明：

矩阵的秩

定义

A（A为m x n的矩阵）的所有非零子式的最高阶数

此处的非零子式为k x k的行列式（k <= min{m , n}）

设A为n阶矩阵。若|A| ！= 0，则称A为非奇异方阵；若r(A) = n,则称A为满秩方阵。

可见，对于方阵而言，可逆、非奇异、满秩是等价的概念

几个重要结论

初等变换不改变矩阵的秩

推论

r（A） = r（A的转置矩阵）

若矩阵A和B等价，r（A) = r(B)

r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)，其中P，Q为可逆矩阵

max{r(A) , r(B)} <= r(A , B) <= r(A) + r(B)

r(A+B) <= r(A) + r(B)

r(AB) <= min{r(A) , r(B)} (即矩阵的秩越乘越小)

r(AB) >= r(A) + r(B) - n

特别地，假如AB =O，那么r(A) + r(B) <= n

推论：若行列式有两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值等于零

等价

A等价于A

A等价于B，则B等价于A

A等价于B，B等价于C，则A等价于C