CFA思维导图

CFA指特许注册金融分析师，是全球投资业里最为严格与含金量最高的资格认。下图讲述了统计与概率的知识内容，包括统计学基本概念、概率、概率分布、假设检验、抽样与估计。

统计与概率

抽样与估计

sampling

type

1. stratified random sampling

2. simple random sampling

先分组再简单抽样

Data

1. time-series data

如果期间发生了结构性变化，则有可能导致偏差

2. cross-sectional data

error

1. data mining bias

统计学上有显著性不等于有经济理论支撑

2. sample selection bias

surviorship bias

幸存者偏差

3. look-ahead bias

使用了尚不可获得的数据来预测

4. time-period bias

只能在特定时间内成立，没有推广到所有时期

estimate

point estimate

利用估计量来估计总体参数

Desirable properties of estimator 估计量的评判标准

unbiasedness

统计量的期望值等于总体参数

efficiency

无偏样本统计量中，方差最小

consistency

样本容量增大时，样本统计量逼近总体参数的概率上升

用样本均值来估计总体参数最优

Central limit theorem

对统计量均值的概率分布进行描述

条件

n >= 30

总体的均值，方差为已知且有限

为简单随机抽样

结论

样本统计量均值服从【正态分布】

样本统计量【均值】为总体【均值】

样本统计量均值的方差

样本统计量均值的标准误 standard error =

注意区分【标准差】与【标准误差】

confidence interval estimate

衡量点估计给出的估计数值的可信程度

5%显著性的置信区间 = 95% 置信度的置信区间

置信因子的选择 Z分布（均值0，方差1） & T分布（用样本的方差来代替）

假设检验

步骤

null hypothesis & alternative hypothesis

确定统计量

样本均值标准化后服从正态分布

significance & critical value

关键值是判断是否拒绝原假设的临界值

two-tailed test & one-tailed test

其检验统计量均相同，主要区别在拒绝域

p-value

拒绝原假设的最小显著性水平

则，拒绝原假设，反之亦然

Type 1 error & Type 2 error

决策

statistical signigicance & economic significance

正态总体的假设检验

均值

单个

与某个常数进行对比

根据情况选择 z检验 或者 t检验（自由度n-1）

两个

相互独立

方差未知，假设 【方差1】与【方差2】相等

自由度为 n1+n2-2

方差未知，假设 【方差1】与【方差2】不相等

自由度非常复杂

paired comparison test

检验是否存在某种关系

抽样为两个样本当中均值相减， n1-m1=U1， U1=U0， U1不等于U0， U0通常为0

采用 t检验，自由度为n-1

相关系数

p=0， 没线性关系， p不等于0， 存在线性关系

（-1 ～ 1）

服从 t检验，自由度为 n-2，因为有两个变量

方差

单个

是否等于某个常数

卡方统计Chi-Square

自由度为 n-1

两个

两个方差是否相等

F分布， 自由度为 n1-1， n2-1

方差大的为分子，第一个自由度为分子的。因此，F值为>=1

参数检验与非参数检验

参数

都与总体参数相关

都假定总体服从某种特定分布

非参数

总体分布未知，样本数据也不服从特定分布

按照等级rank分类都数据，无法加减乘除

不涉及总体参数

概率分布

连续型随机变量

取任意一单点都概率均为0

probability density function PDF； 在概率密度函数当中，关注的是某一区间的值

累积分布函数cummulative distribution function CDF

有界限的

离散型随机变量的应用

bernouli distribution

做了一次实验，只有两种结果

binomial random variable

做了多次实验，只有两种结果

结果都是独立都，概率一样

连续均匀分布

shortfall risk

是一个概率

Roy's safety-first ratio

比值越高越好

当Shorfall risk R等于无风险利率R时，SF ratio就是 Sharp ratio

Lognormal distribution

描述资产价格

非负数

正偏（正态分布右移）

随机变量服从正态分布，则对数x也服从

t-分布

小样本推测总体

df=n-1

置信区间比正态分布宽

低峰肥尾 均值=0，方差>1，峰度>3

multivariate distribution多元分布

多个资产

3个参数：每个资产的均值，方差，不同资产间的相关系数

假设n个资产，相关系数为

monte carlo simulation

假设r服从正态分布，对r的可能取值进行取样，然后进行模拟，得出最终概率，再进行情景分析

缺点：复杂，如果假设不正确，得出的结论也不正确

historial / back simulation

根据过去历史数据来预测

缺点：如果有结构性改变，就难以准确，毕竟是历史数据

概率

odds

joint probability

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Addition rule

P(A or B)=P(A)+P(B)-P(AB)

total probability rule

互斥且遍历

P(成功)=努力复习成功90% * 80% + 不努力复习成功10%*10%

Bayes' formula

因果互推

修正概率，当有新信息

期望 E（x）

随机变量都方差其实也是一种期望

covariance

两种资产间都变化方向

cov=0时，不存在线性关系

取值为负无穷到正无穷，不考虑量纲

correlation

（-1 ～ 1）

<0 负相关

>0正相关

绝对值越大，相关性越明显

=0没有线性关系

排列与组合

有顺序

无顺序

统计学基本概念

四种measurement scales

nominal sale

男，女

ordinal sale

第一名，第二名

interval scale

一年级，二年级

ratio scale

考试得99分

两种常用表示频率的图

histogram

frequency polygon

中心趋势

均值

arithmetic mean

geometric mean

衡量多期资产平均收益率

harmonic mean

定投的平均成本

weighted mean

median

n为奇数

（n+1）/2

n为偶数

n/2 与 （n+2）/2的平均值

mode

频率最高

一个

unimodal

两个

bimodal

三个

trimodal

不存在

数据都不相等时