高中高考数学函数体系总结（纯自制，全网唯一）

本人高考数学130+，目前在211大学就读，个人认为函数这一个板块在高考中的题型特别错综复杂，这张图本人综合了函数知识点和自己做过的500多道题目精华，有基础有中档和少部分难题总结，如果你也是在这方面难以突破的追梦人，欢迎来看看我总结的导图。

函数体系

函数性质

定义域

具体函数

4个结构

抽象函数

定义域指x的范围

括号内范围一样

值域

常用方法

分离常量（齐次）

怎么分离常数

下面是什么，上面写什么---再由高次向低次配

换元

Ax+B/Cx+D

对称中心

横坐标：解分母x

纵坐标：看上下x的系数

画图

确定正撇负捺时，代横坐标多一丢丢看函数值正负

不等式

代数换元（最重要）

将低次设为t

不常用

三角换元：两根号下平方和为常数

根号设为三角函数，三角函数大于等于零

判别式：分子分母最高次为二次

转化为有解问题，y当参数

构造法：当根号下出现x方时

数形结合：两点间距离公式

解析式

待定系数法：给了函数类型

换元法：括号里一堆东西

配凑法

有些括号里有一大坨的换不了元需要配凑（f（tanα））

解方程式法

函数类型

分段函数

给定义域，带点求值（简单）

给定义域，自变量为参数：画图（可以知道自变量代入哪一段）

画图不必太精确，知道关键点【交接点】就可以

绝对值函数

图像

普通作图步骤，加绝对值相当于翻折

去绝对值：分类讨论

指对幂

指对运算

注意指对互化的两个重要公式

连等式比指数大小，令连等式=t

指对幂的抽象形式（举例记忆）

图像

指数函数图像及性质

单调性

过定点：在复合函数中需要判断出来的

底线：x=1与指数函数的交点

渐近线

对数函数图像及性质

单调性

过定点

底线：y=1与对数函数的交点

渐近线

等高线模型（纵坐标相等）

幂函数图像及性质

画图像

先画第一象限

必过（1，1）

y=x正无穷;y=x;y=x0为分界线

再看定义域

若x>0则第一个步骤画的图为所需图像

若定义域包含x<0部分，则补充图像

利用奇偶性补充图像

指对幂比大小

给三个数

有相同类型的：同为指数型或者同为对数型

观察法

横向观察：同位置观察（不明显）

纵向观察：内部观察（明显）

不同类型

简单的整数夹逼法

利用中间量：1/0---若再进一步判断可能两个数分别与1/2相比较

抽象函数

识别：只给了函数的关系，没有给函数表达式

破解核心：从问题出发，逆推理，运用赋值法

对勾函数

x+k/x（k>0）

最大值或最小值：x=k/x

飘带函数靠分析x-k/x（k>0）

奇函数

单调性

0+，0-

凹凸函数

反函数

反函数常用对称性

识别：e的x次方与lnx互为反函数

分式函数

Ax+B/Cx+D

对称中心

横坐标：解分母x

纵坐标：看上下x的系数

画图

确定正撇负捺时，代横坐标多一丢丢看函数值正负

函数图像

函数的图像变换

基础

平移、伸缩（倍缩相反）对称变换、翻折变换（对x加绝对值要注意仅保留x轴右边，将x轴右边部分翻折到左边）

f（x）=g（x）所有实数根/交点横坐标之和

f（x）与g（x）有相同的对称性（相同的对称中心 或者对称点）：和=横坐标/纵坐标*交点个数

交点个数需要画图精确

1.画出是所有有边界函数的边界（三角函数，指数函数，对数函数）

2.把在边界上的交点标出来

f（[x-a]）

对称轴为x=a

y=f（x）-a→参编分离

根据函数关系式选图像（高频）

特殊点：适用于有坐标轴上标着点/跟x轴或者y轴的交点的题目

单调性

奇偶性

奇偶性运算法则也会用到

极限思想

注意定义域：有时不能研究无穷，有时研究端点值+/-

没有严格顺序

作图微专题

画图精确

1.画出是所有有边界函数的边界（三角函数，指数函数，对数函数）

2.把在边界上的交点标出来

分段函数

给定义域，自变量为参数：画图（可以知道自变量代入哪一段）

画图不必太精确，知道关键点【交接点】就可以

分式函数

Ax+B/Cx+D

对称中心

横坐标：解分母x

纵坐标：看上下x的系数

画图

确定正撇负捺时，代横坐标多一丢丢看函数值正负

f（[x-a]）

对称轴为x=a

[x-a]在题目中是具体呈现的

函数的四个性质

奇偶性

基础

奇函数

定义→只变x

若 函数为奇函数，则导函数为偶函数

ax-a-x

偶函数

定义→只变x

若 函数为偶函数，则导函数为奇函数

ax+a-x

运算：加减看自身，乘除看正负（奇+偶=非奇非偶） 【奇函数看为复数，偶函数看为正数】

前提，定义域关于原点对称

已知奇函数求参数

分步分析法

结构简单--从整体推某一部分条件

赋值法

自己判断定义域

定义法

给出函数解析式和某个函数值，求另一个函数值

技巧方法：看题干，一定有（两数x加和/2）是对称中心的横坐标，推测f（横坐标/2）为对称中心纵坐标（即2b）

常规方法：由题干识别可知两函数值有对称性，从函数本身找对称中心

有了对称点，就有了两函数值加和的值：2*对称中心的纵坐标

核心：已知对称中心为（a,b）则f（x）+f（2a-x）=2b （二倍的对称中心的横坐标）

若无对称中心的纵坐标

若对称中心不在函数上：2b≠2f（对称中心横坐标）

若对称中心在函数上：2b=2f（对称中心横坐标）

求函数解析式

求谁设谁

转化为已知条件再代入

单调性

基础

大题判断单调性方法：定义法或者求导

判断单调性的方法

图像法：基本初等函数及其变形

复合函数法

分布分析法

求导

单调区间不在乎端点值

出现对数函数时：定义域优先

利用单调性求不等式

核心式：f（x1）>f（x2）→x1>/<x2

题干不等式同构式：构造出函数并写成核心式的形式

f（x1）>常数→将常数转化为f（XX）

往往结合其他条件

一般步骤：1.判断奇偶性2.判断单调性（偶函数要判断在x大于零的范围内的单调性，并加上绝对值）（一般来讲，此类题的单调性都是单一的，可以代数判断）

对称性

找某个函数对称轴的方法

奇偶性+图像变换

找某个函数对称中心的方法

对于单一一坨+常数的结构：奇偶性+图像变换

好几坨相加：直接f（x）+f（-x），看看是否能求出常数

求某个函数关于xx对称的图像

相关点法

S1：求谁设谁，在要求的直线上设点

S2：转移点，转移点为对称点

S3：将点代入方程

周期性

求周期的五种方法

定义

半周期模型

推导思路很总要

对称点，对称轴

解析式

列举法

对于周期而言，没有起点，比如：1到100周期为4，每四个数一重复，则任意四个数加起来都一样

对称性和周期均可以倒换数字

有时比较麻烦，可以设一个特殊函数

零点

判断零点所在区间：零点存在定理：f（a）f（b）<0→f（x）在（a,b）上存在零点（反着推不行）

零点个数==根的个数==交点横坐标个数

根据零点个数求参

画出函数图像，看图像与x轴交点个数

化为两个图像交点问题

参变分离（最重要）--可以全分离，也可以分离成两个函数---前提为分离出来的函数可以研究，便于研究

利用图像的性质（考的较少）

图像对称轴为x=1，图像只有一个零点→零点在x=1时去到

复合方程

识别：函数套函数

题型固定

基本工具：x2=3的根可以看作y=x2与y=3 的交点横坐标

解题方法

先换元t

t=f（x）一般含有t的式子为零点核心式（用零点核心式找零点个数）

g（t）=c看另一个等式为了导出t

若c为常数：解出t 的值

若c为参数：画出g（t）与y=c的图像，由y=c与g（t）交点的个数分情况，边界值一般拿出来