导图社区 高中必修五数列要点思维导图
高中数学课本上的数列以等差、等比数列为基础,在高考数学中占据着重要的作用,数列题型分布于高考数学初、中、难三挡题型中,且最后一道解答题百分之九十九都是与数列有关的,所以在此有必要把与数列有关的知识点给大家做一下总结。
编辑于2019-07-25 07:02:41数列
概念
定义
按照一定顺序排列
数列每一个数叫做数列的项
分类
按照项数的多少,数列分为有穷数列(项数有限的数列)和无穷的数列(项数无限的数列)
按照数列的每一项随序号变化的的情况分类
递增
递减
摆动
从第二项起,有些项小于或大于它的前一项的数列
常数项
各项相等的数列
和函数关系
数列是特殊的函数
正整数
简单表示法
图像法
数列图像是以(n,f(n))为坐标的一系列孤立的点
列表法
列出表格来表示数列|a|的第n项与序号n之间的关系
解析法
将数列一个数学式子表示出来的方法
可用通项公式或其他式子表示数列
通项公式
数列|an|的第n项与序号n之间的关系公式
实际上是定义域特殊的函数解析式即an=f(n)
无理数没有通项公式
对于一个确定的数列,通项公式不一定是唯一
递推公式
数列|an|的第一项(或前几项)且任意一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系公式
与所有数列不一定都有递推公式
是关于项数n的恒等式,用符合要求的正整数依次替换n,就可以求出数项的各项
通过对递推公式逐项赋值可求出数列的项,直至求出数列任一项或所需的项
等差数列
概念
数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,
常数叫做等差数列的共差,用字母d表示
等差中项
如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项
A=a+b,则a,A,b成等差数列,因此两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数,可以用它来判断或证明三个数成等差数列
在一个等差数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外),都是它前一项与后一项的等差中项
2an=an-1+an+1
通项公式
若等差数列|an|的首项是a₁,公差是d
与一次函数的关系
性质
若数列|an|是公差为d的等差数列
前n项和
公式
性质
已知等差数列|an|的前n项和为Sn,公差为d
与函数关系
令Sn=An²+Bn
当A=0,B=0时Sn=0是关于n的常数函数(此时a₁=0,d=0)
当A=0,B≠0,Sn=B*n是关于n正比例函数(此时a≠0,d=0)
当A≠0,B≠0时,Sn=A*n²+Bn是关于n的二次函数(d≠0)
等比数列
概念
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示
符号语言表述:在数列|an|中,若an+1/an=q(q为常数,且q≠0)对任意n∈N*都成立,则数列|an|是等比数列
由于等比数列每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能是0
当常数列都是等差数列,但不一定是等比数列 当常数列是各项为0的数列,它就不是等比数列当常数列各项不为0,它是等比数列
等比中项
如果a与b中间插入一个数C,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b等比中项
当ab同号时才有等比中项
当m+n=p+q(都为正整数)时,有am*an=ap*aq
通项公式
|an|的首项为a₁,公比为q,则通项公式
与指数函数的关系
等比通项公式可以改写成an=a1*q^(n-1)
当q≠1,且a1≠0时,y=q^x是一个指数函数,而y=a1/q*q^x是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此等比数列|an|的图象是函数y=a1/q*q^x的图像上一些孤立的点
性质
已知数列|an|是等比数列,首相为a₁,公比为q
前n项和
公式
性质
数列|an|为等比,Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-2n,仍构成等比数列,且有(S2n-Sn)²=Sn(S3n-S2n)
若某数列前n项和公式为Sn=a^n-1(a≠0,1)则|an|为等比数列
Yuki
真的是做的太好了好详细