导图社区 初中数学8.9 中心对称图形—平行四边形
苏科版初中数学:8年级下册《8.9 中心对称图形——平行四边形》详细知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。
编辑于2024-04-17 15:46:338年级上册数学(苏科)第3章《勾股定理》相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
8年级上册数学(苏科)第2章,轴对称图形相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
苏科版8年级上册《全等三角形》相关知识点梳理,展示了全等三角形的定义、性质、以及判定条件等多个方面的知识点。这种组织方式使得学习者能够一目了然地掌握全等三角形的核心内容,便于记忆和复习。还介绍了多种全等三角形的判定方法,如“边角边”、“角边角”、“角角边”和“边边边”等,并详细说明了它们的由来、内容、应用格式以及推论。这些信息为学习者提供了丰富的解题技巧和方法,有助于他们在解决实际问题时灵活运用。使用其他版本的同学也可以正常使用。
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8年级上册数学(苏科)第3章《勾股定理》相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
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苏科版8年级上册《全等三角形》相关知识点梳理,展示了全等三角形的定义、性质、以及判定条件等多个方面的知识点。这种组织方式使得学习者能够一目了然地掌握全等三角形的核心内容,便于记忆和复习。还介绍了多种全等三角形的判定方法,如“边角边”、“角边角”、“角角边”和“边边边”等,并详细说明了它们的由来、内容、应用格式以及推论。这些信息为学习者提供了丰富的解题技巧和方法,有助于他们在解决实际问题时灵活运用。使用其他版本的同学也可以正常使用。
8.9 中心对称图形—平行四边形
图形的旋转
旋转
概念
将图形绕一个定点旋转一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转
图示

旋转中心
这个定点称为旋转中心
点O
旋转角
旋转的角度称为旋转角
∠AOA′
∠BOB′
∠COC′
一般地,旋转角大于0°而小于360°
对应点
点A与点A'
点B与点B'
点C与点C'
旋转三要素
旋转中心
旋转中心在旋转过程中保持不动
旋转方向
顺时针
逆时针
旋转角度
对应点和旋转轴中心所连线段的夹角等于旋转角
旋转角的顶点为旋转中心
注意
图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度
图形的旋转不改变图形的形状、大小,只改变图形的位置
旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中
对应点到旋转中心距离相等
对应点分别与旋转中心连线所成的角相等
旋转前后,图形全等
旋转作图
说明
在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度,确定旋转后所得到的对应点。然后连接对应的部分,形成相应的图形
作图步骤
1. 分析题目要求,明确旋转中心、旋转角、旋转方向
2. 分析所作图形,找出构成图形的关键点
3. 作出关键点的对应点,对应点的作法是
①连接图形的每个关键点与旋转中心
②把连线绕旋转中心,按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角)
③在作得的角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段,得到各个关键点的对应点
4. 按原图形中各关键点的顺序,连接所作的各个关键点的对应点,并标上相应的字母
5. 写出结论,说明作出的图形
旋转中心确定方法
在图形上
哪一个点在旋转过程中位置没有改变,哪一点就是旋转中心
在图形外
对应点的连线的垂直平分线的交点就是旋转中心
旋转对称图形
把一个图形绕一个定点旋转一定角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形
旋转对称中心
这个定点叫做旋转对称中心
旋转角
旋转的角度叫做旋转角
一般地,旋转角大于0°而小于360°
中心对称与中心对称图形
中心对称
概念
一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称
这个点叫作对称中心
这两个图形中的对应点叫作关于对称中心的对称点
注意
是一种特殊的旋转,旋转角为180°
有两个图形,能够完全重合,即形状大小都相同
将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合
全等图形不一定是中心对称的,而中心对称的两个图形一定是全等的
性质
具有图形旋转的一切性质
对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分
成中心对称的两个图形全等,对应边、对应角都分别相等
一对对应点到对称中心的距离相等
任意一对对应点、对称中心三点在同一条直线上
画关于某一点对称的图形
画一个图形关于某一点对称的图形,关键是作出已知图形中特殊点的对应点
中心对称图形
概念
把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫作中心对称图形,这个点就是它的对称中心
中心对称图形指的是一个图形
线段,平行四边形,圆等等都是中心对称图形
中心对称图形是特殊的旋转对称图形
旋转角度为180°
中心对称与中心对称图形的区别与联系
区别
中心对称
是针对两个图形而言的
是指两个图形的位置关系
中心对称图形
是针对一个图形而言的
是指具有某种性质的一个图形
联系
都是通过把图形旋转180°重合来定义的
两者可以相互转化(部分与整体)
中心对称图形和轴对称图形的区别与联系
关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x,-y)
平行四边形
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形的定义既是性质,又是判定
由定义知平行四边形的两组对边分别平行
由定义可以得出只要一个四边形中的两组对边分别平行,那么这个四边形就是平行四边形
图示
表示
平行四边形用符号“▱”表示;平行四边形ABCD记作“▱ABCD”,读作“平行四边形ABCD”
注意
平行四边形的表示一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点
基本元素
边
对边
2对
邻边
4对
角
对角
2对
邻角
4对
对角线
2条
性质
图示
边
平行四边形两组对边分别平行且相等
AB//DC,AD//BC
AB=DC, AD=BC
平行四边形的两条邻边之和等于周长的一半
角
平行四边形两组对角分别相等,邻角互补
∠BAD =∠DCB, ∠ABC=∠CDA
∠BAD+∠ABC=180°, ∠ABC+∠BCD=180° ∠BCD+∠CDA=180° ∠CDA+∠DAB=180°
对角线
平行四边形对角线互相平分
AO = CO,BO = DO
对角线互相平分的意义为两条对角线的交点是它们各自的中点
每一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形
两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的三角形,相对的两个三角全等
对称性
平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心
平行四边形面积
基础
等底等高的平行四边形面积相等
拓展
①
图示

说明
平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等,都等于平行四边形面积的1/4
②
图示

说明
平行四边形内任意一个分得的四个三角形,其中相对的两组三角形面积之和相等

注意
过对角线中点的任意一条直线都把平行四边形分成面积相等的两部分
平行四边形的判定
判定定理
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据,也可作为“画平行四边形”的依据
一组对边平行,另一组对边相等的四边形不能判定为平行四边形,它有可能是等腰梯形
从对称性来看,如果一个四边形是中心对称图形,那么这个四边形是平行四边形
用符号语言表示平行四边形的判定方法
平行四边形判定方法的选择
反证法
说明
一种间接证明的方法,不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立,而是先提出与结论相反的假设,然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果,说明假设是错误的,因而命题的结论成立
步骤
1.假设结论不成立
2.从假设出发推出矛盾
推出矛盾,可以与已知条件矛盾,也可以与定义、定理、公理、性质等矛盾
3.假设不成立,则结论成立
矩形、菱形、正方形
矩形
定义
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形,矩形也叫长方形
两个要素
①是平行四边形
②有一个角是直角
矩形首先是一个平行四边形,然后增加一个角是直角这个特殊条件
性质
具有平行四边形的一切性质
特殊
角
矩形的四个角都是直角
对角线
矩形的对角线相等
对称性
矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形
对称轴是每组对边的垂直平分线,有2条对称轴
面积
判定
角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
三个角是直角的四边形是矩形
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
注意
在平行四边形的前提下,加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形
两条平行线之间的距离
定义
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离
距离是指垂线段的长度,是正值
都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度
性质
两条平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的
夹在两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的
菱形
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
两个要素
①是平行四边形
②有一组邻边相等
菱形是一个平行四边形,然后增加一组邻边相等这个特殊条件
性质
具有平行四边形的一切性质
特殊
边
菱形的四条边都相等
对角线
菱形的对角线互相垂直
每一条对角线平分一组对角
对称性
菱形既是轴对称图形,也是中心对称图形
对称轴是对角线所在的直线,有2条对称轴
面积
菱形的面积等于它的对角线之积的一半
四个小直角三角形面积之和
一个小直角三角形面积的4倍
实际上,任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半
判定
边
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
对角线
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形
定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
性质
既具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质
边
对边平行
四边相等
邻边垂直
角
四个角都是直角
对角线
相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
对称性
既是轴对称图形,也是中心对称图形
面积
判定
思路
先证四边形是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)
先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)
方法
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形
有一组邻边相等的矩形
有一个角是直角的菱形
既是矩形又是菱形的四边形是正方形
关系

三角形的中位线
三角形的中位线
概念
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线
中线与中位线
中线是顶点与对边中点的连线
中位线是中点与中点的连线
定理
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半
说明
图示

三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系
三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的1/2,每个小三角形的面积为原三角形面积的1/4
中点四边形
概念
依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形为中点四边形
原四边形及其对应的中点四边形
说明
中点四边形的形状取决于原四边形的对角线之间的关系
若原四边形的对角线互相垂直,则新四边形是矩形
若原四边形的对角线相等,则新四边形是菱形
若原四边形的对角线垂直且相等,则新四边形是正方形
梯形
定义
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
基础
底
平行的两边叫做梯形的底
通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底
腰
不平行的两边叫做梯形的腰
高
梯形两底之间的距离叫做梯形的高
分类
直角梯形
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形
等腰梯形
两腰相等的梯形叫做等腰梯形
常用解题思路
①作梯形的高,把梯形分割为直角三角形和矩形
②作梯形的腰的平行线,把梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题
等腰梯形
性质
等腰梯形在同一底边上的两个内角相等
等腰梯形的对角线相等
判定
在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
对角线相等的梯形是等腰梯形
梯形的中位线
定义
连接梯形两腰中点的线段,叫做梯形的中位线
定理
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半