第10章 二元一次方程组

苏科版初中数学：7年级下册《第10章 二元一次方程组》详细知识点梳理，使用其他版本教材的同学也可正常使用。

第10章 二元一次方程组

• 二元一次方程
  • 二元一次方程
    • 定义
      • 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程
    • 注意
      • 在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数
      • “未知数的项的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1
      • 二元一次方程的左边和右边都必须是整式
    • • 若方程ax+by=c是关于x,y的二元一次方程,则说明x, y是未知数, a, b,c是常数,且 a≠0,b≠0
  • 方程的解
    • 定义
      • 使二元一次方程两边的值相等的一对(两个)未知数的值，叫做二元一次方程的解
      • • 二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来
    • 解的个数
      • 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解
      • • 即有无数多对数适合这个二元一次方程
    • 解的检验
      • 检验一组数是不是某个二元一次方程的解时，可将这组数代入到方程中，若这组数满足该方程（即方程左右两边相等），就说这组数是该二元一次方程的解。否则，不是该二元一次方程的解
      • 简记
        • 一代
        • 二算
        • 三判断
    • 解的求法
      • 求二元一次方程的解时,先把方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式,这样求解更容易
    • • 二元一次方程特殊解的求法
        • 先将方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式
        • 再将所有符合条件的x或y的值逐一代入求出y或x的一个值,这样求得的每组值均是要求的特殊解
• 二元一次方程组
  • 定义
    • 把含有两个未知数的两个一次方程联立在一起,就组成了一个二元一次方程组
    • 注意
      • 二元一次方程组一共要含有两个未知数,而不是每个方程都必须含有两个未知数
      • 方程组中的各个方程,相同未知数必须代表同一数量,否则不能将两个方程合在一起
      • • 方程组中每个方程均为整式方程
        • 方程组中有且只有两个未知数
        • 方程组中含有未知数的项的次数为 1
  • 方程组的解
    • 定义
      • 我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解
      • 公共解
        • 既是第一个方程的解，又是第二个方程的解
    • 说明
      • ①
        • 方程组的解一定是方程组中每一个方程的解,但方程组中每个方程的解不一定是这个方程组的解
      • ②
        • 方程组的解要用大括号联立表示
        • • “｛”表示同时满足，相当于“且”的意思
      • ③
        • 一般地,二元一次方程组的解只有一组,但也有特殊情况.
        • 二元一次方程组解的个数情况
          • 
            • 
            • 
            • 
    • 解的检验
      • 方法
        • 代入检验法
      • 说明
        • 检验一对数值是否为某二元一次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时,才能说这对数值是此方程组的解.如果这对数值不满足其中的某一个方程,那么它就不是此方程组的解
      • • 方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解
• 解二元一次方程组
  • 消元思想
    • 两个未知数，消去一个，把二元一次方程组转化为一元一次方程。这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想
    • • 基本思路
        • 未知数由多变少
      • 基本方法
        • 把二元一次方程组转化为一元一次方程
  • 方法
    • 代入消元法
      • 定义
        • 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程
      • 解题步骤
        • ①
          • 变形
            • 选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y=ax+b或x=ay+b的形式
            • 找准消元对象
              • 消元对象一般选取系数简单的未知数
              • • 系数的绝对值较小的
                • 系数是±1的
        • ②
          • 代入
            • 将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程
            • • 变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程
        • ③
          • 求解
            • 解这个一元一次方程，求出x或y的值
        • ④
          • 回代
            • 将已求出的x或y的值代入方程组中的任意一个方程或y=ax+b或x=ay+b，求出另一个未知数
            • • 用代入法求出一个未知数的值后,再求另一个未知数时,一般代入变形后得到的方程比较简单
        • ⑤
          • 写解
            • 把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解
      • 方法
        • 直接代入
          • 方程为一个未知数关于另一个未知数的表达式
        • 变形代入
          • 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数
        • 整体代入
          • 方程组中同一未知数的系数成倍数关系
    • 加减消元法
      • 定义
        • 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程
        • • 加减消元的依据是等式的基本性质
      • 步骤
        • ①
          • 变形
            • 将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式
            • • 最小公倍数
        • ②
          • 加减
            • 根据其系数特点将变形后的两个方程相加或者相减，得到一元一次方程
            • • 同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减
              • 同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加
        • ③
          • 求解
            • 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值
        • ④
          • 回代
            • 把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值
        • ⑤
          • 写解
            • 把求得的两个未知数的值用“｛”联立起来，这样就得到二元一次方程组的解
      • 注意
        • ①
          • 一般先将方程组整理成标准形式，然后再设法加减消元
        • ②
          • 选取消元对象
          • • 当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时,选择消去该未知数较简单
            • 如果同一未知数的系数既不相等,也不互为相反数,那么可以利用等式的性质进行转化,使同一未知数的系数变得相等或互为相反数
      • 四个策略
        • ①
          • 对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组,直接相加消元
        • ②
          • 对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组,直接相减消元
        • ③
          • 当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时,应适当变形后消去这个未知数
        • ④
          • 当二元一次方程组不具备以上三种类型时,选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消充”的目标更简便
• 三元一次方程组
  • 三元一次方程
    • 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
    • 条件
      • ①是整式方程
      • ②含有三个未知数
      • ③含未知数的项的最高次数是1次
  • 三元一次方程组
    • 把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了三元一次方程组
    • 条件
      • ①
        • 方程组中一共含有三个未知数,而不是每个方程都必须含有三个未知数
        • • 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可
      • ②
        • 方程组中共有三个整式方程
      • ③
        • 含未知数的项的次数是1
  • 解三元一次方程组的思路与步骤
    • 思路
      • 通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程
      • • 三元→二元→一元
    • 一般步骤
      • ①
        • 消元
          • 利用代入法或加减法,把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组,消去两组中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组
      • ②
        • 求解
          • 解这个二元一次方程组,求出两个未知数的值
      • ③
        • 回代
          • 将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程
      • ④
        • 求解
          • 解这个一元一次方程,求出最后一个未知数的值
      • ⑤
        • 写解
          • 将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起
    • 注意
      • 一定要明确消元时，首先消哪个未知数
• 用二元一次方程组解决问题
  • 建立二元一次方程组模型
    • 
  • 一般步骤
    • ①
      • 审
        • 仔细审题，弄清题目中的已知量与未知量，并找出等量关系
    • ②
      • 设
        • 选元
          • 从众多的未知数中选出两个未知数
        • 设元
          • 根据问题设出两个未知数
            • 直接
            • 间接
        • • 要明确有关量的单位名称
    • ③
      • 列
        • 根据两个等量关系，列出方程组
    • ④
      • 解
        • 解这个方程组，得出未知数的值
    • ⑤
      • 验
        • 检验所求得的结果是否符合题意及实际意义
    • ⑥
      • 答
        • 写出答案，包括单位
  • 常见问题
    • 行程问题
      • 公式
        • 路程=速度*时间
        • 
        • 
      • 类型
        • 相遇
          • 快者走的路程+慢者走的路程=两者相距的路程
        • 追击
          • 快者走的路程-慢者走的路程=原来的距离
        • 环形跑道
          • 同一地点，同时出发时
            • 同向而行时
              • 首次相遇时快者走的路程-慢者走的路程=一圈的长
            • 背向而行时
              • 首次相遇时快者走的路程+慢者走的路程=一圈的长
        • 水流行船
          • 顺水（风）
            • 顺水（风）速=静水（风）速+水流（风）速
          • 逆水（风）
            • 逆水（风）速=静水（风）速-水流（风）速
    • 销售问题
      • 常用公式
        • 利润＝售价－成本(进价)
        • 
        • 利润＝成本（进价）×利润率
        • 标价＝成本(进价)×(1＋利润率)
        • 实际售价＝标价×打折率
    • 工程问题
      • 公式
        • 甲乙合做的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率
        • 甲的工作量+乙的工作量=总的工作量
        • 工作量=工作效率×工作时间
      • • 甲的工作时间与乙的工作时间的和不等于总的工作时间
        • 工作总量通常用1来表示
    • 配套问题
      • 基本等量关系
        • 加工总量成比例
      • • 根据已知条件分清数量关系，尤其是倍数关系
    • 数字问题
      • 间接设元
    • 其他问题
      • 年龄问题
      • 分段计费问题
      • 方案设计问题
      • 几何图形问题