第2章《轴对称图形》

8年级上册数学(苏科)第2章，轴对称图形相关知识点梳理，使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，学生更好地理解和记忆历史知识。

轴对称图形

• 轴对称与轴对称图形
  • 两个图形成轴对称
    • 概念
      • 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应点叫作对称点
      • • 两个图形的位置关系
        • 成轴对称的两个图形一定全等
    • 条件
      • ①
        • 两个图形
      • ②
        • 存在一条直线，两个图形沿着这条直线对折后能够完全重合
    • 说明
      • ①
        • 成轴对称的两个图形,对称点通常在对称轴的两侧,对称轴上的某个点的对称点是它本身
      • ②
        • 成轴对称的两个图形,已知某个图形中的一个点,其对称点唯一确定
      • ③
        • 成轴对称的两个图形的位置固定后,其对称轴只能有一条
      • ④
        • 成轴对称的两个图形全等,但全等的两个图形不一定成轴对称
  • 轴对称图形
    • 轴对称图形
      • 概念
        • 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴
        • • 轴对称图形是对于一个图形而言的,它表示具有一定特性(轴对称性)的某一类图形
          • 图形被对称轴分成的两部分能够互相重合
          • 一个轴对称图形的对称轴是经过图形的某条直线，不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定
      • 条件
        • ①
          • 存在一条直线(对称轴)
        • ②
          • 沿这条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合
    • 常见的轴对称图形
      • 角
        • 图形
        • 对称轴条数
          • 1
        • 对称轴
          • 角平分线所在的直线
      • 等腰三角形
        • 图形
        • 对称轴条数
          • 1
        • 对称轴
          • 底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在的直线
      • 等边三角形
        • 图形
        • 对称轴条数
          • 3
        • 对称轴
          • 各边上的高(内角平分线或中线)所在的直线
      • 等腰梯形
        • 图形
        • 对称轴条数
          • 1
        • 对称轴
          • 上、下底的中点所在的直线
      • 圆
        • 图形
        • 对称轴条数
          • 无数
        • 对称轴
          • 过圆心的每条直线
      • 长方形
        • 图形
        • 对称轴条数
          • 2
        • 对称轴
          • 对边中点所在的直线
      • 正方形
        • 图形
        • 对称轴条数
          • 4
        • 对称轴
          • 对角线所在的直线和对边中点所在的直线
      • • 对称轴是一条直线,而不是射线或线段，常用表述是“××所在的直线”
  • 成轴对称与轴对称图形的区别与联系
    • 区别
      • 意义不同
        • 轴对称是两个图形之间的对称关系
        • 轴对称图形是具有特殊形状的图形
      • 对象不同
        • 轴对称是两个图形
        • 轴对称图形是一个图形
      • 对称轴的位置不同
        • 轴对称的对称轴在两个图形之间
        • 轴对称图形的对称轴过图形的某一条直线
      • 对称轴的数量
        • 轴对称的对称轴只有一条
        • 轴对称图形的对称轴不一定只有一条
    • 联系
      • ①
        • 沿对称轴折叠，成轴对称的两个图形重合
        • 沿对称轴折叠，轴对称图形的两部分重合
      • ②
        • 若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形
        • 反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称
• 轴对称的性质
  • 线段的垂直平分线
    • 定义
      • 垂直并且平方一条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，也叫这条线段的中垂线
      • • 线段的垂直平分线是一条直线且只有一条
        • 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴
    • 条件
      • ①
        • 经过线段的中点
      • ②
        • 垂直于这条线段
      • 两者缺一不可
    • 应用格式
      • 若已知l是线段AA'的垂直平分线,l与AA'交于点O,可用以下数学语言表述出线段相等、垂直
      • ∵ l是线段AA'的垂直平分线(已知)，
      • ∴ l⊥AA', AO = A'O(线段垂直平分线的定义).
  • 轴对称的性质
    • ①
      • 成轴对称的两个图形全等
      • • 两个图形成轴对称,它们的对应线段相等,对应角也相等
    • ②
      • 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分
      • • 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
        • 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
    • ③
      • 成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称
    • 成轴对称的两个图形中对应线段的位置关系有两种可能
      • ①
        • 互相平行或在同一直线上
      • ②
        • 对应线段所在直线的交点在对称轴上
  • 画已知图形的轴对称图形
    • 思路
      • 画轴对称图形,首先应确定对称轴,然后找出对称点
    • 步骤
      • 找
        • 在原图形上找关键点（如线段的端点）
      • 作
        • 作各个关键点关于对称轴的对称点
      • 连
        • 按原图形顺次连接相应的对称点
    • • 几何图形都可以看作是由点组成的，只要分别作出这些点关于对称轴的对称点,再连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形
  • 画对称轴
    • 画轴对称图形的对称轴
      • 找一组对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线
    • 画成轴对称的两个图形的对称轴
      • 找一组对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线
    • • 对于轴对称图形或成轴对称的两个图形,它们的对称点有一个共同的规律
        • 对称点所连的线段被对称轴垂直平分,这是我们画图形的对称轴的依据
• 设计轴对称图案
  • 利用轴对称的性质设计图案
    • 通常先以一条对称轴为基线,根据构思或需要,再添加与这条直线成轴对称的其他图形,进一步设计完善、美观的图案
    • 设计轴对称图形(案)的关键
      • 厘清要设计的图形(案)中对称轴的条数和构成图形(案)的“基本单元”,灵活运用轴对称的性质
• 线段、角的轴对称性
  • 线段的轴对称性
    • 线段的轴对称性
      • 线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴
    • 线段垂直平分线的性质定理
      • 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
    • 线段垂直平分线的判定定理
      • 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
      • • 到两点距离相等的点一定在这两点所连线段的垂直平分线上
    • • 线段的垂直平分线是一条直线,而非线段或射线,并且仅有一条
      • 因为直线和射线没有中点,所以它们没有垂直平分线,只有线段才有垂直平分线
      • 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的所有点的集合
    • 性质和判定的符号语言
      • 图示
      • 说明
        • 如图所示,若l是线段AB的垂直平分线,且点P在l上,则有PA = PB ; 反之,若PA = PB,则点P在线段AB的垂直平分线上
    • 线段的垂直平分线的作法
      • 尺规作图
        • 图示
          • 
        • 步骤
          • ①
            • 分别以点A，B为圆心，以大于 1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点
            • • 若小于1/2AB的长，到两弧没有交点
              • 若等于1/2AB的长，则两弧的交点为绒段的中点，此时不能画出重直平分线
          • ②
            • 过C，D两点作直线，直线CD就是线段AB的垂直平分线
  • 角的轴对称性
    • 说明
      • 角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴
      • • 不能说角平分线是它的对称轴，因为角平分线是射线
    • 角平分线性质定理
      • 内容
        • 角平分线上的点到角两边的距离相等
        • • 图示
            • 
          • 说明
            • 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F
            • PE＝PF
    • 角平分线的判定定理
      • 内容
        • 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
        • • 图示
            • 
          • 说明
            • 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF
            • PD平分∠ADB
        • • 若这个点在角的外部且到一个角的两边的距离相等,那么这个点在这个角平分线的反向延长线上
      • 证明角平分线的方法
        • 要证一条射线是角的平分线,只需从这条射线上的某一点向角的两边作垂线段,再证明垂线段相等即可.这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题,体现了转化思想
    • 角平分线的作法
      • 尺规作图
        • 图示
          • 
        • 步骤
          • ①
            • 以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E
          • ②
            • 分别以D、E为圆心，大于1/2DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C
          • ③
            • 画射线OC
            • 射线OC即为所求
• 等腰三角形的轴对称性
  • 等腰三角形
    • 定义
      • 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形
      • 图示
        • • 相等的两条边叫做腰，另一边叫做底
          • 两腰所夹的角叫做顶角
          • 底边与腰的夹角叫做底角
    • 性质
      • 轴对称性
        • 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线（底边上的中线所在直线、底边上的高所在直线）是它的对称轴
      • 等边对等角
        • 定理
          • 等腰三角形的两底角相等
        • 应用格式
          • 图示
          • 说明
            • 如图所示,在△ABC中, ∵AB = AC, ∴∠B =∠C.
        • 主要应用
          • ①
            • 与三角形的内角和为180°等知识相结合解题
          • ②
            • 在推理的过程中用到它,由线段的相等关系导出角的相等关系
      • 三线合一
        • 定理
          • 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合
          • • 应用“三线合一”性质的前提是在等腰三角形中,且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线
        • 应用格式
          • 图示
          • 说明
            • 在△ABC中, AB= AC,点D在BC上.
            • ①
              • ∵∠BAD =∠CAD,∴AD ⊥BC, BD =CD
            • ②
              • ∵BD = CD,∴∠BAD =∠CAD ,AD⊥BC
            • ③
              • ∵AD ⊥BC,∴∠BAD =∠CAD , BD = CD
      • 其他性质
        • ①
          • 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等
        • ②
          • 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
        • ③
          • 等腰三角形两底角的平分线相等
        • ④
          • 当等腰三角形的顶角为90°时,此等腰三角形为等腰直角三角形,它的两条直角边相等,两个锐角都是45°
    • 等腰三角形的判定方法
      • 定义法
        • 有两条边相等的三角形是等腰三角形
      • 判定定理
        • 有两个角相等的三角形是等腰三角形
        • • 简称“等角对等边”
  • 等边三角形
    • 定义
      • 三边相等的三角形叫作等边三角形，也叫正三角形
    • 性质
      • ①
        • 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
      • ②
        • 定理
          • 等边三角形的各角相等，都等于60°
      • • 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质
        • 等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一
    • 判定方法
      • ①
        • 三条边都相等的三角形是等边三角形（依据定义）
      • ②
        • 三个角都相等的三角形是等边三角形（判定定理）
      • ③
        • 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（判定定理）
        • • 这个60°的角可以是顶角,也可以是底角
  • 直角三角形斜边上的中线的性质定理
    • 定理
      • 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
    • 应用格式
      • 图示
      • 说明
        • 如图所示,在Rt △ABC中, ∵∠ACB= 90°,CD是斜边AB上的中线, ∴CD =1/2AB ( AB=2CD )
    • • 这个性质定理可以将直角三角分成两个等腰三角的，又可以运用等腰三角形的性质解决有关问题
  • 含30°角的直角三角形的性质
    • 性质
      • 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
      • • ①
          • 该性质是含有30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，一般三角形中即使有30°角也不能直接使用这个性质
        • ②
          • 这个性质主要应用于计算或证明线段的倍数关系
        • ③
          • 该性质的证明出自等边三角形,所以它与等边三角形联系密切
• 专题
  • 寻（构）等腰
    • 遇平分，找（构）等腰
      • 平行＋平分
        • ①
          • 说明
            • 自角平分线上一点作角的一边的平行线,可构造等腰三角形
          • 应用模型
            • 图示
            • 说明
              • 如图所示,OC平分∠AOB,AC//OB,则有∠1=∠2,∠3=∠2,所以∠1=∠3,所以△OAC为等腰三角形
        • ②
          • 说明
            • 过角的一边上的点作角平分线的平行线,交角的另一边所在直线于一点，可构造等腰三角形
          • 应用模型
            • 图示
            • 说明
              • 如图所示，OC平分∠AOB,OC//DE,故∠1=∠2,∠1=∠4,∠3=∠2,所以∠3=∠4,所以△ODE是等腰三角形
      • 角分垂
        • 说明
          • 当遇到与角平分线垂直的线段时，可把这条线段延长与角的另一条边相交,构造等腰三角形和两个全等的直角三角形
        • 应用模型
          • 图示
          • 说明
            • 如图所示，∠1=∠2，DE上OE于点E,若延长交OB于点F,则△OED≌△OEF,此时有ED =EF=1/2DF, OD=OF，∠ODF=∠OFD等结论
    • 遇倍角找等腰
      • 说明
        • 当题目中条件出现一个角是另一个角的2倍的关系时,可以构造(寻找)等腰三角形
      • 应用模型
        • 图示
        • 说明
          • 如图所示，已知∠ACB =2∠B,若延长BC至D使AC=DC,此时△ABD与△ADC都是等腰三角形
  • 等腰“手拉手 ”
    • “手拉手”模型
      • 特点
        • 共顶点、等顶角的两个等腰三角形
      • 1.等腰三角形问题中,我们经常会遇到“手拉手”模型,其基本的图形特点是, .
      • 2.“手拉手”模型中的特殊图形变式:
      • (1)等边三角形的“手拉手”:如图2-Z2-1(2)所示，△ ABD与△BEC为等边三角形且共顶点B,易得△ABE ADBC.(2)等腰直角三角形的“手拉手”:如图2-Z2-1(3)所示，等腰直角△ACD与等腰直角△DGE共顶点D,易得△ADGQ△ CDE ;如图2-Z2-1(4)所示，等腰直角△ ABC与等腰直角△ADE共顶点A,易得△ ADB L△ AEC.
      • 基本形式
        • 图示
        • 说明
          • 如图所示，△ABB'与△ACC'是等腰三角形,且∠BAB'=∠CAC',此时有结论△ABC≌△AB'C'
      • 特殊形式
        • 等边三角形“手拉手”
          • 图示
          • 说明
            • 如图所示，△ABD与△BEC为等边三角形且共顶点B,易得△ABE≌△DBC
        • 等腰直角三角形“手拉手”
          • 1
            • 图示
            • 说明
              • 如图所示，等腰直角△ACD与等腰直角△DGE共顶点D,易得△ADG≌△CDE
            • 结论
              • ①
                • △ADG≌△CDE
              • ②
                • AG=CE
              • ③
                • AG与CE的夹角是90°
              • ④
                • HD平分∠AHE
            • • 图示
              • 说明
                • 当两个等腰直角三角形变为正方形时,如图所示，上面的结论依然成立
          • 2
            • 图示
            • 说明
              • 如图所示，等腰直角△ABC与等腰直角△ADE共顶点A,易得△ADB≌△AEC.