高等数学一元函数

本思维导图包含了高等数学第五版上册有关一元函数的大部分相关知识，欢迎大家借鉴参考！

函数

• 初等函数
  • 幂函数
  • 指数函数
  • 对数函数
  • 三角函数
    • 正弦函数
    • 余弦函数
    • 正切函数
  • 反函数
    • 单调函数必有反函数
• 函数的特性
  • 奇函数
    • 图像关于原点对称
  • 偶函数
    • 图像关于y轴对称
  • 周期函数
  • 有界性
  • 连续性
• 极限
  • 数列的极限
    • 定义
      • 对于任意一个确定的ɛ，都有N>0,使当n>N时|x（n）-a|<ɛ
    • 极限的证明
      • • 
  • 函数的极限
    • 函数的极限
    • 某点函数极限存在的条件
      • 该点的左极限和右极限相等
    • 极限的四则运算
      • 前提
        • 所有极限都存在
      • limf（x)=A,limg(x)=B,则lim[f(x)+g(x)]=A+B,lim[f(x)-g(x)]=A-B, lim[f(x)·g(x)]=AB,lim[f(x)/g(x)]=A/B
    • 函数极限的求法
      • 两边夹定理
      • 等价无穷小的替换
        • • 此定理在计算两个无穷小的商或积时通用，若在整个过程中有和差的计算则需要仔细甄别，如：
      • 洛必达法则
        • 条件
        • • 
  • 特殊极限
    • 无穷大
      • 定义
        • • 
      • 注意
        • 无穷大是一个变化趋势，不是一个确定的值
        • 无穷大不一定是正无穷大或负无穷大
        • 无穷大乘以有界函数不一定是无穷大
        • 两个无穷大相加减也不一定是无穷大
    • 无穷小
      • 定义
        • • 
      • 性质定理
        • 有限个无穷小相加还是无穷小
        • 有界函数乘以无穷小还是等于无穷小
        • 常数与无穷小的乘积仍然是无穷小
        • 有限个无穷小相乘还是等于无穷小
      • 无穷小的比较
        • 在同一自变量变化过程中
        • 高阶无穷小
        • 低阶无穷小
        • 同阶无穷小
          • 等价无穷小
            • • 
    • 两个重要极限
  • 极限的应用
    • 导数
      • 定义
        • 函数自变量的变化量趋近于零时，函数因变量变化与自变量变化量的比值称为导数
          • 
      • 几何意义
        • 函数在某点切线的斜率等于函数在该点的导数
      • 导数的运算
    • 微分
• 导数
  • 定义
    • 若自变量的变化量趋向于零时，因变量的变化量与自变量的变化量的比值存在，那么该比值，就成为该函数在某点的导数
  • 导数的四则运算
    • • 
    • • 
      • 拓展
        • 1|||
          • 
        • 2|||
    • • 
  • 反函数的导数运算
    • 1||| 若点A在直接函数上，点B在反函数上，且A、B两点关于直线y=x对称，则直接函数在点A上的切线与反函数在点B上的切线相交于直线y=x上的某一点（或相互平行）
      • 假设M、N在直接函数图像上，M'、N'在反函数图像上，且M与M'，N与N'分别关于直线y=x对称，那么直线MN与直线M'N'也一定关于直线y=x对称，故两直线的交点一定在直线y=x上。 当M、N无限接近时，M'、N'也无限接近，此时，直线MN和直线M'N’可以分别近似为直接函数和反函数的切线，故直接函数与反函数图像上关于直线y=x对称的点的切线一定相交于直线y=
    • 2|||
      • 如图所示，A、A'分别在直接函数与反函数上，且A、A'关于直线y=x对称，则∠ABE=∠A'BE，又∵∠CBE=∠DBE=45°∴∠ABC=∠A'BD, ∴α+β=∠CBD=90°（α=∠ABC,β=∠ABA') ∴tanα=tan(90°-β）=1/tanβ，即tanα·tanβ=1，由于函数的导数等于切线斜率，故直接函数与反函数的导数的乘积为1，即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数。 
      • 直接函数与反函数关于直线y=x对称，(tips1)图像上关于y=x相对称的点的x与y互换，原本反函数的导数为lim（∆y/∆x），在直接函数上就体现为lim（∆x/∆y)，由于两函数图像在同一坐标轴上，故计算时无需将x，y互换
        • tips1:比如A(a,b)与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为(b，a）
  • 几何意义
    • 一个函数在某点的导数等于该函数图像在该点的切线斜率
• 微分
  • 含义
    • 函数自变量增量与因变量增量的函数关系
  • 意义
    • 揭示了导数与原函数之间的关系
  • 微分公式
    • 微分运算的核心是求导
    • dC=0dx
  • 微分方程
    • 定义
      • 函数导数所满足的关系式
    • 一阶线性微分方程的解
      • 齐次
        • • 
      • 非齐次
        • • 常数变易法
            • 
    • 二阶常系数齐次线性方程
      • 特征方程
      • 解
        • 特征方程有两个不同的根时
          • •  
        • 特征方程有重根时
        • 特征方程没有实根时
          • • 
    • 二阶常系数非齐次线性微分方程
      • 求解方法
        • 齐次方程的通解加非齐次方程的一个特解就是非齐次方程的通解
      • 特解形式
        • • • 
        • • • 
    • 线性微分方程的解中任意常数的个数等于其阶数相等
• 中值定理及其应用
  • 罗尔中值定理
    • 条件
      • 闭区间连续
        • 确保函数在该区间内可导，并且函数在该区间两端点的函数值等于其左（右）极限
      • 开区间可导
        • 避免下述类似情况出现，
      • 在两端点的函数值相等
    • 若f(x)满足上述条件
  • 拉格朗日中值定理
    • 条件
      • 闭区间连续
      • 开区间可导
    • 若f(x)满足上述条件
    • 意义
      • 精确地表达了函数在一个区间内的增量与函数在这个区间内某点的导数之间的关系
  • 柯西中值定理
    • 条件
      • 两函数闭区间连续，开区间内可导
    • 若f(x)满足以上条件
• 不定积分
  • 在区间I上，函数f(x)带有任意常数项的原函数被称为f(x)在区间I上的不定积分
  • 求函数积分的方法
    • 换元积分法
      • 第一类换元积分法
      • 第二类换元积分法
    • 分部积分法
  • 有理函数的不定积分
• 定积分
  • 几何意义
    • 表示图像与坐标轴围成的面积
      • 在x轴上方为正，在x轴下方为负
  • 定积分的计算
    • 牛顿莱布尼茨公式
  • 积分上限函数
    • 积分上限为自变量的函数
    • 特点
      • 积分上限函数就是被积函数的一个原函数
    • 变上限积分求导
  • 反常积分
    • 无穷反常积分
      • 若无穷远处的原函数的极限存在，则该积分为收敛积分，否则为不收敛积分
    • 含无穷间断点的反常积分
      • 若间断点处原函数的极限存在，则该反常积分为收敛积分，否则为不收敛积分
  • 应用
    • 求不规则几何图形的面积
    • 求旋转体的体积
      • 绕x轴旋转
      • 绕y轴旋转
    • 求平面上的弧长