高中数学必修四第二章：平面向量

向量是高考中常考知识点，与以前的物理中接触过的矢量知识有共同点，也有数学本身的特点。向量可以用于解决一些复杂的几何问题以及物理问题！大家一起来看看吧！

平面向量

• 向量基本概念
  • 表示
    • 既有大小又有方向的量
    • 例如：位移，力，速度，力矩，加速度
    • 数量可以比大小，向量不行
  • 有向线段
    • 带有方向的线段
    • 三元素：起点 方向 长度
  • 向量的表示
    • 几何表示
      • 有向线段图像
        • 长短表示向量大小
        • 箭头表示向量的方向
    • 字母表示
      • 字母a,b,c等表示，书写在头上带箭头
      • 用表示向量的有向线段的起点和终点字母
  • 向量的模
    • 向量的长度
      • |a|
  • 两种特殊向量
    • 零向量
      • 长度为0，方向任意
    • 单位向量
      • 长度为1
      • 将一个向量除以它的模得到的向量就是一个单位向量，并且方向相同
  • 向量与向量
    • 平行向量
      • 方向相同或相反的非零向量
      • 向量a，b平行，记作a∥b
      • 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
    • 共线向量
      • 任意一组平行向量都可以移动到同一条直线上
    • 相等向量
      • 长度相等且方向相同的向量
      • 向量a，b相等，记作a=b
• 向量的运算
  • 加法
    • 两个向量的和
    • 运算法则
      • ①三角形法则
        • 首尾相连，起点指向终点
      • ②平行四边形法则
        • 起点相同，对角为和
        • 推广：A1B1+B1B2+B2B3.....+Bn-1Bn=ABn
    • 当不共线时，两法则是一样的，共线时，三角可以用平行不能
    • 对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a
    • 运算律
      • • 两个向量的和仍然是一个向量
        • 当向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b不同
          • 即|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|
        • 当向量a与b同向时，a+b，a，b都同向，且|a+b|=|a|+|b|
        • 当向量a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的跟a方向相同，|a+b|=|a|-|b|，若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同|a+b|=|b|-|a|
  • 减法
    • 相反向量
      • 与向量a长度相等，方向相反的向量
        • 记作-a
        • 零向量的反向量仍是零向量
        • 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+（-a）=（-a）+a=0
    • 向量的减法
      • 定义a-b=a+（-b）即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
    • 向量减法的几何意义
  • 乘法
    • 向量的数乘运算
      • 规定实数λ与向量a的积是一个向量
        • 记作λa
        • |λa|=|λ||a|
        • 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同
        • 当λ=0时，λa=0
      • 几何意义：将向量a伸长或压缩
        • |λ|>1伸长
        • |λ|<1缩短
    • 运算律
      • 设λ，μ为实数
        • ①λ（μa）=（λμ）a
        • ②（λ+μ）a=λa+μa
        • ③λ（a+b）=λa+λb
        • ⑤λ（a-b）=λa-λb
        • ④（-λ）a=-（λa）=λ（-a）
      • a₀为a单位向量
        • a=|a|a₀
        • a₀=a/|a|
  • 共线（平行）定理
    • 向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ
      • b=λa
    • a是非零向量，b可以是0，这时0=λa，所以有λ=0，如果b不是0，那么λ是不为零的实数
    • 对向量a，b，存在实数对（λ，μ），使λa+μb=0，则a与b共线
    • 对向量a，b为非零向量，不妨设μ≠0，则b=λ/μ*a，说明a与b共线
    • 当a，b不共线，当λa+μb=0，一定有λ=μ=0
  • 线性运算
    • 向量的加减数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ₁，μ₂，恒有λ（μ₁a±μ₂b）=λμ₁a±λμ₂b
• 向量基本定理
  • 基本定理
    • 两个不共线的向量e₁，e₂，对于这一平面任意向量a，有且只有一对实数λ₁，λ₂，a=λ₁e₁λ₂e₂
    • e₁，e₂叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
    • 任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的
    • 平面内的基底不是唯一的，有无数组
  • 向量的夹角
• 向量坐标表示
  • 正交分解
    • 把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做把向量正交分解
  • 坐标表示
    • 在坐标系中分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，有且只有一对实数x，y使得a=xi+yj，这样平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标
      • 记作a=（x，y），叫做向量的坐标表示
      • i=（1，0）j=（0，1）
  • 坐标运算
    • 向量的加减法
      • 两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量的相应坐标的和（差）
    • 实数与向量的积
      • 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
    • 向量的坐标
      • 一个向量的坐标表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标
    • 向量相等即坐标相等
  • 平面向量共线
    • 设a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂），其中b≠0，当且仅当x₁y₂-x₁y₂=0，向量a，b（b≠0）共线
    • 证明共线
• 向量数量积（内积）
  • 定义
    • 两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（内积）
      • 记作：a*b=|a||b|cosθ
      • θ是a与b的夹角
      • |a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b的方向上（b在a的向量上）的投影
      • 零向量与任一向量的数量积θ=90°为0
      • 当a≠0，b≠0，0°≦θ≦90°
        • 数量积为正
      • 当a≠0，b≠0，90°≦θ≦180°
        • 数量积为负
  • 几何意义
    • 数量积a*b等于长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
  • 性质
    • 设a和b都是非零向量，则
      • ①如果e是单位向量，则a*e=e*a=|a|cosθ
      • ②a⊥bÛa*b=0
        • a*b=0不能推出a=0或b=0
      • ③当ab同向时，a*b=|a||b|
      • ④当ab反向时，a*b=-|a||b|
      • ⑤a*a=a²=|a|²或|a|√a*a
        • 求向量的模
      • ⑥两个非零向量a与b平行的充要条件是a*b=±|a||b|
      • ⑦cosθ=a*b/|a||b|
      • ⑧a*b≦|a||b|（当且仅当a∥b时，等号成立）
  • 运算律
    • 已知向量a，b，c和实数λ
      • ①a*b=b*a
      • ②（λa）*b=λ（a*b）=a*（λb）
      • ③（a+b）*c=a*c+b*c
    • 常用结论
      • （a±b）²=a²±2a*b+b²
      • （a+b）（a-b）=a²-b²
    • 注意
      • （a*b）c≠（b*c）a
      • a*b=a*c（a≠0），不能推出b=c
        • 做题无法消去向量
  • 坐标表示及运算
    • 已知两个非零向量a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂）
    • 向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）
      • a=（x₂-x₁，y₂-y₁）
      • |a|=√（x₂-x₁）²，（y₂-y₁）²
• 向量应用举例
  • 向量在平面几何的应用
    • 平面向量在平面几何中的应用主题是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行，垂直，平移，全等，相似，长度，夹角等问题
    • 用向量解决常见平面几何问题的技巧
      • ①线平行，点共线，相似问题，利用向量共线定理：若a（x₁，y₁）b（x₂，y₂）则a∥bÛa=λbÛx₁y₂-x₂y₁=0（b≠0）
      • ②垂直问题：利用数量积的运算性质：若a=（x₁，y₁）b=（x₂，y₂），则cosθ=a*b/|a||b|=x₁x₂+y₁y₂/√x₁²+y₁²√x₂²+y₂²
      • ③求线段的长度，利用向量的模的计算公式：若a=（x，y）则|a|=√x²+y²。若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则|AB|=|AB向量|=√（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²
  • 向量在物理中的应用
    • 由于物理学中的力，速度，位移都是矢量，它们分解与合成的向量的加减法相似，可以用向量知识来解决
    • 物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W=F*s=|F||s|cosθ