高中必修五数列要点思维导图

高中数学课本上的数列以等差、等比数列为基础，在高考数学中占据着重要的作用，数列题型分布于高考数学初、中、难三挡题型中，且最后一道解答题百分之九十九都是与数列有关的，所以在此有必要把与数列有关的知识点给大家做一下总结。

数列

• 概念
  • 定义
    • 按照一定顺序排列
    • 数列每一个数叫做数列的项
  • 分类
    • 按照项数的多少，数列分为有穷数列（项数有限的数列）和无穷的数列（项数无限的数列）
    • 按照数列的每一项随序号变化的的情况分类
      • 递增
      • 递减
      • 摆动
        • 从第二项起，有些项小于或大于它的前一项的数列
      • 常数项
        • 各项相等的数列
  • 和函数关系
    • 数列是特殊的函数
    • 正整数
  • 简单表示法
    • 图像法
      • 数列图像是以（n，f（n））为坐标的一系列孤立的点
    • 列表法
      • 列出表格来表示数列|a|的第n项与序号n之间的关系
    • 解析法
      • 将数列一个数学式子表示出来的方法
      • 可用通项公式或其他式子表示数列
  • 通项公式
    • 数列|an|的第n项与序号n之间的关系公式
    • 实际上是定义域特殊的函数解析式即an=f（n）
    • 无理数没有通项公式
    • 对于一个确定的数列，通项公式不一定是唯一
  • 递推公式
    • 数列|an|的第一项（或前几项）且任意一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系公式
    • 与所有数列不一定都有递推公式
    • 是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次替换n，就可以求出数项的各项
    • 通过对递推公式逐项赋值可求出数列的项，直至求出数列任一项或所需的项
• 等差数列
  • 概念
    • 数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
    • 常数叫做等差数列的共差，用字母d表示
  • 等差中项
    • 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项
    • A=a+b，则a，A，b成等差数列，因此两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数，可以用它来判断或证明三个数成等差数列
    • 在一个等差数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外），都是它前一项与后一项的等差中项
      • 2an=an-1+an+1
  • 通项公式
    • 若等差数列|an|的首项是a₁，公差是d
  • 与一次函数的关系
  • 性质
    • 若数列|an|是公差为d的等差数列
  • 前n项和
    • 公式
    • 性质
      • 已知等差数列|an|的前n项和为Sn，公差为d
    • 与函数关系
      • 令Sn=An²+Bn
        • 当A=0，B=0时Sn=0是关于n的常数函数（此时a₁=0，d=0）
        • 当A=0，B≠0，Sn=B*n是关于n正比例函数（此时a≠0，d=0）
        • 当A≠0，B≠0时，Sn=A*n²+Bn是关于n的二次函数（d≠0）
• 等比数列
  • 概念
    • 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示
    • 符号语言表述：在数列|an|中，若an+1/an=q（q为常数，且q≠0）对任意n∈N*都成立，则数列|an|是等比数列
    • 由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能是0
    • 当常数列都是等差数列，但不一定是等比数列 当常数列是各项为0的数列，它就不是等比数列当常数列各项不为0，它是等比数列
  • 等比中项
    • 如果a与b中间插入一个数C，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b等比中项
    • 当ab同号时才有等比中项
    • 当m+n=p+q（都为正整数）时，有am*an=ap*aq
  • 通项公式
    • |an|的首项为a₁，公比为q，则通项公式
    • 与指数函数的关系
      • 等比通项公式可以改写成an=a1*q^(n-1）
        • 当q≠1，且a1≠0时，y=q^x是一个指数函数，而y=a1/q*q^x是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此等比数列|an|的图象是函数y=a1/q*q^x的图像上一些孤立的点
  • 性质
    • 已知数列|an|是等比数列，首相为a₁，公比为q
  • 前n项和
    • 公式
    • 性质
      • 数列|an|为等比，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-2n，仍构成等比数列，且有（S2n-Sn）²=Sn（S3n-S2n）
      • 若某数列前n项和公式为Sn=a^n-1（a≠0，1）则|an|为等比数列