导图社区 第2章《轴对称图形》
8年级上册数学(苏科)第2章,轴对称图形相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
编辑于2024-06-26 13:28:078年级上册数学(苏科)第3章《勾股定理》相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
8年级上册数学(苏科)第2章,轴对称图形相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
苏科版8年级上册《全等三角形》相关知识点梳理,展示了全等三角形的定义、性质、以及判定条件等多个方面的知识点。这种组织方式使得学习者能够一目了然地掌握全等三角形的核心内容,便于记忆和复习。还介绍了多种全等三角形的判定方法,如“边角边”、“角边角”、“角角边”和“边边边”等,并详细说明了它们的由来、内容、应用格式以及推论。这些信息为学习者提供了丰富的解题技巧和方法,有助于他们在解决实际问题时灵活运用。使用其他版本的同学也可以正常使用。
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轴对称图形
轴对称与轴对称图形
两个图形成轴对称
概念
把一个图形沿着某一条直线翻折,如果它能与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称,这条直线叫作对称轴,两个图形中的对应点叫作对称点
两个图形的位置关系
成轴对称的两个图形一定全等
条件
①
两个图形
②
存在一条直线,两个图形沿着这条直线对折后能够完全重合
说明
①
成轴对称的两个图形,对称点通常在对称轴的两侧,对称轴上的某个点的对称点是它本身
②
成轴对称的两个图形,已知某个图形中的一个点,其对称点唯一确定
③
成轴对称的两个图形的位置固定后,其对称轴只能有一条
④
成轴对称的两个图形全等,但全等的两个图形不一定成轴对称
轴对称图形
轴对称图形
概念
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么称这个图形是轴对称图形,这条直线就是对称轴
轴对称图形是对于一个图形而言的,它表示具有一定特性(轴对称性)的某一类图形
图形被对称轴分成的两部分能够互相重合
一个轴对称图形的对称轴是经过图形的某条直线,不一定只有一条,也可能有两条或多条,因图形而定
条件
①
存在一条直线(对称轴)
②
沿这条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合
常见的轴对称图形
角
图形
对称轴条数
1
对称轴
角平分线所在的直线
等腰三角形
图形
对称轴条数
1
对称轴
底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在的直线
等边三角形
图形
对称轴条数
3
对称轴
各边上的高(内角平分线或中线)所在的直线
等腰梯形
图形
对称轴条数
1
对称轴
上、下底的中点所在的直线
圆
图形
对称轴条数
无数
对称轴
过圆心的每条直线
长方形
图形
对称轴条数
2
对称轴
对边中点所在的直线
正方形
图形
对称轴条数
4
对称轴
对角线所在的直线和对边中点所在的直线
对称轴是一条直线,而不是射线或线段,常用表述是“××所在的直线”
成轴对称与轴对称图形的区别与联系
区别
意义不同
轴对称是两个图形之间的对称关系
轴对称图形是具有特殊形状的图形
对象不同
轴对称是两个图形
轴对称图形是一个图形
对称轴的位置不同
轴对称的对称轴在两个图形之间
轴对称图形的对称轴过图形的某一条直线
对称轴的数量
轴对称的对称轴只有一条
轴对称图形的对称轴不一定只有一条
联系
①
沿对称轴折叠,成轴对称的两个图形重合
沿对称轴折叠,轴对称图形的两部分重合
②
若把成轴对称的两个图形看作一个整体,则这个整体就是轴对称图形
反过来,若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形,则这两个图形关于这条直线(原对称轴)对称
轴对称的性质
线段的垂直平分线
定义
垂直并且平方一条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线,也叫这条线段的中垂线
线段的垂直平分线是一条直线且只有一条
线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴
条件
①
经过线段的中点
②
垂直于这条线段
两者缺一不可
应用格式
若已知l是线段AA'的垂直平分线,l与AA'交于点O,可用以下数学语言表述出线段相等、垂直
∵ l是线段AA'的垂直平分线(已知),
∴ l⊥AA', AO = A'O(线段垂直平分线的定义).
轴对称的性质
①
成轴对称的两个图形全等
两个图形成轴对称,它们的对应线段相等,对应角也相等
②
成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分
对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
③
成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称
成轴对称的两个图形中对应线段的位置关系有两种可能
①
互相平行或在同一直线上
②
对应线段所在直线的交点在对称轴上
画已知图形的轴对称图形
思路
画轴对称图形,首先应确定对称轴,然后找出对称点
步骤
找
在原图形上找关键点(如线段的端点)
作
作各个关键点关于对称轴的对称点
连
按原图形顺次连接相应的对称点
几何图形都可以看作是由点组成的,只要分别作出这些点关于对称轴的对称点,再连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形
画对称轴
画轴对称图形的对称轴
找一组对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线
画成轴对称的两个图形的对称轴
找一组对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线
对于轴对称图形或成轴对称的两个图形,它们的对称点有一个共同的规律
对称点所连的线段被对称轴垂直平分,这是我们画图形的对称轴的依据
设计轴对称图案
利用轴对称的性质设计图案
通常先以一条对称轴为基线,根据构思或需要,再添加与这条直线成轴对称的其他图形,进一步设计完善、美观的图案
设计轴对称图形(案)的关键
厘清要设计的图形(案)中对称轴的条数和构成图形(案)的“基本单元”,灵活运用轴对称的性质
线段、角的轴对称性
线段的轴对称性
线段的轴对称性
线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
线段垂直平分线的判定定理
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
到两点距离相等的点一定在这两点所连线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线是一条直线,而非线段或射线,并且仅有一条
因为直线和射线没有中点,所以它们没有垂直平分线,只有线段才有垂直平分线
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的所有点的集合
性质和判定的符号语言
图示
说明
如图所示,若l是线段AB的垂直平分线,且点P在l上,则有PA = PB ; 反之,若PA = PB,则点P在线段AB的垂直平分线上
线段的垂直平分线的作法
尺规作图
图示

步骤
①
分别以点A,B为圆心,以大于 1/2AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点
若小于1/2AB的长,到两弧没有交点
若等于1/2AB的长,则两弧的交点为绒段的中点,此时不能画出重直平分线
②
过C,D两点作直线,直线CD就是线段AB的垂直平分线
角的轴对称性
说明
角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴
不能说角平分线是它的对称轴,因为角平分线是射线
角平分线性质定理
内容
角平分线上的点到角两边的距离相等
图示

说明
若CD平分∠ADB,点P是CD上一点,且PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F
PE=PF
角平分线的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
图示

说明
若PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,PE=PF
PD平分∠ADB
若这个点在角的外部且到一个角的两边的距离相等,那么这个点在这个角平分线的反向延长线上
证明角平分线的方法
要证一条射线是角的平分线,只需从这条射线上的某一点向角的两边作垂线段,再证明垂线段相等即可.这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题,体现了转化思想
角平分线的作法
尺规作图
图示

步骤
①
以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于D,交OB于E
②
分别以D、E为圆心,大于1/2DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C
③
画射线OC
射线OC即为所求
等腰三角形的轴对称性
等腰三角形
定义
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形
图示
相等的两条边叫做腰,另一边叫做底
两腰所夹的角叫做顶角
底边与腰的夹角叫做底角
性质
轴对称性
等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线(底边上的中线所在直线、底边上的高所在直线)是它的对称轴
等边对等角
定理
等腰三角形的两底角相等
应用格式
图示
说明
如图所示,在△ABC中, ∵AB = AC, ∴∠B =∠C.
主要应用
①
与三角形的内角和为180°等知识相结合解题
②
在推理的过程中用到它,由线段的相等关系导出角的相等关系
三线合一
定理
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合
应用“三线合一”性质的前提是在等腰三角形中,且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线
应用格式
图示
说明
在△ABC中, AB= AC,点D在BC上.
①
∵∠BAD =∠CAD,∴AD ⊥BC, BD =CD
②
∵BD = CD,∴∠BAD =∠CAD ,AD⊥BC
③
∵AD ⊥BC,∴∠BAD =∠CAD , BD = CD
其他性质
①
等腰三角形两腰上的中线、高分别相等
②
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
③
等腰三角形两底角的平分线相等
④
当等腰三角形的顶角为90°时,此等腰三角形为等腰直角三角形,它的两条直角边相等,两个锐角都是45°
等腰三角形的判定方法
定义法
有两条边相等的三角形是等腰三角形
判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形
简称“等角对等边”
等边三角形
定义
三边相等的三角形叫作等边三角形,也叫正三角形
性质
①
等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴
②
定理
等边三角形的各角相等,都等于60°
等边三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的一切性质
等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一
判定方法
①
三条边都相等的三角形是等边三角形(依据定义)
②
三个角都相等的三角形是等边三角形(判定定理)
③
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形(判定定理)
这个60°的角可以是顶角,也可以是底角
直角三角形斜边上的中线的性质定理
定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
应用格式
图示
说明
如图所示,在Rt △ABC中, ∵∠ACB= 90°,CD是斜边AB上的中线, ∴CD =1/2AB ( AB=2CD )
这个性质定理可以将直角三角分成两个等腰三角的,又可以运用等腰三角形的性质解决有关问题
含30°角的直角三角形的性质
性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
①
该性质是含有30°角的特殊直角三角形的性质,一般的直角三角形没有这个性质,一般三角形中即使有30°角也不能直接使用这个性质
②
这个性质主要应用于计算或证明线段的倍数关系
③
该性质的证明出自等边三角形,所以它与等边三角形联系密切
专题
寻(构)等腰
遇平分,找(构)等腰
平行+平分
①
说明
自角平分线上一点作角的一边的平行线,可构造等腰三角形
应用模型
图示
说明
如图所示,OC平分∠AOB,AC//OB,则有∠1=∠2,∠3=∠2,所以∠1=∠3,所以△OAC为等腰三角形
②
说明
过角的一边上的点作角平分线的平行线,交角的另一边所在直线于一点,可构造等腰三角形
应用模型
图示
说明
如图所示,OC平分∠AOB,OC//DE,故∠1=∠2,∠1=∠4,∠3=∠2,所以∠3=∠4,所以△ODE是等腰三角形
角分垂
说明
当遇到与角平分线垂直的线段时,可把这条线段延长与角的另一条边相交,构造等腰三角形和两个全等的直角三角形
应用模型
图示
说明
如图所示,∠1=∠2,DE上OE于点E,若延长交OB于点F,则△OED≌△OEF,此时有ED =EF=1/2DF, OD=OF,∠ODF=∠OFD等结论
遇倍角找等腰
说明
当题目中条件出现一个角是另一个角的2倍的关系时,可以构造(寻找)等腰三角形
应用模型
图示
说明
如图所示,已知∠ACB =2∠B,若延长BC至D使AC=DC,此时△ABD与△ADC都是等腰三角形
等腰“手拉手 ”
“手拉手”模型
特点
共顶点、等顶角的两个等腰三角形
1.等腰三角形问题中,我们经常会遇到“手拉手”模型,其基本的图形特点是, .
2.“手拉手”模型中的特殊图形变式:
(1)等边三角形的“手拉手”:如图2-Z2-1(2)所示,△ ABD与△BEC为等边三角形且共顶点B,易得△ABE ADBC.(2)等腰直角三角形的“手拉手”:如图2-Z2-1(3)所示,等腰直角△ACD与等腰直角△DGE共顶点D,易得△ADGQ△ CDE ;如图2-Z2-1(4)所示,等腰直角△ ABC与等腰直角△ADE共顶点A,易得△ ADB L△ AEC.
基本形式
图示
说明
如图所示,△ABB'与△ACC'是等腰三角形,且∠BAB'=∠CAC',此时有结论△ABC≌△AB'C'
特殊形式
等边三角形“手拉手”
图示
说明
如图所示,△ABD与△BEC为等边三角形且共顶点B,易得△ABE≌△DBC
等腰直角三角形“手拉手”
1
图示
说明
如图所示,等腰直角△ACD与等腰直角△DGE共顶点D,易得△ADG≌△CDE
结论
①
△ADG≌△CDE
②
AG=CE
③
AG与CE的夹角是90°
④
HD平分∠AHE
图示
说明
当两个等腰直角三角形变为正方形时,如图所示,上面的结论依然成立
2
图示
说明
如图所示,等腰直角△ABC与等腰直角△ADE共顶点A,易得△ADB≌△AEC.