导图社区 第7章 平面图形的认识(二)
苏科版7下数学《第7章 平面图形的认识(二)》详细知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。
编辑于2024-04-16 16:17:038年级上册数学(苏科)第3章《勾股定理》相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
8年级上册数学(苏科)第2章,轴对称图形相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
苏科版8年级上册《全等三角形》相关知识点梳理,展示了全等三角形的定义、性质、以及判定条件等多个方面的知识点。这种组织方式使得学习者能够一目了然地掌握全等三角形的核心内容,便于记忆和复习。还介绍了多种全等三角形的判定方法,如“边角边”、“角边角”、“角角边”和“边边边”等,并详细说明了它们的由来、内容、应用格式以及推论。这些信息为学习者提供了丰富的解题技巧和方法,有助于他们在解决实际问题时灵活运用。使用其他版本的同学也可以正常使用。
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第7章 平面图形的认识(二)
探索直线平行的条件
同位角、同旁内角、内错角
“三线八角”
图示

说明
如图,在同一平面内,直线EF与直线AB、CD分别相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截),构成八个角,简称为“三线八角”
直线EF叫做截线
直线AB、CD叫做被截线
注意
两条直线AB,CD与同一条直线EF相交
“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成
由两角判别截线和被截线的方法
方法
看角的两边位置
共线的一边所在的直线为截线,另两边所在的直线为被截线
同位角、同旁内角、内错角
同位角
说明
像上图中∠1与∠5这样的一对角称为同位角
这两个角分别在被截两直线AB,CD的同一方(上方),并且都在截线EF的同一侧(右侧),属于同一位置的一对角
∠1与∠5,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7
内错角
说明
像上图中∠3与∠5这样的一对角称为内错角
这两个角都在被截两直线AB,CD之间,并且∠3在截线EF左侧,∠5在截线EF右侧,这是在两条被截直线内侧且位置交错的一对角
∠3与∠5,∠4与∠6
同旁内角
说明
像上图中∠3与∠6这样的一对角称为同旁内角,这两个角也在被截两直线AB,CD之间,并且它们在截线EF的同侧,这是在两条被截直线内且在截线同旁的一对角
∠3与∠6,∠4与∠5
① 这三种角指的都是两个角之间的位置关系,而不是大小关系
② 都是成对出现的,没有公共顶点,但有一条边共线,且在截线上,另一边分别在两条被截线上
③ 两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角
同位角、内错角和同旁内角的区别与联系

两条直线被第三条直线所截,“方位相同”的角是同位角;位于“内部,两侧”的角是内错角;位于“内部,同侧”的角是同旁内角
在截线同侧找同位角和同旁内角
在截线异侧找内错角
技巧
口诀
一看三线,二找截线,三查位置来分辨
方位

手势表示
说明
用两个大拇指代表两条被截直线,食指代表截线
同位角
内错角
同旁内角
两直线平行的条件
①两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
同位角相等,两直线平行
∵ ∠3=∠2 ∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
②两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
内错角相等,两直线平行
∵ ∠1=∠2 ∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
③两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
同旁内角互补,两直线平行
∵ ∠4+∠2=180° ∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)

我们不仅可以利用这三种判定方法判定两直线平行,还可以利用平行线的定义、平行线的传递性(平行于同一条直线的两条直线互相平行)来判定
平行线的判定是由角的相等或互补(数量关系),得出平行(位置关系),即由数推形
探索平行线的性质
平行线的性质
①两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等
两直线平行,同位角相等
∵AB∥CD ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
②两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等
两直线平行,内错角相等
∵AB∥CD ∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
③两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补
两直线平行,同旁内角互补
∵AB∥CD ∴∠2+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补)
任意两条直线被第三条直线所截,构成的同位角、内错角不一定相等,构成的同旁内角也不一定互补
不要忽略“两直线平行”这个前提,只有两直线平行,才有同位角相等,内错角相等,同旁内角互补
线的位置关系决定角的数量关系

平行线的性质与两直线平行
前者由直线的位置关系确定角的数量关系,后者由角的数量关系确定直线的位置关系,使用时应加以区别
图形折叠
经过折叠能够重合的图形,其对应角、对应线段均相等
图形的平移
图形的平移
平移的定义
在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫作图形的平移,简称平移
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离
平移只改变图形的位置,不改变图形的形状,大小
平移中的对应元素
图示
说明
对应点
点A的对应点是点A'
点B的对应点是点B'
点C的对应点是点C'
对应线段
线段AB与线段A'B'叫做对应线段
线段AC与线段A'C'叫做对应线段
线段BC与线段B'C'叫做对应线段
对应角
∠BAC与∠B'A'C'叫做对应角
∠ABC与∠A'B'C'叫做对应角
∠ACB与∠A'C'B'叫做对应角
平移的要素
平移的方向
原图形上的某一点到平移后的图形上的对应点的方向就是平移的方向
平移的距离
任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离
确定一个图形平移的方向和距离,只需确定其中一个点平移的方向和距离
平移的性质
①
由平移得到的图形与原图形的形状和大小完全相同,两个图形能够完全重合
②
平移后的图形与原图形的对应线段平行(或在同一条直线上)并且相等,对应角相等
对应线段平行(或共线)且相等
对应角相等
③
一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等
对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等
要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别
前者是通过连接平移前后的对应点得到的
后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的,是图形的一条边
平移作图
说明
平移作图就是作一个图形经过平移后得到的新图
理论依据
平移的性质
基本步骤
①定
确定平移的方向和距离
②找
找出表示图形的关键点
③移
过关键点作平行(或在同一条直线上)且相等的线段,得到关键点的对应点
一般用虚线
④连
按原图形顺次连接对应点
一般用实线
因为平移是由平移的方向和距离决定的,所以在平移作图时,首先要明确原图形的位置及平移的方向和距离
先确定一组对应点平移的方向和距离,再依据平移的概念确定出其他关键点的对应点的位置,从而确定平移后整体图形的位置
利用平移来设计图案
首先要确定基本图案,再考虑通过两次或多次平移来完成
用平移求面积
当阴影部分的左、右边界由直线变为折线或曲线,阴影部分由规则图形变为不规则图形时,不规则图形的问题可以通过平移转化成规则图形的问题来解决
认识三角形
三角形的有关概念
定义
三角形是由3条不在同一条直线上的线段,首尾依次相连组成的图形
①不在同一条直线上
②三条线段
③首尾顺次相接
有关概念
图示

三角形的边
组成三角形的线段叫做三角形的边
线段AB、BC、CA
也可以用小写字母a、b、c来表示
边BC用a表示,边AC、AB分别用b、c表示
一般地,我们不说顶点所对的边,而是说角所对的边
三角形的顶点
相邻两边的交点叫做三角形的顶点
点A、B、C
三角形的角
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角
∠A、∠B、∠C
表示
三角形的表示
三角形用符号“△”表示
单独的△没有意义
顶点是A,B,C的三角形记作“△ABC”
读作“三角形ABC”
注意
表示三角形三个顶点的字母的顺序可以任意调换
如△ABC也可以写成“△BAC”、“△BCA”、“△CAB”等
数三角形个数的方法
①
按图形形成的过程(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数)
②
按大小顺序
③
可从图中的某一条线段开始,沿着一定方向去数
④
先固定一个顶点,变换另两个顶点来数
一定要注意按一定次序去数,避免重复或遗漏
三角形的分类
按角分类
直角三角形
说明
一个角是直角
直角边
在直角三角形中,夹直角的两条边叫做直角边
斜边
直角所对的边叫斜边
表示
符号“Rt△”
直角三角形ABC,可以用“RT△ABC”表示,读作“直角三角形ABC”
斜三角形
锐角三角形
说明
三个内角都是锐角
钝角三角形
说明
有一个角是钝角
一个三角形中,最多有三个锐角,最少有两个锐角,最多有一个直角,最多有一个钝角
从角的方面判断一个三角形的形状的方法
①若最大内角为锐角,则该三角形是锐角三角形
②若最大内角为直角,则该三角形是直角三角形
③若最大内角为钝角,则该三角形是钝角三角形
按边的关系
不等边三角形
说明
三边互不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
三边都相等的三角形
三角形的三边关系
三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边
理论依据
两点之间,线段最短
几何语言
图示
说明
如图,在△ABC中,AB+AC>BC,AC+BC>AB , AB+BC>AC
理解
如上图,在△ ABC中
若把顶点B,C看作定点,由“两点的所有连线中,线段最短”的性质,可以得到AB+AC>BC
同样,若把顶点A,C看作定点,可以得到AB+BC>AC
若把顶点A,B看作定点,可以得到BC+AC>AB
推论
三角形任意两边之差小于第三边
几个语言
图示
说明
如图,在△ABC中,AB-AC<BC,AC-BC<AB , BC-AB<AC
应用
①
判断三条线段能否组成三角形
若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形
反之,则不能组成三角形
②
确定第三边长(或周长)的取值范围
已知三角形的两边长,可根据“第三边长大于其他两边长之差,小于这两边长之和”来确定第三边长(或周长)的取值范围
③
解决线段的不等关系问题(如证明几何不等式)时,常联想到三角形的三边关系
三角形的中线、角平分线、高
三角形的中线
文字语言
在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段,叫做三角形的中线
三角形的中线是线段
图形语言
作图语言
取BC边的中点D,连接AD
语言表述
①
AD是ΔABC的中线
②
AD是ΔABC中BC边上的中线
③
④
点D是BC边的中点
推理语言
因为AD是△ABC的中线,所以BD=DC=1/2BC
位置特征
一个三角形有三条中线,它们交于三角形内一点
重心
三角形三条中线交于三角形内部一点,这一点叫三角形的重心
注意
三角形的中线都在三角形的内部
中线把三角形分成面积相等的两个三角形
三角形的角平分线
文字语言
在三角形中,一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线
三角形的角平分线是线段
图形语言
作图语言
作∠BAC的平分线AE,交BC于点E
语言表述
①
AE是ΔABC的角平分线
②
AE平方∠BAC交BC于点E
③
∠BAC=2∠1=2∠2
推理语言
因为AE是△ABC的角平分线,所以∠1=∠2=1/2∠BAC
位置特征
一个三角形有三条角平分线,它们相交于三角形内一点
内心
三角形三条角平分线交于三角形内部一点,这一点叫做三角形的内心
注意
与角的平分线不同,注意区别
在三角形的内部
可以用量角器或圆规画三角形的角平分线
三角形的高
文字语言
从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高
三角形的高是线段
图形语言
作图语言
过点A作AF上BC于点F
语言表述
①
AF是△ABC的高
②
AF是△ ABC中BC边上的高
③
AF⊥BC于点F
④
∠AFC = 90°,∠AFB= 90°(或∠AFC=∠AFB=90°)
推理语言
因为AF是△ABC的高,所以AF⊥BC(或∠AFB=∠AFC=90° )
位置特征
三角形的三条高所在的直线交于一点
垂心
一个三角形有三条高,且三条高所在直线相交于一点,这一点叫做三角形的垂心
注意
①
与边的垂线不同
②
不一定在三角形的内部
锐角三角形
三条高在三角形内部,三条高的交点也在三角形内部
图示
直角三角形
其中两条恰好是直角边,三条高的交点是直角的顶点
图示
钝角三角形
有两条高在三角形的外部,且三条高所在直线的交点在三角形的外部
图示
三角形的不等关系
①
三角形任意两边之和大于第三边
②
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
③
长边对大角
在一个三角形中,较长边所对的角较大,较短边所对的角较小
④
大角对长边
在一个三角形中,较大角所对的边较长,较小角所对的边较短
多边形的内角和与外角和
多边形
定义
在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形
三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形
其中,各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形
同时满足“各边相等”,“各角相等”两个条件,二者缺一不可
相关概念
图示
边
组成多边形的各条线段叫做多边形的边
一个n边形有n条边
顶点
相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点
一个n边形有n个顶点
内角
多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角
一个n边形有n个内角
对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线
对角线条数公式

过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形
多边形分类
凸多边形
画出多边形的任何一边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,那么这个多边形就是凸多边形
凹多边形
画出多边形的任何一边所在的直线,如果整个多边形不在直线的同一侧,这个多边形叫凹多边形
多边形内角和
三角形三个内角之间的关系
三角形的内角和
说明
三角形三个内角的和等于180°
几何语言
在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°
三角形的三个内角中至少有两个锐角,最多有一个钝角
直角三角形的两个锐角互余
三角形中最大内角不小于60°
三角形内角和的应用
①
当已知三角形中两内角时,利用它可求第三个内角
②
当已知三个内角间的一些数量关系时,可列方程求各个内角
多边形内角和
n边形内角和公式
(n-2)·180°(n≥3)
多边形的内角和随边数的变化而变化,且边数每增加1,内角和就增加 180°
多边形的每一个内角都大于0°,小于180°
多边形的内角中最多有3个是锐角
正多边形的每个内角都相等
推导过程
方法一
图示
过程
如图,从n边形的一个顶点出发,可以引(n-3)条对角线,它们把n边形分成(n-2)个三角形,因此n边形的内角和就等于这( n-2)个三角形的内角和,即( n-2)·180°
方法二
图示
过程
如图,在n边形内任取一点P,连接PA1,PA2,PA3…,PAn,则n边形被分成了n个三角形,这n个三角形的内角和为n·180°,以P为公共顶点的n个角的和为360°,所以n边形的内角和为n·180° -360°,即(n-2)·180°
方法三
图示
过程
如图,在A2A3上任取一点P,连接PA1,PA4,PA5,…,PAn,则n边形被分成了(n-1)个三角形,这( n-1)个三角形的内角和为(n-1)·180°,以P为公共顶点的( n-1)个角的和为180°,所以n边形的内角和为( n-1)·180° -180°,即( n-2)·180°
这几种方法是将多边形问题转化为三角形问题来解决的.这种转化是化归思想的体现,也是解决多边形问题的基本思想
多边形内角和公式的常见应用
①
已知多边形的边数,求内角和
②
已知多边形的内角和,求边数
③
已知n边形每个内角的度数,且度数都相等,求边数
若已知n边形每个内角的度数都是k,则可列方程(n-2)×180°= kn,然后解方程求出n
多边形外角和
三角形外角和
三角形的外角
说明
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.如图,∠ACD是△ABC的一个外角
图示

要求
①顶点在三角形的一个顶点上
②一条边是三角形的一边
③另一条边是三角形某条边的延长线
三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角.所以三角形共有六个外角,通常每个顶点处取一个外角,因此,我们常说三角形有三个外角
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角
三角形的外角和
说明
对于三角形的每个内角,从与它相邻的两个外角中取出一个,这样取得的三个外角相加所得的和,叫做三角形的外角和
三角形的外角和等于360°
多边形外角和
多边形的外角
一个n边形有n个外角
说明
多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
图示
∠CBF是五边形ABCDE的一个外角
多边形的外角和
说明
在一个多边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做多边形的外角和
图示
如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6就是六边形ABCDEF的外角和
多边形的外角和
多边形的外角和恒等于360°
n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关
正n边形的每个内角都相等,所以它的每个外角都相等,都等于
推导
多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180°,所以多边形的一个外角可以用相邻的内角表示,则n边形的外角和是n个平角减去多边形的内角和,即n·180° - ( n-2)· 180°= 360°
镶嵌
说明
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)
这里的多边形可以形状相同,也可以形状不相同
拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°;相邻的多边形有公共边
用正多边形实现镶嵌的条件
边长相等
顶点公用
在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°
只用一种正多边形镶嵌地面,当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时,就能铺成一个平面图形
只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用