高数一章

个人思考，根据武忠祥高数基础篇书本加上自己理解整理的，本脑图提炼本书的重点内容，进行归纳整理，涵盖本书所有核心内容，非常方便大家学习。有需要的赶紧收藏下来吧！

函 数 极 限 连 续

• 函数
  • 常见函数
    • 反函数
    • 复合函数
    • 初等函数
  • 函数四大性质
    • 单调性
    • 奇偶性
    • 周期性
    • 有界性
• 极限
  • 概念 性质
    • 定义：︱f(x)︱≦ M
    • 有界性
      • 数列：收敛有界 ，有界不一定收敛
    • 保号性
      • 极限值＞零，后面项＞零（若双≧，后面项可能正负趋向于零）
      • 后面某项之后 ≧ 零，极限值 ≧ 零
      • 函数类似，大小关系严格
    • 极限值与无穷小关系
      • limf(x) = A 等价于 f(x) = A+α（x） limα(x)=0
  • 极限的存在准则
    • 单调有界准则
    • 夹逼准则
    • 左右极限存在且相等
    • 后续补充：导数
  • 求极限方法
    • 基本方法
      • 无穷小替换
        • 乘除可以换，加减换后验证有极限可以换
        • 基本极限：1的∞求极限
          • 1.lim[1+α(x)]的β(x)方
          • 2.limα(x)β(x)=A
          • 3.极限为：e的A方
      • 洛必达
        • 0/0 ∞/∞
          • 0×∞
            • 1的∞次
            • ∞的0次
            • 0的0次
            • e的ln()化上一层，在化0/0
          • ∞-∞
            • 通分
      • 泰勒展开
        • 基本式和在0处式子
    • 其它技巧
      • 有理运算法则
        • f(x) g(x) 都存在
          • 四则运算都可以分别来求在结合
        • 个人感想
          • 若分子或分母整体为零或无穷， ①可分离开来求但要求分离后分别有极限。 （先分离，再验证） ②乘除关系，若有一个有极限，可以提出来
        • 根据两函数极限判断
          • 极限存在 ± 不存在 = 不存在
          • 不一定： 不±不=不一定 存×/不=不一定 不×/不=不一定
        • 反推：
      • 夹逼准则
        • 一般和单调有界一样应用在求无穷项，数列极限方面，和证明题
      • 单调有界
        • 证极限存在：想办法证单调和有界
      • 定积分定义
  • 无穷小量与无穷大量
    • 无穷小量
      • 概念 和 比阶
    • 无穷大量
      • 比较：对数＜幂函数＜指数，常数分别大于零＞＞
    • 无穷小量的比较
    • 总结：
      • 1/∞=0 1/0=∞
      • 0×∞ = 0/0 = ∞/∞
        • 比阶：有三种结果0 C ∞
      • 0×0与0/∞ ∞×∞与∞/0
        • 0×0=0 ∞×∞=∞
• 函数连续性
  • 连续概念
    • 极限值 = 定义值
    • 左极限等于定义值 左连续
  • 间断点及分类
    • 一般无定义点是间断点
    • 第一类：
      • 左右极限存在且相等
      • 左右极限存在不相等
    • 第二类：
      • 无穷间断点：左右至少一个不存在，若左或右极限为无穷
      • 震荡间断点：左右极限不存在，不为无穷
      • 其它间断点
  • 连续性的运算与性质
    • 连续函数四则运算也连续
    • 复合函数：内层值域在外层定义域之内，连续
  • 闭区间上连续函数的性质
    • ①最值与有界性定理：闭区间连续，必有最值且有界
    • ②介值定理：闭区间连续，在两端点值区间内有一值C，则有对应定义区间ε，使f(ε)=C
    • ②的应用侧：在闭区间内最大值M 与最小值：m中的任何值，在定义区间都有反应
    • ③零点定理：闭区间连续，两端点值乘积小于零，至少存在一个零点ε