成人高考数学（一）

将成人高考数据前三章内容进行详细整理，涵盖了考试的基础知识点、重要概念和关键信息。通过思维导图的形式，这些内容可以更加清晰、直观地展现出来，便于考生理解和记忆。结合图形一目了然。内容实用，有需要的赶紧收藏下来吧！

成考数学

• 本文共分三页，为成人高考数学前三章内容，利用图象对方直观讲解了几个重要的初等函数。
• 第一章
  • 集合
• 第二章
  • 函数
    • 映射
    • 函数的基本性质
• 第三章
  • 初等函数
    • 幂函数
      • 附加了直线相关内容
    • 指数函数
    • 对数函数

第一章 集合

• 一、基本概念
  • 1、元素
    • 研究的对象，用小写字母a,b,c表示
  • 2、集合
    • 一些元素组成的总全，用大写字母表示A，B，C
  • 3、集合中元素的特性
    • 确定性
      • 明确是否属于该集合
    • 无序性
      • 对于一个集合中的元素，是不考虑它们之间的先后顺序的
    • 互异性
      • 一个集合中的元素，是互不相同的
  • 4、常用的数集
    • 自然数 N
      • 包含0
    • 整数集 Z
      • 源于德语中整数“Zahlen”的缩写
      • 正整数
      • 零
      • 负整数
    • 复数 C
      • 实数 R
        • 来源于“real number”（实数）的首字母
        • 有理数 Q
          • 来源于“quotient”（商）的缩写
        • 无理数
      • 虚数 I
  • 5、集合的表达方式
    • 列举法
      • 把集合的元素一一列举出来，并用花括号{}括起来
        • {1，2，3}
    • 描述法
      • 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法
        • {x|2<x<6}
    • 图示法
      • 用图形或实数轴上的点组成的线段（区间）表示数集，这种图称为Venn图
  • 6、集合的分类
    • 有限集
    • 无限集
• 二、基本关系
  • 1、元素与集合间的关系
    • 属于
    • 不属于
  • 2、集合与集合间的关系
    • 空集
    • 全集
    • 相等
    • 子集
    • 真子集
    • 交集
      • 集合论中，设A、B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B。
    • 并集
      • 给定两个集合A、B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
    • 相对补集
    • 绝对补集
  • 3、集合运算
    • 交换律
      • 涉及到集合的并集和交集运算。
      • 对于任意给定的集合A和B，有A∪B = B∪A和A∩B = B∩A，
      • 即并集和交集运算中的集合顺序可以交换，结果不变。
    • 结合律
      • 涉及到集合的并集和交集运算的结合性。
      • 对于任意给定的集合A、B和C，有(A∪B)∪C = A∪(B∪C)和(A∩B)∩C = A∩(B∩C)，
      • 即并集和交集运算可以分组进行，不改变运算结果。
    • 分配律
      • 描述了集合的交运算和并运算之间的分配关系。
      • 对于任意给定的集合A、B和C，有A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)和A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，
      • 即交运算对并运算具有分配性，并运算对交运算也具有分配性。
    • 吸收律
      • 描述了集合的并运算和交运算之间的吸收关系。
      • 对于任意给定的集合A、B和C，有A∪(A∩B) = A和A∩(A∪B) = A，
      • 即并运算可以吸收交运算的结果，交运算也可以吸收并运算的结果。
    • 对偶律
      • 描述了集合的补集运算与并集、交集运算之间的关系。
      • 对于任意给定的集合A和B，有(A∪B)' = A'∩B'和(A∩B)' = A'∪B'，
      • 即并集和交集的补集运算可以转换为交集的补集和并集的补集运算。
    • 补集律
      • 描述了集合与其补集之间的关系。
      • 对于任意给定的集合A和它的全集U，有A∪A' = U和A∩A' = ∅，
      • 即集合与其补集的并集等于全集，集合与其补集的交集等于空集。

第二章 函数

• 映射
  • 设两个集合A和B，以及一个对应法则f。如果对于A中的每一个元素a，B中都有唯一确定的元素b与之对应，那么这样的对应（包括集合A，B和对应法则f）叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
  • 其中
    • b称为a在映射f下的像
    • a称为b关于映射f的原像
    • 对应法则f有时也写成F，于是映射也可表示为F：A→B
  • 特点
    • 确定性
      • 对于A中的每一个元素a，B中都有唯一确定的元素b与之对应，不会出现多个b对应同一个a的情况。
    • 功能性
      • 映射是一种对应关系，它描述了如何从A中的元素通过某种规则得到B中的元素。
    • 多样性
      • 对于不同的集合A和B，以及不同的对应法则f，可以产生不同的映射
• 函数
  • 定义
    • 给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。
  • 三个要素
    • 定义域A
      • （1）分式的分母不能为0；
      • （2）偶次根号内的式子大于等于0；
      • （3）0次幂的底数不为0；
    • 值域B
    • 应法则f
  • 表示法
    • 1. 列表法：就是把自变量和因变量的对应值列成一个表格来表示函数关系的方法。
    • 2. 解析式法：就是用数学式子来表示函数关系的方法。
    • 3. 图象法：就是用图像来表示函数关系的方法。
  • 性质
    • 单调性
      • 增
      • 减
    • 奇偶性
      • 偶函数
        • 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)，则这个函数f(x)就叫做偶函数
        • 图像关于y轴对称
      • 奇函数
        • 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则这个函数f(x)就叫做奇函数
        • 图像关于原点对称
    • 周期性
      • 如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于所有定义域内的x，都有f(x+T) = f(x)，那么我们就说函数f(x)具有周期性，T是它的周期。
  • 反函数
    • 如果函数y=f(x)在某一区间内是单调的，并且在此区间内的每一个x值都有唯一的y值与之对应，那么就可以通过互换x和y的位置来得到反函数，即x=f(y)
    • 性质
      • 原函数与反函数的定义域和值域是彼此对应的
        • 即原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域。
      • 原函数与其反函数在相应区间上的单调性是一致的
      • 原函数与其反函数的图像关于直线y=x对称
• 平面直角坐标系

第三章 初等函数

• 幂函数
  • 一般式
    • 图像
  • 图像性质
    • 单调性：
    • 奇偶性
    • 图像位置
    • 与坐标轴的交点
  • 运算法则
    • 同底数幂的乘法
    • 同底数幂的除法
    • 幂的乘方
    • 积的乘方
    • 幂的零次幂与负整数指数幂
    • 负整数指数幂表示该数的倒数的正整数次幂
  • 一次函数（直线）
    • 斜截式
    • 点斜式
      • k:斜率
    • 一般式
    • k：斜率
      • 单调性
        • k>0：增
        • k<0：减
      • 若直线⊥x轴，倾斜角α=90°，则斜率不存在
    • m：截距
      • 图像与y轴交于点（0，m）
      • 正比例函数：m=0时，y=kx过原点（0，0）
    • 中点坐标公式
    • 平行
      • 斜率相等
    • 垂直
      • 斜率乘积等-1
    • 点到点的距离
    • 点到直线的距离
  • 二次函数
    • 一般式
    • 顶点式
    • 二次项系数a
      • a>0
        • 开口向上
      • a<0
        • 开口向下
      • 开口大小随|a|的增大而增大
    • 一次项系数b
      • 对称轴
    • 差别式
    • 点
      • y轴交点
        • (0, c）
      • x轴交点
        • D>0
          • 2交点
        • D=0
          • 1个交点
        • D<0
          • 无交点
        • 万能公式
      • 顶点坐标
  • 反比例函数
    • 一般式
    • 单调性
      • 当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，y随x的增大而减小
      • 当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，y随x的增大而增大；
    • 对称性：
      • 图像关于原点(0,0)对称。
    • 渐近线：
      • x 轴和 y 轴是反比例函数的渐近线。
    • 面积性质：
      • 任意一点 (x, y) 在反比例函数图像上，与坐标原点 (0,0) 形成的矩形的面积恒为 |k|。即 |xy| = |k|。
• 指数函数
  • 一般式
  • 定义域
  • 值域
  • 奇偶性
    • 指数函数没有奇偶性，即它们既不是奇函数也不是偶函数。
  • 渐近线
    • 指数函数在x轴的正方向没有水平渐近线，但随着x趋于负无穷大，函数值趋近于0。这意味着在x轴的左侧，函数图形有一条水平渐近线y=0。
  • 单调性
    • 当 a > 1 时，函数是递增的，即随着x的增大，函数值也增大。
    • 当 0 < a < 1 时，函数是递减的，即随着x的增大，函数值减小。
  • 图像
• 对数函数
  • 图像
    • 对数与指数互为反函数，对于任意正数a和b：
  • 一般式
    • a为底数
      • 自然对数ln(x)
        • a=e=2.71828
      • 常用对数lg(x)
        • a=10
    • x为真数
  • 定义域
  • 值域
  • 单调性
  • 换底公式：
  • 运算法则
    • 乘法法则
    • 除法法则
      • • 这里 n 不能为0，因为对数函数的定义域是正数集
    • 幂的法则
    • 对数恒等式
    • 特殊公式