第9章 整式乘法和因式分解

苏科版初中数学：7年级下册《第9章 整式乘法和因式分解》详细知识点梳理，使用其他版本教材的同学也可以正常使用。

第9章 整式乘法和因式分解

• 整式乘法
  • 单项式乘单项式
    • 法则
      • 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
      • • 实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用
        • 运算的结果仍为单项式
        • 三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则
    • 步骤
      • ①
        • 确定积的系数，积的系数等于各项系数的积
        • • 先把各因式里的系数组成一组,积的系数等于各因式系数的积
          • 在各系数相乘时,先确定积的符号,再计算绝对值
      • ②
        • 相同字母相乘，是同底数幂的乘法
        • • 相同字母相乘时,利用同底数幂的乘法法则“底数不变,指数相加”
      • ③
        • 只在一个单项式里出现的字母及其指数不变，作为积的一个因式
      • ④
        • 将这三部分的乘积作为计算的结果
    • 注意
      • ①
        • 单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算,应按“先乘方,再乘法”的顺序进行
      • ②
        • 单项式乘单项式,结果仍是单项式,对于幂的底数是多项式形式的,应将其作为一个整体来运算
      • ③
        • 对于三个或三个以上的单项式相乘,法则仍然适用
      • ④
        • 用科学记数法表示的数的乘法可以理解成单项式与单项式相乘,最后结果要符合科学记数法
        • • 将用科学记数法表示的数中的一位整数部分看成单项式的系数,10看成单项式中的字母
  • 单项式乘多项式
    • 法则
      • 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加
      • • 实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题
    • 注意
      • ①
        • 一般情况下，积为一个多项式，其项数与原多项式的项数相同，不要漏乘项
      • ②
        • 计算的过程中要注意符号问题
        • • 多项式中的每一项包括它前面的符号
          • 还要注意单项式的符号
      • ③
        • 对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果
  • 多项式乘多项式
    • 法则
      • 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
      • 
    • 注意
      • ①
        • 运用多项式乘多项式的法则时,必须做到不重不漏,相乘时要按一定的顺序进行
        • • 例如(m+n )·( a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘,再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘,然后把所得的积相加．即( m+n ) ( a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc
      • ②
        • 在相乘时防止漏项,检查有无漏项的方法是:两个多项式相乘,在没有合并同类项前,积的项数应是这两个多项式项数的积
        • • 如( m+n ) ( a+b+c),积的项数应为2×3=6
      • ③
        • 各项的系数
          • 由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数
      • ④
        • 各项的排列
          • 合并同类项之后,积中各项的排列一般按某一字母的升(或降)幂排列．
      • ⑤
        • 注意确定积中每一项的符号,多项式中每一项都包含它前面的符号,“同号得正,异号得负”
      • ⑥
        • 多项式与多项式相乘的展开式中,有同类项一定要合并同类项,化为最简结果
    • 特殊的二项式相乘
      • 
  • 乘法公式
    • 完全平方公式
      • 公式
        • 公式
          • （a+b）²=a²+2ab+b²
          • （a-b）²=a²-2ab+b²
          • • ①
              • 公式右边2ab 的符号取决于左边二项式中两项的符号.若这两项同号,则2ab取“+”,若这两项异号,则2ab取“-”
            • ②
              • 公式中的a, b可以是单项式,也可以是多项式
        • 说明
          • 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍
          • 口诀
            • 首平方，尾平方 积的2倍在中间 符号确定看前方
      • 常见变形
        • ①
          • 
        • ②
          • 
        • ③
        • ④
        • ⑤
        • ⑥
      • 注意
        • 当二项式中两项符号相同时,一般选用“和”的完全平方公式;当二项式中两项符号相反时，一般选用“差”的完全平方公式
    • 平方差公式
      • 公式
        • 公式
          • 
          • • a，b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式
        • 说明
          • 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
      • 常见变形
        • 位置变化
          • 
        • 符号变化
          • 
        • 系数变化
          • 
        • 指数变化
          • 
        • 增因式变化
        • 增项变化
          • 
        • 连用公式
          • 
        • 逆用公式
      • 注意
        • ①
          • 利用公式计算,关键是分清哪一项相当于公式中的a,哪一项相当于公式中的b
        • ②
          • 通常情况下,为防止出错,相同项在前，相反项在后,然后套用公式
    • 拓展
      • 三项式的完全平方公式
      • 立方和（差）公式
      • 完全立方公式
      • 完全立方公式与立方和（差）公式的联系
      • 其他
        • 
  • 整式的除法
    • 单项式除以单项式
      • 两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
    • 多项式除以单项式
      • 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
    • 多项式除以多项式
      • 长除法
        • 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算
        • • 被除数=除数×商+余数
          • 被除式=除式×商式+余式
          • 按照某个字母的降幂排列时，如果被除式、除式有缺项，那么一定要留出空位或用补0的办法补足缺项
      • 一般步骤
        • 1. 把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐
        • 2. 用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的第一项
        • 3. 用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积
        • 4. 把减得的差当做新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到除式为0或余式的次数低于除式的次数时为止
• 多项式的因式分解
  • 因式分解的意义
    • 意义
      • 把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式
      • 说明
        • 对象
          • 因式分解只针对多项式
          • • 不是针对单项式
            • 是对这个多项式的整体，而不是部分
        • 结果
          • 分成几个整式的乘积的形式
          • • ①
              • 一定是整式乘积的形式
            • ②
              • 要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止
            • ③
              • 相同的因式的积要写成幂的形式
              • 不能存在大括号、中括号
              • 单项式因式应写在多项式因式前面
        • • 若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止
          • 在有理数范围内x^2-2已经不能再分解了，在实数范围内还可以分解为(x+√2)(x-√2)
    • 因式分解与整式乘法的关系
      • 说明
        • 因式分解和整式乘法互为逆变形
      • 注意
        • ①
          • 因式分解与整式乘法虽然都是恒等变形,但目的不同
          • • 整式乘法是把“积”化为“和、差”的形式
            • 因式分解是把“和、差”化为“积”的形式
        • ②
          • 多项式因式分解的结果必须是乘积形式
          • • 这个乘积中的因式可以是单项式,也可以是多项式,但必须是整式
        • ③
          • 各因式要分解到不能再分解为止
  • 方法
    • 提公因式法
      • 公因式
        • 说明
          • 如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式
          • • 公因式必须是多项式中每一项中都含有的因式
            • 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式
      • 公因式的确定
        • 方法
          • 系数
            • 通常，当多项式的各项系数是整数时，公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数
          • 字母
            • 字母应取各项相同的字母，且各字母的指数均取次数最低的
            • 步骤
              • ①
                • 先确定相同字母
                • • 字母取多项式各项中相同的字母
              • ②
                • 再确定相同字母指数
                • • 相同字母的指数取该字母在各项中指数最小的那一个
      • 公因式的提取
        • ①
          • 若首项系数为负时,一般要提出“-”,使括号内首项系数为正
          • • 需注意,此时括号内各项都应变号
        • ②
          • 不能漏项,提出公因式后,每一项都有剩余部分,它们组成的新多项式的项数与原多项式的项数相同
          • • 特别注意,当多项式的某一项与公因式相同,被全部提出后,剩下的多项式因式应在相应的位置上补1
        • ③
          • 最后要检查是不是分解到最后结果,不能有公因式遗漏未提
        • ④
          • 公因式提取后,每一项的剩余部分可根据同底数幂的乘法法则的逆运算来确定
      • 提公因式法
        • 说明
          • 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法，叫做提公因式法
          • • 
            • 多项式提公因式后,剩余的因式的项数与原来多项式的项数相等
        • 一般步骤
          • ①
            • 确定公因式
            • • 先确定系数,再确定字母和字母的指数
          • ②
            • 提公因式并确定另一个因式
          • ③
            • 把多项式写成这两个因式的积的形式
    • 公式法
      • 说明
        • 如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法
      • 分类
        • 用平方差公式分解因式
          • 平方差公式
            • 符号表示
              • a²-b²=（a+b)·(a-b）
            • 语言叙述
              • 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积
            • • a，b既可以是单项式，也可以是多项式
          • 特点
            • ①
              • 等号左边是二项式,两项的绝对值都能写成平方的形式,且符号相反
            • ②
              • 等号右边是两个二项式的积,其中一个二项式是左边平方项两个底数的和,另一个二项式是两个底数的差
            • • 只有符合平方差公式特点的二项式,才可以运用平方差公式分解因式
              • 运用平方差公式分解因式的条件是多项式可以写成两个数的平方差的形式
        • 用完全平方公式分解因式
          • 完全平方公式
            • 符号表示
              • 
              • 
              • a²±2ab+b²=（a±b）²
            • 语言叙述
              • 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方
            • • 公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式
          • 特点
            • ①
              • 等号左边是三项式,其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的平方,且这两项的符号相同,中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍,符号正负均可
            • ②
              • 等号右边是这两个数(或两个式子)的和(或差)的平方.当中间的乘积项与首末两项符号相同时,是和的平方;当中间的乘积项与首末两项的符号相反时,是差的平方
            • • 只有符合公式左边特点的三项式，才可以运用完全平方公式分解因式
    • 分组分解法
      • 说明
        • 把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解
        • • 先对题目进行分组，然后再分解因式
      • 分组的依据
        • 组与组之间因式分解后，能联系到一起，化加减为乘
    • 十字相乘法
      • 说明
        • 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法
      • 方法
        • 首项系数为1
          • 对于二次三项式x²+bx+c若存在
            • 
          • 在对x²+bx+c分解因式时
            • 先从常数项的正、负入手
              • 若c＞0，则p,q同号
              • 若c＜0，则p,q异号
            • 然后依据一次项系数b的正负,再确定p、q的符号
            • 若b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止
          • • 掌握方法
              • 拆分常数项，验证一次项
            • 符号规律
        • 首项系数不为1
          • 在二次三项式
            • 二次项系数a可以分解成两个因数之积
              • 
            • 常数项c可以分解成两个因数之积
              • 
            • 
              • 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于b
              • 即
          • • 二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上
      • 双（长）十字相乘法
        • 一般适用于二元二次六项式的因式分解
        • 基本步骤
          • 1. 运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；
          • 2. 在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，依次填在第二个十字的右端，使者两个因数与含y的项的交叉之积的和等于原多项式中含y的一次项Ey，同时这两个因数与含x的项的交叉之积的和等于原多项式中含x的一次项Dx
  • 因式分解的步骤
    • 说明
      • 遵循“一提、二套、三查”的原则
    • 步骤
      • ①
        • 提取公因式
        • • 无公因式，考虑②
          • 有公因式，提取公因式后，看括号内
      • ②
        • 确定项数
        • • 两项
            • 考虑平方差公式
          • 三项
            • 考虑完全平方公式
            • 十字相乘
          • ≥4
            • 分组
            • • 分完组以后，再把各小组看做独立的整体，考虑①②
      • ③
        • 一定要确认是否分解彻底
  • 拓展：其他方法
    • 立方和和立方差公式
    • 多项式的完全平方
    • 拆项和添项法
      • 拆项和添项
        • 拆项
          • 把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项
        • 添项
          • 在代数式中添加互为相反数的项，叫做添项
        • • 拆项和添项都是代数式的恒等变形
      • 说明
        • 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解
        • • 必须在与原多项式相等的原则下进行变形
    • 换元法（设辅助未知数法）
      • “换元”就是一新的“元”去代替原式中的某一个式子，使的原式变成含新“元”的式子，如然后对新式子进行处理，再将“新元”所代替的式子代回，求出原式的结果
      • 作用
        • 将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题转化为简单的问题
    • 配方法
      • 利用拆项与添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法
    • 主元法
      • 当多项式含有多个字母，可以选择其中的一个字母作为主要元素，其余字母看做字母系数，这种方法叫做主元法
    • 因式定理
      • 若多项式f(x)有一个因式x－c，则f(c)=0；反之，若f(c)=0，则x－c必为多项式f(x)的一个因式，这个定理叫做因式定理
      • • f(x)表示以x为主元的整式
    • 待定系数法
      • 恒等式
        • 恒等式就是当用任何数值代替式子的字母时，都能使等号左右两边的值相等的算式
        • 性质
          • 赋值法
          • 比较系数法
      • 待定系数法
        • 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，然后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法
        • 实质
          • 对于含有待定系数的恒等式，利用恒等式的定义和性质，采用比较系数法或赋值法，找到多项式的因式