8.3《勾股定理》

8年级上册数学(苏科)第3章《勾股定理》相关知识点梳理，使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，学生更好地理解和记忆历史知识。

勾股定理

• 勾股定理
  • 勾股定理
    • 文字语言
      • 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
    • 图示
    • 符号语言
      • 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a²+b²=c²
    • 变式
      • a²=c²－b²
      • b²=c²－a²
      • c²=（a+b）²-2ab
    • • 勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系
      • 勾股定理将数与形有机地结合起来
        • 把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来,是数形结合思想的典范
    • 应用
      • 前提
        • “直角三角形”是应用勾股定理的前提
        • • 勾股定理只适用于直角三角形，所以常做辅助线——高，构造直角三角形
      • 注意
        • 应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边
      • • 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解
  • 勾股定理的验证
    • 用拼图法验证勾股定理
      • ①
        • 图示
        • 说明
          • 如图，是由4个全等的直角三角形拼成的,得到一个以a+b为边长的大正方形和以c为边长的小正方形,则大正方形的面积可表示为(a+b)²,又可表示为 1/2ab·4+c²,所以(a+b)²=1/2ab·4+c²，整理可得a²+b²=c²
      • ②
        • 图示
        • 说明
          • 在如图所示的拼法中,以c为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为b－a的正方形的面积的和,所以 1/2ab·4+(b－a)²= c²,整理可得a²+b²=c²
      • • 通过拼摆图形,运用面积之间的关系可验证勾股定理.在解答时关键是将同一个图形的面积用不同的方法表示,注意图形变换和数形结合思想的运用
• 勾股定理的逆定理
  • 内容
    • 如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形
    • 图示
      • 如图所示,在△ABC中,若满足AC²+BC²= AB²,那么△ABC是直角三角形,且∠C是直角
    • • 不能机械地认为在△ABC中,c边所对的角必是直角,如三角形的三边长a, b，c之间满足a²-b²=c²，则a边所对的角是直角,即最长边所对的角是直角
    • • 利用勾股定理的逆定理来判定三角形是直角三角形,是用代数方法解几何问题,它的实质是数形结合思想，只要得出三角形中较短的两边的平方和等于最长边的平方,就可以判定这个三角形是直角三角形
      • 利用勾股定理的逆定理不仅可以判断三角形是否为直角三角形,还可以判断三角形中哪一个角是直角,这是说明两直线互相垂直的新方法
  • 勾股数
    • 定义
      • 满足关系a²+b²=c²的3个正整数a,b,c称为勾股数
      • • 勾股数必须都是正整数,如0.3,0.4,0.5，尽管有0.3²+0.4²=0.5²成立,但它们都是小数,因而不是勾股数
    • 勾股数组
      • 常见的勾股数
        • ①
          • 3、4、5
        • ②
          • 5、12、13
        • ③
          • 8、15、17
        • ④
          • 7、24、25
        • ⑤
          • 9、40、41……
        • • 若a,b,c是一组勾股数，则ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数
      • 毕达哥拉斯
        • 2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1（n是正整数）
      • 柏拉图
        • 2n，n²-1，n²+1（n＞1，且n为正整数）
  • 应用
    • 判定一个三角形是否是直角三角形
    • 判定步骤
      • ①
        • 确定最长边（如c）
      • ②
        • 验证c²与a²+b²的关系
        • • 若c²=a²+b²，则△ABC是∠C=90°的直角三角形
          • 若c²≠a²+b²，则△ABC不是直角三角形
            • 当c²＞a²+b²
              • 三角形为钝角三角形
            • 当c²＜a²+b²
              • 三角形为锐角三角形
• 勾股定理的简单应用
  • 基本思路
    • 构造直角三角形
  • 解决一般问题的步骤
    • ①
      • 由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题
    • ②
      • 将待求的量看成直角三角形的一条边
    • ③
      • 利用勾股定理求解
  • 利用勾股定理解决最短路线问题
    • ①
      • 求长方体表面上两点间最短路线的方法
      • • 将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离
    • ②
      • 求几何体表面上最短路线问题
      • • 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线
  • 利用勾股定理解决航海类问题
    • 先确定方位角，然后画出正确的几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形