行列式思维导图

这是一篇关于行列式思维导图，包含方阵的行列式、易错点、特征多项式、行列式计算、矩阵的秩等。

行列式

• 概念
  • 不同行不同列元素乘积的代数和（共n！项）
  • 逆序数
    • 从前往后数，大的排在小的前面的个数
• 性质
  • 某行有公因数k，可把k提到公因式外面，某行全为0则行列式为0
  • 两行互换行列式变号，特别的
    • 两行相等，行列式为0
    • 两行成比例，行列式为0
  • 某行所有元素都是两个数的和，可以写成两个行列式之和
  • 某行的k倍加至另一行，行列式的值不变
• 重要定理
  • 展开式
    • 代数余子式
  • 代数余子式和余子式本身都是不带系数a的！！！！
• 主要公式
  • 上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
  • 关于副对角线的行列式
  • 两个特殊的拉普拉斯展开式
  • 范德蒙行列式
  • 特征多项式
    • 特别地
• 方阵的行列式
• 易错点
  • 行列式的运算不要与矩阵的初等变换相混
  • 不要与矩阵运算相混
• 行列式计算
  • 数字型行列式（展开公式）
    • 构思技巧
      • 直接按行展开
      • 把第一行的k倍加到第 i 行
      • 把每行都加到第一行
      • 逐行相加
    • 特殊行列式
      • 爪型行列式
        • 用斜爪消水平爪
      • 三条行列式
        • 3-5阶
          • 逐行相加（三角化法）
          • 全部加至第一行
        • n阶
          • 数学归纳法
  • 抽象型行列式
    • 构思方法
      • 用行列式性质
      • 用矩阵性质
    • |A+B|型的计算
      • 给出具体AB
        • 代入利用行列式性质计算
      • 未给出具体AB
        • 利用单位矩阵E与行列式性质计算
• 特征多项式
  • 一般都是包含参数的，以后会有条件加入进来，使得能够求出这些参数
• 矩阵的秩
  • 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，极为r(A)
• 克拉默法则
  • 推论
    • 齐次线性方程组系数矩阵不为0，则方程组只有0解
    • 齐次线性方程组有非0解，则系数行列式|A|=0
  • 利用上面的推论进行求解
• 代数余子式求和