经济基础第二十四章描述统计

经济基础第二十四章描述统计知识点总结，系统地介绍了集中趋势和离散程度的概念、测度方法以及它们在描述统计学中的应用以及变量间的相关分析，介绍详细，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，学生更好地理解和记忆知识。

经济基础第二十四章描述统计

• 描述统计
  • 在描述统计中，可以通过统计量描述数据的分布特征。对于数据分布特征的测度主要分为三个方面
    • 1. 分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度
    • 2. 分布的离散程度，反映各数据之间的差异程度，也能反映中心值对数据的代表程度
    • 3. 分布的偏态，反映数据分布的不对称性。对于两个定量变量之间的相关分析，经常采用的描述方法是散点图和相关系数统计量
• 集中趋势的测度
  • 集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，它反映了一组数据中心点的位置所在。集中趋势的测度也就是寻找数据水平的代表值或中心值
    • 1. 均值
      • 均值也叫作平均数，就是数据组中所有数值的总和除以该组数值的个数。设一组数据为X1,X2,…,Xn,平均数X的计算公式为：X=(X1+X2+…+Xn)/n
        • 均值是集中趋势最主要的测度值，它是一组数据的重心所在，解释了一组数据的平均水平。它主要适用于数值型数据，但不适用于分类数据和顺序数据
        • 均值容易受到极端值的影响，极端值会使得均值向极大值或极小值方向倾斜，使得均值对数据组的代表性减弱
    • 2. 中位数
      • 把一组数据按从小到大或从大到小的顺序进行排列，位置居中的数值叫作中位数，用M表示。中位数将数据分成两部分，其中一半数据小于中位数，另一半数据大于中位数。设一组数据为X1,X2,…,Xn,按从小到大顺序为X(1),X(2),…,X(),则中位数为：
        • 中位数是一个位置代表值，主要用于顺序数据和数值型数据，但不适用于分类数据。中位数的优点是不受极端值的影响，抗干扰性强，尤其适于收入这类偏斜分布的数值型数据
    • 3. 众数
      • 众数是指一组数据中出现次数（频数）最多的变量值
        • 众数适用于描述分类数据和顺序数据的集中趋势。而在定量数据中，可能出现多众数和无众数的情况，因此众数不适用于描述定量数据的集中位置
    • 4. 均值、中位数和众数的比较及适用范围
      • 1. 均值适于定量变量。优点是能够充分利用数据的全部信息，均值大小受每个观测值的影响，比较稳定；缺点是易受极端值的影响，如果观测值中有明显的极端值，则均值的代表性较差
      • 2. 中位数不适于分类变量，适于顺序变量和定量变量，特别是分布不对称的数据。优点是不受极端值的影响；缺点是没有充分利用数据的全部信息，稳定性差于均值，优于众数
      • 3. 众数不适用于定量变量，主要适用于分类和顺序变量。优点是不受极端值的影响，尤其是分布明显呈偏态时，众数的代表性更好；缺点是没有充分利用数据的全部信息，缺乏稳定性，而且可能不唯一
  • 离散程度的测度
    • 离散程度反映的是数据之间的差异程度。集中趋势的测度值是对数据水平的一个概括性的度量，它对一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越好
      • 1. 方差
        • 方差是数据组中各数值与其均值离差平方的平均数，它能较好地反映出数据的离散程度，是实际中应用最广泛的离散程度测度值。方差越小，说明数据值与均值的平均距离越小，均值的代表性越好
      • 2. 标准差
        • 用标准差来测度数据的离散程度，标准差即方差的平方根。标准差不仅能度量数值与均值的平均距离，还与原始数值具有相同的计量单位
      • 标准差与方差计算比较简便，又具有比较好的数学性质，是应用最广泛的统计离散程度的测度方法。但是标准差与方差只适用于数值型数据。此外，与均值一样，它们对极端值也很敏感
      • 3. 离散系数
        • 离散系数也称变异系数或标准差系数，即标准差与均值的比值，主要用于不同类别数据离散程度的比较，记为CV。离散系数计算公式为CV=S/X
          • 标准差的大小不仅与数据的测度单位有关，也与观测值的均值大小有关，不能直接用标准差比较不同变量的离散程度。离散系数消除了测度单位和观测值水平不同的影响，因而可以直接用来比较变量的离散程度
• 分布形态的测度
  • 1. 偏态系数
    • 偏度是指数据分布的偏斜方向和程度，描述的是数据分布对称程度。测度数据分布偏度的统计量称为偏态系数，其计算公式为
      • 偏态系数取决于离差三次方的平均数与标准差三次方的比值,偏态系数的绝对值越大，说明数据分布的偏斜程度越大
        • 1. 如果偏态系数等于0，说明数据的分布是对称的
        • 2. 如果偏态系数为正值，说明分布为右偏的，取值在0和0.5之间说明轻度右偏，取值在0.5和1之间说明中度右偏，取值大于1说明严重右偏
        • 3. 如果偏态系数为负值，说明分布为左偏，取值在0和-0.5之间说明轻度左偏，取值在-0.5和-1之间说明中度左偏，取值小于-1说明严重左偏
  • 2. 标准分数
    • 标准分数可以给出数值距离均值的相对位置，计算方法是用数值减去均值所得的差除以标准差，计算公式为Zi=（Xi-X）/s
• 变量间的相关分析
  • 变量间的相关关系
    • 1. 按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关
      • 1. 当一个变量的取值变化完全由另一个变量的取值变化所确定时，称这两个变量间的关系为完全相关
      • 2. 当两个变量的取值变化彼此互不影响时，称为不相关现象
      • 3. 当两个变量之间的关系介于完全相关和不相关之间，称为不完全相关，一般相关现象都是指这种不完全相关
    • 2. 按相关的方向可分为正相关和负相关
      • 1. 当一个变量的取值由小变大，另一个变量的取值也相应由小变大，这种相关称为正相关
      • 2. 当一个变量的取值由小变大，而另一个变量的取值相反地由大变小，这种相关称为负相关
    • 3. 按相关的形式可分为线性相关和非线性相关
      • 1. 当两个相关变量之间的关系大致呈现为线性关系时，称之为线性相关
      • 2. 如果两个相关变量之间，并不表现为直线的关系，而是近似于某种曲线方程的关系，则这种相关关系称为非线性相关
  • 散点图
    • 两个变量间的关系可以用散点图来展示。在散点图中，每个点代表一个观测值，横纵坐标值分别代表两个变量相应的观测值
  • 相关系数
    • 相关系数是度量两个变量间相关关系的统计量。最常用的相关系数是Pearson 相关系数，它度量的是两个变量间的线性相关关系，假设分别可得到两个变量X和Y的n组观测值，即x,y,i=1,2,…,n,其中两组观测值之间是一一对应的，那么Pearson 相关系数r的计算公式为
      • Pearson 相关系数的取值范围在+1和-1之间，即-1≤r≤1，当|r|=1时，变量Y的取值完全依赖于X
        • 1. 若0<r≤1，表明变量X和Y之间存在正线性相关关系
        • 2. 若-1≤r<0,表明变量X和Y之间存在负线性相关关系
        • 3. 若r=1,表明变量X和Y之间为完全正线性相关
        • 4. 若r=-1,表明变量X和Y之间为完全负线性相关
        • 5. 当r=0时，说明Y和X之间不存在线性相关关系
          • r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系