全等三角形

苏科版8年级上册《全等三角形》相关知识点梳理，展示了全等三角形的定义、性质、以及判定条件等多个方面的知识点。这种组织方式使得学习者能够一目了然地掌握全等三角形的核心内容，便于记忆和复习。还介绍了多种全等三角形的判定方法，如“边角边”、“角边角”、“角角边”和“边边边”等，并详细说明了它们的由来、内容、应用格式以及推论。这些信息为学习者提供了丰富的解题技巧和方法，有助于他们在解决实际问题时灵活运用。使用其他版本的同学也可以正常使用。

全等三角形

• 全等图形
  • 定义
    • 能完全重合的图形叫作全等图形
      • 例如:两张能完全重合的照片
    • • 全等图形是指两个或两个以上的图形之间的关系，一个图形不能称为全等图形
      • 判断两个图形是否全等,只要将它们叠合在一起,若能够完全重合，则这两个图形是全等图形;否则,就不是
  • 性质
    • 两个全等图形，它们的形状、大小相同
    • 全等图形的面积相等
    • • 全等图形关注的是两个图形的形状和大小,而不是图形所在的位置
      • 两个全等图形的周长和面积一定分别相等,但周长或面积相等的两个图形不一定全等
      • 全等图形的对应元素(对应边、对应角)都对应相等
    • 说明
      • 在全等图形的表述中，一定要关注对应元素,当两个图形完全重合时,能够完全重合的元素才是对应元素
  • 几何变换与全等图形
    • 说明
      • 一个图形经过翻折、平移、旋转等变换后,位置发生了改变,但形状和大小都没有改变.因此,变换后得到的新图形一定与原图形全等;反过来,两个全等图形经过上述某些变换后一定能互相重合
• 全等三角形
  • 全等三角形及其对应元素
    • 全等三角形
      • 定义
        • 两个能完全重合的三角形叫作全等三角形
      • 全等符号
        • ≌
        • 读作“全等于”
      • 表示方法
        • 图示
          • 
        • △ABC和△DEF全等
          • 记作△ABC≌△DEF
          • 读作三角形ABC全等于三角形DEF
          • • 记两个三角形全等时，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上
    • 对应元素
      • 说明
        • 把两个全等三角形叠合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角
        • • 对应顶点：重合的顶点
          • 对应边：重合的边
          • 对应角：重合的角
      • 图示
        • 
        • △ABC≌△DEF
          • 点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点
          • AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边
          • ∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角
      • • 用符号“≌”表示两个三角形全等时，需要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,而不是任意书写三个字母,以防止出现“不对应”的现象
      • 确定全等三角形的对应边、对应角
        • 图形特征法
          • ①
            • 最长边对最长边,最短边对最短边
          • ②
            • 最大角对最大角，最小角对最小角
        • 位置关系法
          • ①
            • 公共边一定是对应边
            • 公共角一定是对应角
            • 对顶角一定是对应角
          • ②
            • 两边是对应的，则它们所对的角也一定是对应的
            • 两角是对应的，则它们所对的边也是对应的
            • 两条对应边所夹得角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边
        • 字母顺序法
          • 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角
          • • 两个三角形全等用“≌”表示，找对应边、对应角一般可以从其书写的顺序和位置上来找
  • 性质
    • 全等三角形的性质
      • 全等三角形对应边相等
      • 全等三角形对应角相等
      • • 全等三角形周长相等，面积相等
        • 全等三角形对应边上的高、中线和对应角的角平分线相等，但反过来不一定成立
    • 图形的全等变换
      • 说明
        • 图形的全等变换只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,变换前后的两个图形全等
        • 一个图形经过多次的平移、旋转翻折,所得的图形与变换前的图形仍然全等
      • 类别
        • 平移全等型
        • 翻折全等型
        • 旋转全等型
• 探索三角形全等的条件
  • 基本事实“边角边”
    • 由来
      • 图示
        • ①
        • ②
      • 说明
        • 如图①所示,已知任意△ABC,画一个△A' B' C',使∠A'=∠A,A'B'=AB , A'C'= AC
        • 作法
          • ①
            • 画∠MA'N =∠A
          • ②
            • 在射线A'M ,A' N上分别取A'B'= AB ,A'C'= AC
          • ③
            • 连接B'C',得△ A'B'C'(如图②所示).把画好的△ A'B′C'剪下,放到△ABC 上,可以看到△A'B'C'与△ ABC能够完全重合,即△A’B’C'≌△ ABC
            • 上面的操作过程说明,有两条边和它们的夹角分别相等,这两个三角形全等,我们把这个事实作为判定两个三角形全等的方法
      • 注意
        • ①
          • 如果两个三角形的两边及其中一边的对角分别相等,这两个三角形不一定全等，如图所示，在△ABC和△ABD中,∠A =∠A,AB = AB,BC = BD,但这两个三角形不全等
          • 图示
        • ②
          • 在书写两个三角形全等的条件“SAS”时,一定把夹角相等写在中间,以突出此角是两边的夹角
    • “边角边”内容及应用格式
      • 内容
        • 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
        • • 简写成“边角边”或“SAS”
      • 应用格式
        • 图示
        • 格式
          • 如图，在△ABC和△A'B'C'中
          • ∴△ABC ≌△A' B'C'( SAS)
        • • 在列举两个三角多全等的条件时，一般要把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并明确其中的“对应”关系
      • 注意
        • 误用“SSA”判定三角形全等
        • 一般地,两边一角证全等时,角一定要是两边的夹角,如果是两边及一边的对角,那么这两个三角形不一定全等
  • 基本事实“角边角”及其推论“角角边”
    • 由来
      • 图示
        • ①
        • ②
      • 说明
        • 如图①所示,已知任意△ABC，画一个△A' B'C',使A'B'= AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B
        • 作法
          • ①
            • 画线段A'B'=AB
          • ②
            • 在A'B'的同一侧,分别作∠MA'B'=∠A,∠NB'A'=∠B，A'M , B'N交于点C',得△A' B' C'(如图②所示)
          • ③
            • 剪下△A' B'C"放到△ABC上,可以发现△A' B' C'与△ ABC能够完全重合,即△A'B'C'≌△ ABC
      • 注意
        • 用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识
    • “角边角”内容及应用格式
      • 内容
        • 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
        • • 简写成“角边角”或“ASA”
      • 应用格式
        • 图示
        • 格式
          • 如图，在△ABC和△A'B'C'中
          • ∴△ABC ≌△A' B'C'( ASA)
    • “角角边”的由来
      • 由“三角形内角和等于180°”可知在两个三角形中,只要有两个角分别相等,那么第三个角也相等.因此,根据全等三角形的条件“角边角”可以得到两个三角形全等的又一判定方法
    • “角角边”内容及应用格式
      • 内容
        • • 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
          • 简写成“角角边”或“AAS”
      • 应用格式
        • 图示
        • 格式
          • 如图，在△ABC和△A'B'C'中
          • ∴△ABC ≌△A' B'C'( AAS)
    • • 将“ASA”与“AAS”结合起来可得出
        • 如果两个三角形具备两个角和一边对应相等,那么可判定它们全等
        • • 在应用“AAS”证明两个三角形全等时一定要注意它和“ASA”的不同,前者是一组等角的对边相等,后者是两个角的夹边相等
  • 基本事实“边边边”
    • “边边边”的由来
      • 图示
        • ①
        • ②
      • 说明
        • 如图①所示,已知任意△ ABC,画一个△A' B'C',使A'B'= AB,A'C'= AC, B'C'= BC
      • 作法
        • ①
          • 画线段A'B'= AB
        • ②
          • 分别以点A'，B'为圆心,AC,BC的长为半径画弧,两弧相交于点C
        • ③
          • 连接A'C',B'C',得△A'B'C(如图②所示).剪下△A' B'C放在△ ABC上,可以看到△ A'B'C'与△ABC能够完全重合,即△ A'B'C'≌△ABC
    • “边边边”内容及应用格式
      • 内容
        • 三边分别相等的两个三角形全等
        • • 简写成“边边边”或“SSS”
      • 应用格式
        • 图示
        • 格式
          • 如图，在△ABC和△A'B'C'中
          • ∴△ABC ≌△A' B'C'( SSS)
  • 三角形的稳定性
    • 如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性
    • • 理论依据是“边边边”这一基本事实
  • 尺规作角平分线和垂线
    • 角平分线
      • 图示
        • 如图所示,已知∠BAC
      • 步骤
        • ①
          • 以点A为圆心,任意长为半径作弧,分别交射线AC,AB于点F,E
        • ②
          • 分别以点E,F为圆心,大于1/2EF的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部交于点D
          • • 为什么要“大于1/2EF"?
              • 因为小于1/2EF时两弧不相交，而等于EF时两弧虽然有一个交点,但难以准确得到EF
        • ③
          • 作射线AD
          • AD就是∠BAC的平分线
          • • D是两弧交于∠BAC内的一点,另一交点没有作出,这是因为有A，D两点就可确定出平分∠BAC的射线
    • 过直线外一点作直线的垂线
      • 图示
        • 如图所示,已知直线AB及直线AB外一点P
      • 步骤
        • ①
          • 以点P为圆心,适当的长为半径作弧,使它与直线AB交于点C,D
        • ②
          • 分别以点C,D为圆心,大于1/2CD的长为半径作弧,两弧交于点Q
        • ③
          • 作直线PQ
          • 直线PQ就是经过直线AB外一点P的直线AB的垂线
    • 过直线上一点作直线的垂线
      • 图示
      • 步骤
        • 步骤同上,如图所示,直线PQ就是经过直线AB上一点P的直线AB的垂线
      • • 这个作图可以看成是作平角∠APB的平分线
  • 判定直角三角形全等的方法
    • 一般方法
      • 由于直角三角形中有一个角是直角,因此判定两个直角三角形全等时,除直角外(直角都相等),只需找到另两个条件即可
      • • ①
          • 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等(直角为夹角),依据是SAS
        • ②
          • 斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等(有一个角是直角),依据是AAS
        • ③
          • 一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等(有一个角是直角),依据是ASA 或AAS
    • 特殊方法
      • 判定方法的由来
        • 图示
          • 画一个Rt△ A'B'C',使∠C=90°, B'C'=BC,A'B'=AB
        • 说明
          • :① ;②; 3;④.
          • ①
            • 画∠MC'N = 90°
          • ②
            • 在射线C'M上截取B'C'=BC
          • ③
            • 以点B'为圆心,AB长为半径画弧，交射线C'N于点A'
          • ④
            • 连接A'B'.如图所示,Rt△A' B'C与Rt△ABC是全等的
      • “斜边、直角边”内容及应用格式
        • 内容
          • 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
          • • 简写成“斜边、直角边”或“HL”
        • 应用格式
          • 图示
          • 格式
            • 如图，在Rt△ACB和Rt△A'C'B'中
            • ∴Rt△ACB≌Rt△A'C'B'( HL)
        • • 该定理应用的前提是两个三角形都为直角三角形
    • • 证明两个直角三角形全等时,首先考虑用“HL”证明,如不行再考虑用其他一般的方法
  • 三角形全等的判定总结
    • 判定方法
      • 边角边（SAS）
      • 边边边（SSS）
      • 角边角（ASA）
      • 角角边（AAS）
      • 斜边、直角边（HL）
      • • 三个条件能唯一确定三角形
    • 判定思路
      • • 已知两边
          • 一直角边一斜边→HL
          • 找夹角→SAS
          • 找第三边→SSS
        • 已知一边一角
          • 边为角的对边→找任一角→AAS
          • 边为角的邻边
            • 找夹角的另一边→SAS
            • 找夹边的另一邻角→ASA
            • 找边的对角→AAS
        • 已知两角
          • 找夹边→ASA
          • 找其中一个已知角的对边→AAS
      • • 执因索果
        • 执果索因
    • 书写
      • 全等五行
        • 在△ABC和△DEF中
        • ① ② ③
        • ∵
          • ∵后面紧跟的条件需要满足，从这个∵开始往上找要能找到
          • • ①已知
              • 显性条件
                • 题干中已经直接给出的条件
              • 隐性条件
                • 比如对顶角相等，公共角相等、公共边相等等
            • ②已证
              • 根据题干已知条件已经证明出来的结论
            • • 遇到题目条件不能运用或条件不齐全的问题时,通常要通过添加辅助线来创造条件,使已知条件能够运用或新增可用条件
        • ∴
    • • 证明两个三角形全等时，常见的隐含“等边”有:
        • ①
          • 公共边相等
        • ②
          • 等线段加(或减）等线段，线段仍相等
        • ③
          • 由中点或中线得线段相等
      • 证明两个三角形全等时，常见的隐含“等角”有:
        • ①
          • 公共角相等
        • ②
          • 对顶角相等
        • ③
          • 等角加(或减)等角仍得等角
        • ④
          • 角平分线得等角
        • ⑤
          • 同角(等角)的余角(补角)相等
        • ⑥
          • 平行线得同位角、内错角相等
      • 利用全等三角形说明线段相等或角相等,思路如下:
        • ①
          • 观察要说明的线段或角在哪两个可能全等的三角形中
        • ②
          • 看准要说明的这两个三角形,看它们全等需要的条件中，已知什么,还缺什么
        • ③
          • 探索,发现及推理所缺条件
        • ④
          • 因为全等三角形对应角、对应边相等,所以要证明这两个角(或两条边)相等,可以证明这两个角(或两条边)所在的三角形全等
• 全等三角形中辅助线的构造
  • 方法
    • 倍长中线法
      • 遇到中线或中点的连线，延长该线段（一倍），使延长线段与原线段相等
      • • “倍长中线法”构造全等三角形后,就可以利用全等三角形的性质,实现线段的等量代换,起到“转移”线段的作用
    • 题目中有角平分线
      • 角平分线上的点向角两边作垂线
      • 截长法
        • 利用对称性，在被平分的角的两边截取相等的线段
      • 延长垂线段
        • 题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交
    • 截长补短法
      • 探索一条线段等于两条线段的和,经常用到“截长法”或“补短法”
      • 分类
        • 截长法
          • 把结论中最长的线段根据已知条件分成两段,使其中一段与较短线段相等,然后说明余下的线段与另一条线段相等的方法
        • 补短法
          • 把两条线段接长成为一条长线段,然后说明接成的线段与最长的线段相等
          • 或是把一条较短的线段加长,使它等于最长的线段,然后说明加长的那部分与另一较短的线段相等
    • 旋转法
      • 题目中出现有一个公共端点的相等线段时
    • 作平行线
      • 有角平分线
        • 常过角平分线（图中已知线段或其延长线）上一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形
        • 通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交
      • 无角平分线
  • 语言表达
    • 作线段
      • 连接......
    • 作平行线
      • 过点......作......∥......
    • 作垂线（高）
      • 过点......作......⊥......，垂足为......
    • 作中线
      • 取......中点.......，连接......
    • 延长并截取线段
      • 延长......使......等于......
    • 截取等长线段
      • 在......上截取......，使......等于......
    • 作角平分线
      • 作......平分.......。作角......等于已知角......
    • 作一个角等于已知角
      • 作角......等于......