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高等数学（知识点总结）
2021年考研数学知识点（包括：基本概念、重要题型、解题方法） 注：使用教材为武忠祥老师高数讲义，以及复习全书
编辑于2021-08-03 11:57:27- 相似推荐
- 大纲
高等数学
函数、极限、连续
函数
定义
函数的概念
复合函数
复合的条件
反函数
反函数存在的条件
反函数的图像及对称性
初等函数
性质
单调性
定义
单调增（减）
单调不减（单调不增）
判定
定义法
利用导数（使用前需判定是否有导数） 注意：严格单调和单调区别
奇偶性
定义
原函数、函数、导函数奇偶性的关系
条件
结论
奇偶运算
周期性
定义
判定
定义法
两个结论（原函数、函数、导函数的周期性）
有界性
定义
注：有界性是在一个范围内进行讨论的
有界：上有界+下有界
判定 （主要看暇点和无穷处）
定义法
三个结论
注： 最重要的是结论4： 导数有界（在一定范围内），则函数有界
求极限验证
题型
·复合函数的相关问题
·复合函数定义域的确定
注：复合函数的定义域是对”自变量“来说的，而非内层函数
·分段函数复合
1.定义域的确定
2.函数的改写
·函数的性态
·有界的判定（什么情况下有界）
·单调性
单调性的判定
根的个数
不等式
·奇偶性
奇偶性的证明
奇偶性结论的应用
极限
定义
数列的极限
函数的极限
无穷小
无穷大
无穷小的比较
性质、定理、公式
1.重要关系
极限存在的充要条件
数列存在的充要条件
存在极限与无穷小的关系
无穷小与无穷大的关系
2.性质
唯一性（若存在则为一个数）
保号性（注意是严格不等还是不等）
保号性的推论
3.判断极限存在的两个重要法则
夹逼定理
单调有界定理
4.重要极限和重要的等价无穷小
5.计算极限的方法
有理运算法则（四则运算法则） （连续、导数、级数结论相同）
等价无穷小的替换
洛必达法则
条件
佩亚诺余项的泰勒公式
拉格朗日中值定理 （含同一函数差项时适用）
添项凑等价代换
函数极限
夹逼准则
利用定积分定义
1.确定被积函数
2.确定积分区间
单调有界准则 （适用于递推关系给出的数列极限）
1.判定单调有界
2.令极限为a，解方程
数列极限
拉格朗日中值定理转化
特征：出现同一函数两点的差（f（a）-f（b））
数列极限
题型
不定式
转换为函数极限，用洛必达
直接求
n项和的数列极限
常常提出1/n—“可爱因子”
当提出“可爱因子”后，数列表达式不是积分和式的形式。一般放缩后，化到标准形式，再积分。
夹逼定理
级数求和
n项连乘的数列极限
取对数然后求和
夹逼原理
递推关系
一般先判断递推函数f（x）的单调性，若发f（x）单调增，用法1；若f（x）单调减，用法2
先判定递推式的单调性（判定方法见法1），再选用法1or法2
4)数学归纳法
1.先解方程，求A
2.
以极限定义的函数的表达式
找出表达式中的最大（小）项，画图，在不同区间上确定谁大谁小之后，用夹逼定理或提出最大项作答
结论
n项和开n次方
取和式中底数较大的项，其他项忽略
函数极限
题型
1.7种不定式
2.变限积分求极限
1.洛必达
2.等价变换
3.积分中值定理
3.根式的处理
1.有理化
2.无穷：留大；“0”：留小
P13 例1
3.泰勒展开
P14 例3
4.洛必达法则
P14 例3
4.求参数
1.泰勒公式
2.和式转分式
5.含有|x|，[x],
1.分左右极限去讨论
极限存在，则左右极限相等
当x为负时，为0； 当x为正时，再做讨论，比较趋向无穷的速率
6.无穷小的比阶
注意： 非同阶无穷小相加减，整体的阶次取决于阶次较低的那一项 同阶无穷小相加减，阶次可能发生变化
1.洛必达（求导定阶）
导数是k阶，则原函数是k+1阶
2.泰勒公式
3.等价无穷小的充要条件
往往是与简单的多项式比较，如x
特殊的：变限积分确地的极限相应的结论
连续
定义
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
......
性质
连续函数的四则运算
复合函数的连续性
基本初等（初等）函数的连续性
闭区间上连续函数的性质
有界性
最值定理
介质定理
零点定理
题型
讨论函数的连续与间断
结合性质与定义判断
反证法
在连续条件下求参数
找寻分界点，通过连续的概念建立方程来求解
讨论由极限定义的函数的连续性或间断点的类型
1.先求极限
2.找间断点（暇点、分界点）
介值定理、最值定理及零点定理的证明题
介质定理
特征
函数在某一区间连续
证明某一个值为“一个数”
方法
1.求某一区间内的最大最小值（包含所求值）
2.套用介质定理结论
零点定理
特征
函数在某一区间连续
证明函数两点相等或两点的差为0
方法
1.移项构造新函数，说明新函数在某一区间内连续
2.证明函数在某两点异号
有时需要通过多点和式为0，来说明存在零点；P45 T3 有时需要与极限保号性结合 P45 T4
3.套用零点定理
一元函数微分学
导数的概念
概念
定义：函数在某一点的变化率
导数与待求点的函数值以及领域内的函数值都有关，两者缺一不可 判断导数是否存在时常常用到这一思想
可导
左、右导数都存在且相等
连续、可导、可微的关系
注意推论以及函数在一点可导以及在某去心领域可导的区别
法则
有理运算法则
复合函数求导法则
注意，要内层函数和外层函数都可导时才使用。 判定复合函数可导性时适用
隐函数求导法则
也可以用多元函数中的隐函数求导公式来求
参数方程求导法
极坐标系下求导就是化为参数坐标再求
对数求导法
高阶导数
定义
常用公式
题型
利用导数定义求极限
方法
通过加、减项凑导数形式
P41 T2 讲义P54 T1
具体函数法（选填适用）
利用导数定义求导数
方法
定义法
主要是构造导数定义形式 而定义形式主要取决于f(x+【】)中【】的表达式
求导代入法
对于分段函数：当求导点定义到某一边的函数表达式内。
导函数的极限
类型
函数已知，且函数中包含等价无穷小的形式
分段函数（三种方法都适用，根据形式灵活选择）
利用导数定义判断函数的可导性
类型
一般函数
定义法
绝对值函数的导数
可导的四则运算（常作为突破口）
两条重要的结论（注意使用条件：连续）
结论一：针对F(x)=f(x) g(x) ; 结论二：针对 f(x) ;
数形结合的思想
复合函数的导数
1.判断g（h）是否满足三个条件
2.判断g（h）和k（h）是否同阶
极限形式给出的函数
1.先求极限，得到函数的一般形式
2.再根据函数形式选择合适的方法
判断导数的连续性
1.求出某一点的导数
2.求出某一点去心领域内的导函数
3.求导函数趋向于一点导数的极限是否存在并与导数相等
证明函数在区间内有连续的导数
1.判断导数是否存在
往往是判断分段函数分界点、暇点
2.证明导数连续
导数的几何意义 (切线方程)
直角坐标
直接求
参数方程
求参数方程的方法求解
极坐标
1.转到参数坐标
2.求参数方程的导数
求导数
复合函数
1.先考虑性质（奇偶性等）
2.判断是否适合使用链式法则，往往更简单
判断有没有必要用（简单的就不需要）
判断能否用链式法则 （往往适合分段函数复合）
主要是看内层和外层函数在某一点的导数是否都存在。 若存在：能用 若不存在：不能断定一定不可导，需写出表达式进一步考察
隐函数
1.先求一次导
2.化简
与原函数结合，再整理
3.再求导
当判断某一项导数为0时，可以不算出导数具体值，因为最后得0
参数方程
公式法
适用情况
公式中参数好求
参数方程由隐函数和复合函数联合表示
分步求导
反函数
注意：只有一阶导数的公式，高阶参照分步求导法
对数求导法
适用形式
幂指函数、连乘、连除、开方、乘方
高阶导数
公式、性质
求一阶、二阶，归纳n阶导数
有理函数
适合求n阶导函数
泰勒级数展开
直接用（很少出现）
改写用泰勒
拆项+泰勒展开
求导（变成熟悉的形式）+泰勒展开
降次+泰勒展开 （主要针对三角函数）
注意：使用麦克劳林公式过程中要求自变量x的次数对其，而非n对齐
适合求某一点的n阶导数
由极限式表示的函数的可导性
步骤
1.先求极限，得到f(x)的表达式
2.再讨论f(x)的可导性
导数的应用
单调性
定义
求导
极值与最值
极值
必要条件
第一充分条件
第二充分条件 （函数由隐函数给出）
第三充分条件（要求会证）
视屏：强化阶段第8次直播最后
前提，导数存在
最值
1.找驻点和不可导的点
2.求驻点、不可导的点、端点处的函数值
3.比较
凹向与拐点
凹向
二阶导数的正负
拐点 注意：是个点
必要条件
第一充分条件
第二充分条件
第三充分条件
前提：导数存在
渐近线
水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
方法
直接法(求两个极限)
化到
易错点：要从正负两个方向考虑极限，尤其是对于e^x,arctanx
曲率及曲率半径
公式
参数方程给出的函数可以求导后代到直角坐标方程的公式中
方程的根
存在性
零点定理
罗尔定理 （在零点定理难判断时适用）
个数
单调性
单调性的判定，对于求导后较难的表达式，往往需要配合因式分解（短除法）来化简，方便判断
罗尔定理的推论
用反证法证明
重要结论
一段单调区间内，最多只有一个零点
题型
一般形式
1.判断
2.选择方法
含参数的类型
零点问题可以转换为方程交点的个数问题，数形结合方便讨论
1.同解变形
分离参数（使之单独处于等号的一边），使求导后不用讨论参数
2.判断类型，选择方法
3.讨论参数
证明函数不等式
方法
1.单调性
可能需要多次求导并与不等式结合
2.拉格朗日中值定理
3.最大最小值
4.泰勒公式
5.凹凸性
题型
一般形式
1.构造函数，与0比较
2.判断类型，选则方法
含两个以上的参数
1.构造函数
2.将某一函数令为x，转换为含有参数的不等式证明
3.判断类型，选择方法
比较“数"的大小
这里的“数”往往难以直观看出大小，且两数为同一形式
1.将数用同一类型的函数表示
2.转换为证明函数两点值大小的问题
含有高阶导数（二阶及以上）
思路一：考虑用泰勒公式过渡
选择在哪一点用泰勒公式的原则是：题目中蕴含较多信息的点
思路二：通过单调性的判断，求最值
思路三：有二阶导数，可以考虑函数的凹凸性
微分中值定理
构造辅助函数用罗尔定理
1.分析法
2.微分方程法（通用方法）
3.规律
在同一区间[a，b]上用两次中值定理（拉格朗日、柯西中值定理）
将区间[a，b]分成两个子区间，在两个子区间上分别用拉格朗日中值定理
难点：子区间的划分难以选择 （一般通过逆推法找分界点）
用带拉格朗日余项的泰勒公式
一元函数积分学
不定积分
概念
原函数
不定积分
原函数存在准则
f(x)在区间上连续
f(x)在区间上不能有第一类间断点
性质
公式
计算方法
第一类换元法（凑微分）
第二类换元法
三角代换
根式整体代换
分部积分法
适用形式：两类不同函数相乘
凑的顺序：反、对、幂、指、三
三类常见可积积分
有理函数积分
一般方法（部分分式法） 注：很少使用
特殊方法（加项减项或凑微分降幂）
三角有理式
一般方法（万能公式） 注：不到万不得已不使用
一般使用情况： 三角函数方次比较低，且sinx，cosx齐次 简单方法难找
简单无理函数
整体代换
三角代换，套基本积分公式
题型
分母含根式，分子为1
1.变换分母形式
2.改写积分变量
3.套基本积分公式
分母含有带根号的三角函数，分子为1
1.变积分变量为三角函数
2.换元转为有理式形式
分母含根式，分子不为1
方法一：三角代换
方法二：将分母化为d（），分部积分
方法三：有理化
方法四：根式整体代换
分母含根式，根式内为无理函数
1.先考虑能否分部积分
2.根式整体换元
两不同类型的函数相乘（除）
典型的分部积分法
两种不同类型的复合函数
方法一：凑分布积分形式
方法二：将形式相同的内层函数换元
方法三：区间再现 注：尤其适用三角函数
有理函数，分子为1
方法一：凑微分降幂法
1.分子分母同乘x的n次方 （具体根据分母的形式而定）
2.凑微分
3.换元降幂
方法二：添项减项法
1.根据分母形式添项减项
2.拆项分别积分
方法三：分母提项，凑微分
有理函数，分子不为1
添项减项，拆项求解 （根据分母形式来添项）
常常与平方和，立方和，立方差公式结合
三角有理式
方法一：三角函数变换式（通用）
方法二：三类三角函数的结论
方法三：万能公式（通用）
方法四：区间再现 注：尤其适用三角函数
含参数的函数积分
1.对参数进行讨论
2.根据形式，选择方法
简单无理式
整体换元
绝对值函数
方法一：分类讨论
方法二：通过变限积分找原函数
方法三：区间再现 注：尤其适用三角函数
方法三：区间再现 注：尤其适用三角函数
定积分
概念
与极限结合出题
性质
积分中值定理
广义积分中值定理
奇偶性
导数、原函数的推论
周期性
主要是在三角函数中体现
几何意义
对于某些特定形式的定积分，用几何意义直接算面积更简便
函数在区间内所围成的面积
计算
方法
不定积分的三种方法
奇偶性
周期性
几何意义
结论
点火公式及其推论
题型
和式相加
1.首先看能否用性质（奇偶性、周期性）
2.遇到根式有理化
3.遇到根式看是否能用几何意义
积分上下限为周期的 被积函数包含三角函数
考虑三角函数的周期性
三角函数的重要结论
点火公式
点火公式推论
复合函数
1.整体代换
2.分部积分
用积分表示函数的积分
方法一：分布积分
小技巧：两项分开不好求，往往合拼好求
小技巧：改变积分变量，使分布后的第一项为零
方法二：累次积分交换顺序
用导数表示函数的积分
方法一：分布积分（技巧同上）
重要思想：“数”转“积分”
讲义：P111
分段函数的积分
在积分过程中上下限也要分段讨论，代不同的被积函数
三角有理函数、e指函数
方法一：分子凑分母及分母导数形式，拆项求解
方法二：区间再现
函数表达式中含有函数的积分
1.将左边函数凑到与右端积分内的积分形式相同
2.左右同时积分（积分区间与右边积分区间一致）
3.将等号右边的原积分看做一个数，提到积分号外面 （重要思想：定积分是个数）
变上限积分
考察知识点
奇偶性
注意：（1）、（2）积分上下限有区别
连续性
可积的充要条件： （1）f（x）在[a,b]上连续； （2）f（x）在[a,b]上有界且只有有限个间断点； （3）f（x）在[a,b]上仅有有限个第一类间断点；
可导性
注意：在可去和跳跃的情况下，F（x）就不是f（x）的原函数
题型
考察变上限积分的连续、可导、奇偶性
通过结论更方便
变上限积分与极限的结合
方法一：洛必达
方法二：无穷小的等价代换
方法三：积分中值定理
变现积分的最值、极值、凹凸性问题
1.求导入手，讨论单调性，凹凸性（二阶导数）
2.代最值点（适时放缩），得到最值，或证明结论
反函数的积分问题
1.求导入手
2.注意g【f（x）】=x，解出f（x）
含有多个自变量的问题
1.先对某一个自变量求导
2.根据题目条件，将某一个自变量用常数代替
3.解一个微分方程得到要求的值
证明函数为常数、正负性
重要思想：导数恒为0
数形结合判断正负性
积分不等式
方法
变量代换
积分中值定理
变上限积分
柯西积分不等式
题型
同一区间不同被积函数比较
1.首先看有没有现成不等式可以使用
2.算值比较
不同区间同一被积函数比较 （同时告诉了函数的单调性）
方法一
1.通过区间再分，将区间相同的一项写到一边
2.利用积分中值定理将积分化为函数
3.通过函数单调性判断
方法二
1.积分变量换元，使不等号两边化到同一积分区间
2.再由单调性比较积分大小
方法三
1.不等号两边的表达式移到一边，化为函数与零点的比较问题
2.求导，由单调性半判断
同一区间被积函数“形式”不同 （重要标志：题干包含函数单调性信息）
eg：f（x）与f^3(x)
变上限积分法
1.“数”转“函数”
2.求导判断单调性
3.化为函数在某一点的正负性判定
微分中值定理
柯西积分不等式
反常积分
定义
无穷区间上的反常积分
无界函数的反常积分
题型
反常积分的概念与敛散性
与调和函数积分比较
积分极限的等价替换，由好判断的函数判断敛散性
反常积分的计算
换元
分布积分
倒代换
定积分的应用
平面的面积
二重积分来计算
旋转体的体积
转到旋转面上一点到旋转轴的距离*微元面积，再对旋转面做积分
已知横截面面积求体积
对横截面面积的表达式积分
曲线弧长
代公式
旋转体侧面积
代公式
物理学应用
变力做功
液体压力
引力
常微分方程
概念
一阶微分方程
可分离变量的方程
方法：相同变量移到一边，两边积分
齐次方程
方法：变量代换，化到可分离变量的方程
线性方程
方法：套公式
伯努利方程（数一）
方法：变量代换，化到一阶线性微分方程
全微分方程（数一）
1.先判断是否有解
2.解出通解
偏积分
凑微分
线积分
特殊情况：一阶微分方程不属于上述5种形式
方法一：考虑x，y对调，即认定x为y的函数
方法二：简单的变量代换
可降阶的高阶方程
方法：多次积分
令y’=p，y''=p‘，将原方程化为一阶微分方程
令y’=p，y‘’=p（dp/dx），将原方程化为一阶线性微分方程
高阶线性微分方程
考察点
线性微分方程解的结构 （以二阶为例）
几阶就对应通解中有几个线性无关的特解
齐次方程
非齐次方程
常系数齐次线性微分方程
求通解
常系数非齐次线性微分方程
解的结构
求通解
欧拉方程（数一）
方法：令t=lnx,将欧拉方程化为线性常系数方程
定理
定理一
定理二
解的结构
定理三
非齐次的两个特解相减=对应齐次的解
定理四
特解+特解=合成方程的特解
常系数非齐次线性微分方程
解的结构：齐次通解+非齐次特解
题型
求解微分方程
判断类型，选择方法
高阶线性方程解的结构
公式
定理
已知通解（或多个特解），求微分方程
方法
1.根据已知条件，设出通解的一般形式
2.求导，逐步消去参量C1，C2...
3.合并写结果
含有参数的高阶线性微分方程求解
1.先解特征方程，得到特征根
2.讨论参数的取值
3.分别求解方程
与变限积分结合的综合题
1.换元得到变限积分的一般形式
2.求导，消去积分符号
3.解微分方程
函数方程综合题
函数方程：f（x+y）= * 往往含有导数信息
固定思路：从导数定义出发，建立微分方程
应用题
几何应用：常与变限积分的几何应用相结合
物理应用
向量代数与空间解析几何
向量代数
数量积（数）
几何表示
代数表示
运算规律
交换律
分配律
几何应用
求模
求夹角
判断两向量垂直
向量积（向量）
几何表示
代数表示
注意：计算时行列式第二列，系数为-1
运算规则
右手法则
交换律（加负号）
分配律
几何应用
求同时垂直于a，b的向量
求以a，b为邻边的平行四边形面积
判断两向量平行
混合积（数）
代数表示
运算规则
轮换对称性
交换变号
几何应用
平行六面体的体积
判断三向量共面
往往需要通过“点”的信息，重新构造一条直线。eg：P248
题型
向量运算
应用及向量的位置关系
空间平面与直线
平面方程
一般式
点法式
截距式
直线方程
一般式 两平面的交线
对称式
参数式
平面与直线的位置关系
平行
垂直
夹角
判定原则：平面的法线与直线的方向向量的关系
点到面的距离
点到直线的距离
直线到直线的距离
题型
建立直线方程
一般方法（位置关系）
平面束的概念
建立平面方程
平面与直线位置关系有关题目
曲线与空间曲线
曲线方程
一般式 F(x,y,z)=0或z=f(x,y)
空间曲线
参数式
一般式 （类比平面曲线）
常见曲面
旋转面
在xOy、yOz、xOz面上的曲线
表示方法：“绕谁转，谁不动”
空间直线绕轴旋转
表示方法： 1.通过特殊点（直线上的），建立等式； 2.通过直线方程代换等式中的特殊点； 3.最终得到曲面的一般表达式；
例子：P251 T2
柱面
母线为坐标轴 注意：表示方式H（x，y）=0
母线为任意直线
方法一： 1.判断柱面形状，建立恒等式； 2.若为圆柱面（柱面上点到母 线距离恒定），通过点到线的 距离公式建立方程； 3.化为曲面的一般式；
方法二： 1.在准线上设一点(a,b,c); 2.平移母线与曲线交于(a,b,c)，得到交线表达式; 3.与曲线方程联立，消去a，b，c。得到柱面方程一般形式
二次曲面
椭圆锥面，特殊的：圆锥面
椭球面，球面
单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面
双曲抛物面（马鞍面）
空间曲线投影
题型
建立柱面方程
直接套结论“绕谁转，就消谁”
一般形式的母线
建立旋转面方程
直接套结论“绕谁转，谁不动”
空间直线或曲线绕轴旋转 （结论失效）
求空间曲线的投影曲面方程
多元微分在几何上的应用
曲面的切平面与法线
曲面F（x,y,z）=0
曲面z=f（x，y）
曲面的切线与法平面
参数式
一般式
两法向量向量积
题型
建立曲面的切平面和法线方程
建立空间曲线的切线和法平面方程
方向导数与梯度
方向导数
定义
单侧导数
计算
条件：可微（充要条件） 注意：偏导不存在，方向导数不一定不存在
公式
几何意义
方向向量截平面与函数图像交线夹角的正切值
梯度
条件：连续一阶偏导
计算公式
几何意义： 1）梯度是一个向量 2）表示函数在某一点方向导数最大的方向 3）模等于方向导数的最大值
无穷级数
常数项级数
概念
性质
1）收敛级数乘常数任然收敛
2）收敛性加减
3）去掉加上有限项，级数敛散性不变
4）收敛级数加括号仍收敛且和不变
5）级数收敛的必要条件 （判断敛散性的重要条件之一）
级数的审敛准则
定义法
和式极限存在
级数的性质
通用方法
级数的审敛法
正项级数
注意"比较法"和"比值根值法"的优缺点
1）比较判别法
常用于抽象级数的判别
2）比较法极限形式
推广：等价代换思想
3）比值法
4）根值法
出现三巨头
积分判别法
条件：f(x)是[1,+∞]上：1.单调减；2.非负；3.连续 且an=f(n)
交错级数
莱布尼兹准则 （充分条件）
（1）极限为0
（2）单调减
任意项级数
绝对收敛
加绝对值收敛，则原级数必收敛
条件收敛
（1）原级数收敛
（2）加绝对值级数发散
结论
绝对收敛的级数一定收敛
条件收敛的级数所有正项（或负项）构成的级数一定发散
题型
正项级数敛散性判定
1.根据级数表达式形式选择方法 注：主要看是否含“三巨头”
2.不含则选择比较法及比较法极限形式
技巧：利用等价代换化到熟悉的形式
利用常见不等式放缩
正项级数中含有参数
1.判断类型，选择方法
2.讨论参数的取值对敛散性的影响
3.对于“分界点”的另外讨论
方法一：性质（收敛的必要性）
两正项级数相乘
方法：通项相乘改为通项相除
交错级数敛散性判定
1.判断级数的类型
方法：求通项极限，看通项是恒正还是振荡的 注：在难一眼看出的情况下
2.非标准型化为标准型的交错级数
主要针对三角函数
3.验证莱布尼兹准则的条件
条件一求极限
条件二验单调
方法一：直接看出
方法二：求导数
主要说明后无穷多项的单调性，与前有限项无关
特殊情况：无法判定通项的敛散性
方法：定义法
尤其适用于同一级数通项（相邻项）相加减
任意项级数敛散性判定
讨论顺序：绝对、条件、发散
结论一：在判定绝对值级数敛散性过程中，如果使用的是比值或根值法，则绝对值级数发散原级数必发散
结论二： 1）绝对收敛+条件收敛=条件收敛 2）绝对收敛+绝对收敛=绝对收敛 3）条件收敛+条件收敛=条件或绝对收敛
推广：可以通过拆项来判定敛散性
证明题与综合题
证明级数收敛
1.求极限
2.用定义判定敛散性
技巧：根据特征选择方法
例一：相邻通项相（加）减
思路：定义法
例三： 1）由函数给出的数列通项 2）有函数有导数
思路一：根据特征一求极限 （数列求极限的方法）
思路二：根据特征二 拉格朗日中值定理
例六:二阶导数连续
思路一：泰勒公式
思路二：洛必达法则
幂级数
概念
幂级数定义
收敛半径、收敛区间、收敛域
注意：收敛半径针对的对象是x，及（x-a）整体
定理
阿贝尔定理
求收敛半径的公式
推论：若幂级数只有偶次项或奇次项，收敛半径为正常求然后开根号
性质
有理运算性质
注意乘法的区别
分析性质
幂级数展开
直接展开法（定义法） （基本上不用）
注意幂级数系数的形式
1.求出f（x）在a处的各阶导数，并写出相应的泰勒级数
2.验证拉格朗日余项是否成立
间接展开法
方法：通过四则运算、逐项求导、逐项积分及变量代换的方法化为常用的展开式的形式
幂级数求和
题型
求收敛区间及收敛域
1.利用公式，得收敛半径
2.讨论端点的敛散性
特殊情况一：缺项幂级数（奇、偶次）
方法：正常求，然后开根号
特殊情况二：公式求极限不存在
思想：找到使得极限不存在的原因，往往是正负号 因此，分奇偶避免讨论正负号
系数未给出的幂级数求收敛域
阿贝尔定理
收敛半径、收敛区间、收敛域
将函数展开为幂级数
一般是使用间接法
方法一：提项凑形式
方法二：因式分解
方法三：求导，展开，再积分
将函数在指定点处展开成幂级数
思想：将原函数写成f（（x-a））的形式，然后展开
求高阶导数
对照幂级数展开后的形式
幂级数展开
级数求和
1.先求收敛域
2.再求和函数
注意：在变形过程中是否有增项减项的情况
常数项级数求和
方法：借助幂级数在“一点”的求和
系数未知求和函数
思想：利用递归关系，建立方程
傅里叶级数
概念
傅里叶级数的系数
傅里叶级数展开形式
收敛条件（狄利克雷）
展开
周期为2π展开
在全周期上展开
在全周期上奇函数展开
在全周期上偶函数展开
在半周期上展为正弦或余项
以任意周期展开
在全周期上展开
在全周期上奇函数展开
在全周期上偶函数展开
在半周期上展为正弦或余项
题型
有关收敛性的问题
方法：利用收敛定理 1)连续点收敛于原函数 2)第一类间断点，收敛于左右极限的1/2 3)边界点收敛于（左端点的右极限+右端点的左极限）/2
将函数展开为傅里叶级数
1.求出傅里叶系数，写出傅里叶级数
2.根据狄利克雷条件判定各点的收敛性
多元函数积分学
二重积分
性质
不等式性质
积分中值定理
计算方法
利用直坐标计算
先y后x
先x后y
利用极坐标计算
适用形式
当只有一方面适用时，就不一定适用极坐标
方法
1.直接做（先ρ后θ）
2.平移然后极坐标
主要针对偏心圆
利用奇偶性
利用变量对称性计算
题型
计算二重积分
1.画出积分区域
2.根据积分区域考虑是否可以使用性质
奇偶性 主要看：被积函数
技巧一：平移（改变被积函数），用奇偶性
技巧二：重新划分区域用奇偶性
变量对称性 主要看：积分区域
适用场景：交换x，y次序后，合并（*1/2）后能使积分变量变的简单
适用：合并后积分变量变的简单
3.根据积分区域和积分变量选择坐标系
被积函数积不出来或难积分
交换积分顺序
积分区域不规则
补积分区域，再做积分
需要分区域讨论，且讨论复杂
可以考虑在极坐标域上做，避免分区域
参数方程给出的被积函数
画出参数方程的图像 往往是常见的图形
在直角坐标上做，最后用参数方程换元 注意：换元要改变积分上下限
被积函数为分段函数
根据分段函数的定义域确定积分区域
被积函数含绝对值
1.分区域拿掉绝对值
2.带点判定被积函数正负性
变限二重积分
思路：想办法将积分区域化到已知条件的积分区域上 （利用交换被积函数，积分区域x，y顺序，积分不变）
特殊情况
累次积分交换次序及计算
直角坐标下交换累次积分
1.画图像
2.重新定限
极坐标系下交换积分顺序
1.画图像
2.类比直角坐标系，用极坐标系下定限的思想重新定限
交换积分顺序任然不好做
换坐标系
特殊情况
二重积分有关的综合题
变限累次积分
1.交换积分次序，变为一元变限积分
2.求导，去积分
含积分的方程求解 （类比一元积分）
思路一：将积分用一个常数A代替，代入方程解A
思路二：等式两边同时做二重积分，将“原积分”看成“数”提到积分号外
核心思想：积分是个数
含参数二重积分方程求解
思路：二重→累次→一重→求导解微分方程
变限二重积分（累次积分）求极限
思路一：交换积分次序，使内层积分（先积积分）积分上下限不含分母变量，求导转换为一元积分求极限
思路二：二重积分中值定理
二重积分的积分不等式问题
比较同一积分区域不同被积函数大小
比较不同积分区域被积函数大小
先比较有共性的
定积分乘积的不等式证明
思路一：换积分变量，转换为二重积分
柯西积分不等式
三重积分
定义
性质
计算
直角坐标
先一后二（先单后重）
先二后一（先重后单）
优势：在很多情况下，可以避免分区域讨论
柱坐标
球坐标
性质
奇偶性
变量对称性
x，y，z交换次序，方程不变
题型
形式： 1)被积函数为一元函数 2)用垂直于坐标轴的平面去截，截面好求
方法：先二后一
避免分部分讨论
注意：在不同区域截得的面积表达式可能不同，需要分段讨论
往往先一后二难做
积分区域为偏心球及其变形
方法一：先二后一
方法二：形心计算公式（f（z）=z类型适用）
方法三：平移用奇偶性
被积函数为平方项
思路：平方项展开，交叉项往往是奇函数，积分为0 平方项往往能够使用变量对称性
更换三重积分次序
思想：降维（单独对累次积分在二维平面上交换次序）
线积分
一型线积分
定义
性质
积分与积分路径无关
计算（平面） 注意：积分区域是从大到小
直接法
参数方程
直角坐标
极坐标
奇偶性
与二重积分完全对应
对称性
x，y，z交换次序，方程不变
条件
结论
计算（空间曲线）
1.曲线方程改写为参数方程
2.套公式转化为定积分
题型
计算对弧长的积分
1）奇偶性
2）带曲线方程
3）奇偶性 扩展：平移用奇偶性
4）形心公式
一般思想
空间曲线的积分
1）直接法
1.找曲线的投影面，在投影面上写参数方程(两个参变量)
2.将x(t),y(t)代入原曲线方程，写出z(t)
参数方程的写法
2）变量对称性
“经典错误”：轮换对称性不能在同一项中用
二型线积分
定义
性质
积分与积分路径有关
计算（平面） 注意：积分区域是从起点到终点
直接法
格林公式
条件： 1）封闭区域 2）区域内P，Q偏导存在且连续
1）补线用格林公式（不满足条件1） 2）挖洞用格林公式（不满足条件2）
2）主要是积分区域中存在奇异点
利用线积分与路径无关
判定
单连通区域
4条等价形式 最常用：偏导相等
计算
改换路径
注意：不同的路径可能难易不同
利用原函数
1.求原函数
偏积分
凑微分
2.牛顿莱布尼兹公式
计算（空间）
直接法
1.曲线方程改为参数方程
2.代入公式，转换为对t的定积分
斯托克斯公式 注：有方向
右手法则判定方向
行列式形式
适用形式：cosα，cosβ，cosγ为常数
代数形式
题型
计算对坐标的线积分（平面）
思路
1.画图并判断是否与路径无关 若有关：改换路径或求原函数
有关
改换路径
注意：不同的路径可能难易不同
求原函数
无关
2.判定是否满足格林公式的两个条件
条件一不满足：补线
条件二不满足：挖洞 注意：挖洞选取的形状和方向
总结的结论：P272
二型空间曲线计算
一般形式：曲面和平面的交线
1）直接法
参数方程写法
2）斯托克斯公式
一般方法
3）化为平面线积分
降维用格林
两类线积分的联系
面积分
一型面积分
定义
性质
积分与积分曲面方向无关
计算
直接法
条件：曲面可以写成z=z（x，y）的形式
方法：将曲面积分转化为相应的二重积分
奇偶性
对称性
x，y，z交换次序，方程不变
题型
计算对面积的面积分
思路： 1.画图，观察是否有奇偶性，对称性 2.积分函数代换 3.选择直接法，性质或几何意义，如：形心
特殊技巧：在某些情况下，可以对积分变量进行改写
（1）被积函数为一元
（2）截面好算
二型面积分
定义
性质
积分与积分曲面方向有关
计算
方向判定：曲面法线与z轴正向夹角为锐角（曲面上侧），即为正；反之为负 注：这是一种情况，其他的关于x轴、y轴类似
直接法
条件：有向曲面可以写成z=z（x，y）的形式
方法：将被积函数中的z用z（x，y）换掉
投影到哪个面上，与之无关的变量换掉
特殊方法：归一化
2020题，偏题
高斯公式
条件： 1）空间闭区域 2）区域内P,Q,R偏导存在且连续
1）补面用高斯公式 2）挖洞用高斯公式
注意：无论补面还是挖洞，要保证区域的整体趋向一致（内外侧）
题型
计算对坐标的面积分
一般法
高斯公式
补面用高斯公式
挖洞补面用高斯
两类面积分的联系
多元积分的应用
几何应用
几何度量
质量
质心
转动惯量
物理应用
变力做功
二型空间线积分
通量
二型面积分
题型
求几何
计量物理量
重要确定图像的方法：平行截面法
适用非常规曲面表达式
场论初步
梯度（向量）
散度（数）
旋度（向量）
题型
计算三度
多元函数微分学
多元函数的基本概念
重极限
重极限定义
性质
局部有界性
保号性
有理运算
极限与无穷小的关系
夹逼定理
题型
求极限
1.初步判断
分子比分母次数高：一般为0
分母比分母次数低：一般为∞
分子分母同次：一般不存在
2.取绝对值，夹逼（放缩）
法一：用常用的不等式
法二：分离因式中小于（大于）1的项
3.求极限
法一：利用极限性质
法二：消去分母中极限为零的因子
法三：利用无穷小与有界变量之积为无穷小
判定极限存在
方法：沿两种不同路径极限不同
一般沿过点的直线y=kx或y=x²
连续
定义
性质
题型
分段函数分界点处判断连续性
偏导数
定义（本质是一元函数求导）
因此，在某些情况下用一元导数的结论更简单，例如：微分中值定理
几何意义
高阶偏导数（二阶）
题型
求具体某一点的偏导
方法：先代后求
全微分、复合函数、隐函数综合题
全微分
定义
全微分表达式的等价形式（4种）
可微的判定
必要条件：一阶偏导存在
充分条件：一阶偏导连续
用定义判定
1.判定偏导是否存在
2.判定全微分等价形式的极限是否为0
计算
重要结论：格林公式一般形式
连续、可导、可微的关系
题型
讨论连续性、可导性、可微性
注意积累一些反例 理清连续、可导、可微的关系 选填可以用一些具体函数法
多元函数微分法
复合函数的微分法
链式求导法则
先代后求思想
全微分形式的不变性
隐函数的微分法
公式法
求导整理法
求微分法 （微分形式不变性）
由方程所确定的隐函数（数一）
方法
等式两边求导
利用微分形式不变性
题型
求一点处的偏导数与全微分
求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分
已知偏导数求原函数
方法：偏积分
注意：偏积分的常数C为含有另一变量的常式
已知全微分求参数或未知函数
利用格林公式的先决条件
当所求为未知函数时，通过格林建立微分方程解微分方程
已知全微分求原函数
方法一：偏积分
方法二：凑微分
含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分
1.理清题目中所蕴含的“链式关系”
2.逐步求导，做到不重不漏
对于二重偏导数，尤其要注意求一次偏导后，如果复合形式过于复杂，建议不要省略括号内的内容，防止漏项
注：有时转换自变量的对应关系能够使题目更简单
eg：P171 例7解2
隐函数的偏导数和全微分
1.理清题目中所蕴含的“链式关系”. 注：由方程确定的函数关系有时是用偏导不为0给出的
2.选择合适的方法
两边求导
公式法
微分形式不变性
优势：不用理清参量之间的关系
多元函数的极值与最值
无条件极值
定义
极值的必要条件
极值的充分条件
条件极值
方法
拉格朗日乘数法 （必要条件）
化条件极值为无条件
最大最小值
1.求f（x，y）在D内部可能的极值点 注：若f极值不在D内，则最值必在边界上
2.求f（x，y）在D的边界上的最大最小值
方法
拉格朗日常数法
注意：在构建完拉格朗日常数并完成求导后，对于λ如果存在0的情况也要讨论。
化条件极值为无条件
往往是通过代入边界条件（边界函数），将多元函数转化为一元函数，再求极值。 对于边界为圆、椭圆，往往是通过改写为参数方程转化
技巧
目标函数往往直接求导比较难，可以考虑求其等价转换的最值
距离公式的平方形式转换
根式或多项乘式取对数变换
3.比较
题型
一般函数求极值
1.求偏导，找驻点
2.再求偏导，由极值的充分条件判定是否为极值
隐函数求极值
方法一：同一般函数
注意：驻点与方程中的所有变量都相关
方法二：利用某些隐函数方程具有的几何意义
抽象复合函数求极值 注：往往与极限相结合
1.找驻点
2.说明“目标点”是极值点
方法一：极值点的充分条件
1.抽象复合函数求导 注：对于具体点，先代后求
2.验证充分条件
方法二：用定义
思想一：极限的保号性
思想二：函数的正负性由高阶无穷小决定
求最大最小值
方法：三部曲
特殊方法：几何意义
应用题
几何应用题
常用的初等数学公式： 海伦公式